En lógica matemática , una teoría es completa si es consistente y para cada fórmula cerrada en el lenguaje de la teoría, se puede demostrar tanto esa fórmula como su negación . Es decir, para cada oración, la teoría contiene la oración o su negación, pero no ambas (es decir, o bien o bien ). Las teorías de primer orden recursivamente axiomatizables que sean consistentes y lo suficientemente ricas como para permitir la formulación de un razonamiento matemático general no pueden ser completas, como lo demuestra el primer teorema de incompletitud de Gödel .
Este sentido de completitud es distinto de la noción de una lógica completa , que afirma que para cada teoría que pueda formularse en la lógica, todos los enunciados semánticamente válidos son teoremas demostrables (para un sentido apropiado de "semánticamente válido"). El teorema de completitud de Gödel trata de este último tipo de completitud.
Las teorías completas se cierran bajo una serie de condiciones que modelan internamente el esquema T :
Los conjuntos consistentes máximos son una herramienta fundamental en la teoría de modelos de la lógica clásica y la lógica modal . Su existencia en un caso dado suele ser una consecuencia directa del lema de Zorn , basado en la idea de que una contradicción implica el uso de solo un número finito de premisas. En el caso de la lógica modal, a la colección de conjuntos consistentes máximos que extienden una teoría T (cerrada bajo la regla de necesidad) se le puede dar la estructura de un modelo de T , llamado modelo canónico.
Algunos ejemplos de teorías completas son:
