Función completamente multiplicativa

Función aritmética

En teoría de números , las funciones de números enteros positivos que respetan productos son importantes y se denominan funciones completamente multiplicativas o funciones totalmente multiplicativas . También es importante una condición más débil, que respeta únicamente productos de números coprimos , y dichas funciones se denominan funciones multiplicativas . Fuera de la teoría de números, el término "función multiplicativa" suele tomarse como sinónimo de "función completamente multiplicativa", tal como se define en este artículo.

Definición

Una función completamente multiplicativa (o función totalmente multiplicativa) es una función aritmética (es decir, una función cuyo dominio son los números naturales ), tal que f (1) = 1 y f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) se cumple para todos los números enteros positivos a y b . ^[1]

En notación lógica: y . ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle \forall a,b\in {\text{domain}}(f),f(ab)=f(a)f(b)}$

Sin el requisito de que f (1) = 1, todavía se podría tener f (1) = 0, pero entonces f ( a ) = 0 para todos los enteros positivos a , por lo que no se trata de una restricción muy fuerte. Si no se fija , se puede ver que tanto y son posibilidades para el valor de de la siguiente manera: ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(1)=f(1\cdot 1)&\iff f(1)=f(1)f(1)\\&\iff f(1)=f(1)^{2}\\&\iff f(1)^{2}-f(1)=0\\&\iff f(1)\left(f(1)-1\right)=0\\&\iff f(1)=0\lor f(1)=1.\end{aligned}}}$$

La definición anterior se puede reformular utilizando el lenguaje del álgebra: una función completamente multiplicativa es un homomorfismo del monoide (es decir, los números enteros positivos bajo la multiplicación) a algún otro monoide. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\cdot )}$

Ejemplos

El ejemplo más sencillo de una función completamente multiplicativa es un monomio con coeficiente principal 1: Para cualquier entero positivo particular n , defina f ( a ) = a ⁿ . Entonces f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c ), y f (1) = 1 ⁿ = 1.

La función de Liouville es un ejemplo no trivial de una función completamente multiplicativa, como lo son los caracteres de Dirichlet , el símbolo de Jacobi y el símbolo de Legendre .

Propiedades

Una función completamente multiplicativa está completamente determinada por sus valores en los números primos, una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, si n es un producto de potencias de primos distintos, digamos n = p ^a q ^b ..., entonces f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...

Si bien la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es multiplicativa, la convolución de Dirichlet de dos funciones completamente multiplicativas no necesita ser completamente multiplicativa. Las funciones aritméticas que pueden escribirse como la convolución de Dirichlet de dos funciones completamente multiplicativas se denominan funciones cuadráticas o especialmente funciones multiplicativas multiplicativas. Son funciones aritméticas racionales de orden (2, 0) y obedecen a la identidad de Busche-Ramanujan.

Existen diversas afirmaciones sobre una función que son equivalentes a que sea completamente multiplicativa. Por ejemplo, si una función f es multiplicativa, entonces es completamente multiplicativa si y solo si su inversa de Dirichlet es donde es la función de Möbius . ^[2] ${\displaystyle \mu \cdot f}$ ${\displaystyle \mu }$

Las funciones completamente multiplicativas también satisfacen una ley distributiva. Si f es completamente multiplicativa entonces

${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)}$

donde * representa el producto de Dirichlet y representa la multiplicación puntual . ^[3] Una consecuencia de esto es que para cualquier función completamente multiplicativa f se tiene ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$

lo cual se puede deducir de lo anterior poniendo ambos , donde es la función constante . Aquí está la función divisora ​​. ${\displaystyle g=h=1}$ ${\displaystyle 1(n)=1}$ ${\displaystyle \tau }$

Prueba de propiedad distributiva

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ (since }}f{\text{ is completely multiplicative) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$

Serie de Dirichlet

La función L de una serie de Dirichlet completamente (o totalmente) multiplicativa satisface ${\displaystyle a(n)}$

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$

lo que significa que la suma de todos los números naturales es igual al producto de todos los números primos.

Véase también

• Función aritmética
• Función L de Dirichlet
• Serie de Dirichlet
• Función multiplicativa

Referencias

1. Apostol, Tom (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Springer. pp. 30. ISBN 0-387-90163-9.
2. Apóstol, pág. 36
3. Apóstol pág. 49

• TM Apostol, Algunas propiedades de funciones aritméticas completamente multiplicativas, Amer. Math. Monthly 78 (1971) 266-271.

• P. Haukkanen, Sobre caracterizaciones de funciones aritméticas completamente multiplicativas, en Teoría de números, Turku, de Gruyter, 2001, págs. 115–123.

• E. Langford, Distributividad sobre el producto de Dirichlet y funciones aritméticas completamente multiplicativas, Amer. Math. Monthly 80 (1973) 411–414.

• V. Laohakosol, Operadores logarítmicos y caracterizaciones de funciones completamente multiplicativas, Southeast Asian Bull. Math. 25 (2001) núm. 2, 273–281.

• KL Yocom, Funciones totalmente multiplicativas en anillos de convolución regulares, Canad. Math. Bull. 16 (1973) 119–128.