La orientación de un espacio vectorial real o simplemente orientación de un espacio vectorial es la elección arbitraria de qué bases ordenadas están orientadas "positivamente" y cuáles están orientadas "negativamente". En el espacio euclidiano tridimensional , las bases diestras normalmente se declaran orientadas positivamente, pero la elección es arbitraria, ya que también se les puede asignar una orientación negativa. Un espacio vectorial con una orientación seleccionada se llama espacio vectorial orientado , mientras que uno que no tiene una orientación seleccionada se llamadesorientado .
En matemáticas , la orientabilidad es una noción más amplia que, en dos dimensiones, permite decir cuando un ciclo gira en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, y en tres dimensiones cuando una figura es zurda o diestra. En álgebra lineal sobre los números reales , la noción de orientación tiene sentido en dimensión finita arbitraria, y es una especie de asimetría que hace imposible replicar una reflexión mediante un simple desplazamiento . Así, en tres dimensiones, es imposible convertir la mano izquierda de una figura humana en la mano derecha de la figura aplicando únicamente un desplazamiento, pero es posible hacerlo reflejando la figura en un espejo. Como resultado, en el espacio euclidiano tridimensional , las dos posibles orientaciones de la base se denominan diestra y zurda (o quiral derecha y quiral izquierda).
Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita y sean b 1 y b 2 dos bases ordenadas para V . Es un resultado estándar en álgebra lineal que existe una transformación lineal única A : V → V que lleva b 1 a b 2 . Se dice que las bases b 1 y b 2 tienen la misma orientación (o están orientadas consistentemente) si A tiene un determinante positivo ; de lo contrario tienen orientaciones opuestas . La propiedad de tener la misma orientación define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las bases ordenadas para V. Si V es distinto de cero, existen precisamente dos clases de equivalencia determinadas por esta relación. Una orientación en V es una asignación de +1 a una clase de equivalencia y −1 a la otra. [1]
Cada base ordenada vive en una clase de equivalencia u otra. Así, cualquier elección de una base ordenada privilegiada para V determina una orientación: la clase de orientación de la base privilegiada se declara positiva.
Por ejemplo, la base estándar en R n proporciona una orientación estándar en R n (a su vez, la orientación de la base estándar depende de la orientación del sistema de coordenadas cartesianas sobre el que está construida). Cualquier elección de un isomorfismo lineal entre V y R n proporcionará una orientación sobre V .
El orden de los elementos de una base es crucial. Dos bases con un orden diferente diferirán por alguna permutación . Tendrán orientaciones iguales/opuestas según que la firma de esta permutación sea ±1. Esto se debe a que el determinante de una matriz de permutación es igual a la firma de la permutación asociada.
De manera similar, sea A una aplicación lineal no singular del espacio vectorial R n a R n . Este mapeo conserva la orientación si su determinante es positivo. [2] Por ejemplo, en R 3 una rotación alrededor del eje cartesiano Z en un ángulo α conserva la orientación:
El concepto de orientación degenera en el caso de dimensión cero. Un espacio vectorial de dimensión cero tiene un solo punto, el vector cero. En consecuencia, la única base de un espacio vectorial de dimensión cero es el conjunto vacío . Por tanto, existe una única clase de equivalencia de bases ordenadas, es decir, la clase cuyo único miembro es el conjunto vacío. Esto significa que la orientación de un espacio de dimensión cero es una función
Debido a que solo existe una base ordenada , un espacio vectorial de dimensión cero es lo mismo que un espacio vectorial de dimensión cero con base ordenada. Elegir o por tanto elegir una orientación de cada base de cada espacio vectorial de dimensión cero. Si a todos los espacios vectoriales de dimensión cero se les asigna esta orientación, entonces, debido a que todos los isomorfismos entre espacios vectoriales de dimensión cero conservan la base ordenada, también conservan la orientación. Esto es diferente al caso de espacios vectoriales de dimensiones superiores donde no hay forma de elegir una orientación para que se conserve bajo todos los isomorfismos.
Sin embargo, hay situaciones en las que es deseable dar diferentes orientaciones a diferentes puntos. Por ejemplo, consideremos el teorema fundamental del cálculo como un ejemplo del teorema de Stokes . Un intervalo cerrado [ a , b ] es una variedad unidimensional con límite , y su límite es el conjunto { a , b } . Para obtener el enunciado correcto del teorema fundamental del cálculo, el punto b debe estar orientado positivamente, mientras que el punto a debe estar orientado negativamente.
El caso unidimensional trata de una línea que puede atravesarse en una de dos direcciones. Hay dos orientaciones para una línea , así como hay dos orientaciones para un círculo. En el caso de un segmento de línea (un subconjunto conexo de una línea), las dos orientaciones posibles dan como resultado segmentos de línea dirigidos . Una superficie orientable a veces tiene la orientación seleccionada indicada por la orientación de una línea perpendicular a la superficie.
Para cualquier espacio vectorial real V de n dimensiones podemos formar la k - ésima potencia exterior de V , denotada como Λ k V. Este es un espacio vectorial real de dimensión . El espacio vectorial Λ n V (llamado potencia exterior superior ) tiene, por tanto, dimensión 1. Es decir, Λ n V es simplemente una línea real. No hay elección a priori de qué dirección en esta línea es positiva. Una orientación es precisamente una de esas opciones. Cualquier forma lineal distinta de cero ω en Λ n V determina una orientación de V declarando que x está en la dirección positiva cuando ω ( x ) > 0. Para conectar con el punto de vista de la base, decimos que las bases orientadas positivamente son aquellas en que ω se evalúa como un número positivo (dado que ω es una n -forma, podemos evaluarla en un conjunto ordenado de n vectores, dando un elemento de R ). La forma ω se llama forma de orientación . Si { e i } es una base privilegiada para V y { e i ∗ } es la base dual , entonces la forma de orientación que da la orientación estándar es e 1 ∗ ∧ e 2 ∗ ∧ … ∧ e n ∗ .
La conexión de esto con el punto de vista determinante es: el determinante de un endomorfismo puede interpretarse como la acción inducida sobre la potencia exterior superior.
Sea B el conjunto de todas las bases ordenadas de V. Entonces el grupo lineal general GL( V ) actúa libre y transitivamente sobre B . (En lenguaje elegante, B es un GL( V ) -torsor ). Esto significa que, como variedad , B es (no canónicamente) homeomorfo a GL( V ). Tenga en cuenta que el grupo GL( V ) no es conexo , sino que tiene dos componentes conexos según si el determinante de la transformación es positivo o negativo (excepto GL 0 , que es el grupo trivial y por lo tanto tiene un único componente conexo; este corresponde a la orientación canónica en un espacio vectorial de dimensión cero). El componente de identidad de GL( V ) se denota GL + ( V ) y consta de aquellas transformaciones con determinante positivo. La acción de GL + ( V ) sobre B no es transitiva: hay dos órbitas que corresponden a los componentes conectados de B . Estas órbitas son precisamente las clases de equivalencia mencionadas anteriormente. Dado que B no tiene un elemento distinguido (es decir, una base privilegiada), no existe una elección natural sobre qué componente es positivo. Compare esto con GL( V ), que tiene un componente privilegiado: el componente de la identidad. Una elección específica de homeomorfismo entre B y GL( V ) equivale a una elección de una base privilegiada y, por tanto, determina una orientación.
Más formalmente: , y la variedad Stiefel de n -cuadros en es un - torsor , también lo es un torsor sobre , es decir, sus 2 puntos, y la elección de uno de ellos es una orientación.
Los diversos objetos del álgebra geométrica están cargados de tres atributos o características : actitud, orientación y magnitud. [4] Por ejemplo, un vector tiene una actitud dada por una línea recta paralela a él, una orientación dada por su sentido (a menudo indicado por una punta de flecha) y una magnitud dada por su longitud. De manera similar, un bivector en tres dimensiones tiene una actitud dada por la familia de planos asociados con él (posiblemente especificada por la línea normal común a estos planos [5] ), una orientación (a veces indicada por una flecha curva en el plano) que indica una elección del sentido de recorrido de su frontera (su circulación ), y una magnitud dada por el área del paralelogramo definida por sus dos vectores. [6]
Cada punto p en una variedad diferenciable de n dimensiones tiene un espacio tangente T p M que es un espacio vectorial real de n dimensiones. A cada uno de estos espacios vectoriales se le puede asignar una orientación. Algunas orientaciones "varían suavemente" de un punto a otro. Debido a determinadas restricciones topológicas , esto no siempre es posible. Una variedad que admite una elección suave de orientaciones para sus espacios tangentes se dice que es orientable .
{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)El bivector algebraico no tiene una forma específica; geométricamente es una cantidad de área orientada en un plano específico, eso es todo.