Condición de Samuelson

Concepto en economía pública

La condición de Samuelson , debida a Paul Samuelson , ^[1] en la teoría de la economía pública , es una condición para la provisión óptima de bienes públicos .

Para una economía con n consumidores, las condiciones son:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\text{MRS}}_{i}={\text{MRT}}}$

La tasa marginal de sustitución _i es la tasa marginal de sustitución del individuo i y la tasa marginal de transformación ^[2] de la economía entre el bien público y un bien privado elegido arbitrariamente. Nótese que, si bien las tasas marginales de sustitución están indexadas por individuos, la tasa marginal de transformación no lo está; es una tasa que afecta a toda la economía.

Si el bien privado es un bien numerario , entonces la condición de Samuelson puede reescribirse como:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\text{MB}}_{i}={\text{MC}}}$

donde es el beneficio marginal que obtiene cada persona al consumir una unidad más del bien público, y es el costo marginal de proporcionar ese bien. En otras palabras, el bien público debería proporcionarse siempre que los beneficios generales que obtengan los consumidores de ese bien sean al menos tan grandes como el costo de proporcionarlo ( los bienes públicos no son rivales, por lo que pueden ser disfrutados por muchos consumidores simultáneamente). ${\displaystyle {\text{MB}}_{i}}$ ${\displaystyle {\text{MC}}}$

Interpretación de la condición de Samuelson desde el punto de vista de la oferta y la demanda

Escrita de esta manera, la condición de Samuelson tiene una interpretación gráfica sencilla. El beneficio marginal de cada consumidor individual, , representa su demanda del bien público, o su disposición a pagar. La suma de los beneficios marginales representa la disposición agregada a pagar o demanda agregada. El costo marginal es, en condiciones de mercado competitivas, la oferta de bienes públicos. Por lo tanto, la condición de Samuelson puede considerarse como una generalización de los conceptos de oferta y demanda de bienes privados a bienes públicos. ${\displaystyle {\text{MB}}_{i}}$

Derivación

Denotemos los bienes privados, el bien público, la riqueza agregada y cuánto se dedica a la producción de bienes públicos (sacrificios de consumo privado hechos en pos del bien público). ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle z}$

Maximizamos la función de utilidad ponderada (por ) para cada consumidor : ${\textstyle \alpha ^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \max _{x^{i},y}\left\{\sum _{i}\alpha ^{i}u^{i}(x^{i},y^{i})\right\}~{\text{subject to:}}}$

${\displaystyle g(z)=y~}$(gasto en ); ${\displaystyle y}$

${\displaystyle w-z\geqslant \sum _{i=1}^{I}x^{i}}$(todos los recursos dedicados a los bienes privados deben ser mayores o iguales a la suma de los bienes privados de todos).

Podemos resolverlo utilizando el método lagrangiano:

${\displaystyle L=\sum _{i}\alpha ^{i}u^{i}(x^{i},y)+\lambda \left(w-z-\sum _{i=1}^{I}x^{i}\right)+\mu (g(z)-y)}$

Las condiciones de primer orden están dadas por:

${\displaystyle (1)\quad x^{i}:\quad \alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}=\lambda \ \forall \ i;}$

${\displaystyle (2)\quad y:\quad \sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}=\mu ;}$

${\displaystyle (3)\quad z:\quad \mu g'=\lambda .}$

De (2) y (3):

${\displaystyle g'\sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}=\lambda =\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}}$

Dividir por y luego por : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g'}$

${\displaystyle \sum {\frac {\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}}{\lambda }}={\frac {1}{g'}}}$

Pero para todos , entonces: ${\displaystyle \lambda =\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum {\frac {\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}}={\frac {1}{g'}}}$.

El LHS se define como la tasa marginal de sustitución de un bien público por un bien privado (para un individuo ), y el RHS se define como la tasa marginal de transformación (para la sociedad en su conjunto). Por lo tanto, finalmente, llegamos a: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum _{i}MRS^{i}=MRT.}$^[3]

Véase también

• Equilibrio de Lindahl

Referencias

1. Samuelson, Paul A. (1954), La teoría del gasto público, en: Review of Economics and Statistics 36, págs. 386–389.
2. https://policonomics.com/marginal-rate-of-transformation
3. Laffont, Jean-Jacques (1 de julio de 2008). Fundamentos de Economía Pública . Cambridge, Massachusetts: Prensa del MIT. ISBN 9780262512190.

• Brümmerhoff, Dieter (2001), Finanzwissenschaft, Munich uaO