En matemáticas , dado un vector en un punto de una curva , ese vector se puede descomponer únicamente como una suma de dos vectores, uno tangente a la curva, llamado componente tangencial del vector, y otro perpendicular a la curva, llamado componente normal del vector. De manera similar, un vector en un punto de una superficie se puede descomponer de la misma manera.
De manera más general, dada una subvariedad N de una variedad M , y un vector en el espacio tangente a M en un punto de N , se puede descomponer en la componente tangente a N y la componente normal a N .
De manera más formal, sea una superficie y un punto en la superficie. Sea un vector en . Entonces se puede escribir de manera única como una suma donde el primer vector en la suma es el componente tangencial y el segundo es el componente normal. Se deduce inmediatamente que estos dos vectores son perpendiculares entre sí.
Para calcular los componentes tangencial y normal, considere una normal unitaria a la superficie, es decir, un vector unitario perpendicular a en . Entonces, y por lo tanto donde " " denota el producto escalar . Otra fórmula para el componente tangencial es
donde " " denota el producto vectorial .
Estas fórmulas no dependen de la unidad normal particular utilizada (existen dos normales unitarias a cualquier superficie en un punto dado, que apuntan en direcciones opuestas, por lo que una de las normales unitarias es el negativo de la otra).
De manera más general, dada una subvariedad N de una variedad M y un punto , obtenemos una secuencia exacta corta que involucra los espacios tangentes : El espacio cociente es un espacio generalizado de vectores normales.
Si M es una variedad de Riemann , la secuencia anterior se divide y el espacio tangente de M en p se descompone como una suma directa del componente tangente a N y el componente normal a N : Por lo tanto, cada vector tangente se divide como , donde y .
Supongamos que N está dada por ecuaciones no degeneradas.
Si N se da explícitamente, a través de ecuaciones paramétricas (como una curva paramétrica ), entonces la derivada da un conjunto generador para el fibrado tangente (es una base si y solo si la parametrización es una inmersión ).
Si N se da implícitamente (como en la descripción anterior de una superficie, (o más generalmente como) una hipersuperficie ) como un conjunto de niveles o intersección de superficies de niveles para , entonces los gradientes de abarcan el espacio normal.
En ambos casos, podemos calcular nuevamente utilizando el producto escalar ; sin embargo, el producto vectorial es específico para tres dimensiones.
