Complementos estratégicos

En economía y teoría de juegos , las decisiones de dos o más jugadores se denominan complementos estratégicos si se refuerzan mutuamente, y sustitutos estratégicos si se compensan mutuamente. Estos términos fueron acuñados originalmente por Bulow, Geanakoplos y Klemperer (1985). ^[1]

Para ver lo que se entiende por "reforzar" o "compensar", considere una situación en la que todos los jugadores tienen opciones similares para hacer, como en el artículo de Bulow et al., donde los jugadores son todos empresas imperfectamente competitivas que deben decidir cuánto producir. Entonces, las decisiones de producción son complementarias estratégicas si un aumento en la producción de una empresa aumenta los ingresos marginales de las otras, porque eso les da a las otras un incentivo para producir más también. Este tiende a ser el caso si hay rendimientos crecientes agregados a escala suficientemente fuertes y/o las curvas de demanda para los productos de las empresas tienen una elasticidad -precio propia suficientemente baja . Por otro lado, las decisiones de producción son sustitutivas estratégicas si un aumento en la producción de una empresa disminuye los ingresos marginales de las otras, dándoles un incentivo para producir menos.

Según Russell Cooper y Andrew John, la complementariedad estratégica es la propiedad básica que subyace a los ejemplos de equilibrios múltiples en los juegos de coordinación . ^[2]

Formulación del cálculo

Matemáticamente, considere un juego simétrico con dos jugadores que tienen cada uno una función de pago , donde representa la decisión propia del jugador y representa la decisión del otro jugador. Suponga que es creciente y cóncava en la propia estrategia del jugador . Bajo estos supuestos, las dos decisiones son complementarias estratégicas si un aumento en la propia decisión de cada jugador aumenta el pago marginal del otro jugador. En otras palabras, las decisiones son complementarias estratégicas si la segunda derivada es positiva para . Equivalentemente, esto significa que la función es supermodular . $\,\Pi(x_{i},x_{j})$ ${\estilo de visualización \,x_{i}}$ ${\estilo de visualización \,x_{j}}$ ${\estilo de visualización \,\Pi }$ ${\estilo de visualización \,x_{i}}$ ${\estilo de visualización \,x_{i}}$ ${\frac {\parcial \Pi _{j}}{\parcial x_{j}}}$ ${\frac {\parcial ^{2}\Pi _{j}}{\parcial x_{j}\parcial x_{i}}}$ $i\neq j$ ${\estilo de visualización \,\Pi }$

Por otra parte, las decisiones son sustitutivas estratégicas si es negativo, es decir, si es submodular . ${\frac {\parcial ^{2}\Pi _{j}}{\parcial x_{j}\parcial x_{i}}}$ ${\estilo de visualización \,\Pi }$

Ejemplo

En su artículo original, Bulow et al. utilizan un modelo simple de competencia entre dos empresas para ilustrar sus ideas. Los ingresos de la empresa x con tasas de producción están dados por ${\estilo de visualización (x_{1},x_{2})}$

U_{x}(x_{1},x_{2};y_{2})=p_{1}x_{1}+(1-x_{2}-y_{2})x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}/2-F

mientras que los ingresos de la empresa y con tasa de producción en el mercado 2 están dados por $y_{2}$

U_{y}(y_{2};x_{1},x_{2})=(1-x_{2}-y_{2})y_{2}-y_{2}^{2} /2-F

En cualquier equilibrio interior, , debemos tener $(x_{1}^{*},x_{2}^{*},y_{2}^{*})$

{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{1}}}=0,{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{2}}}=0,{\dfrac {\partial U_{y}}{\partial y_{2}}}=0.

Utilizando cálculo vectorial, álgebra geométrica o geometría diferencial, Bulow et al. demostraron que la sensibilidad del equilibrio de Cournot a los cambios en se puede calcular en términos de segundas derivadas parciales de las funciones de pago: $estilo de visualización p_{1}}$

{\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial y_{2}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{2}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial y_{2}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial p_{1}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}

Cuando , $1/4\leq p_{1}\leq 2/3$

{\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0\\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}

Esto, a medida que aumenta el precio en el mercado 1, la empresa x vende más en el mercado 1 y menos en el mercado 2, mientras que la empresa y vende más en el mercado 2. Si se calcula explícitamente el equilibrio de Cournot de este modelo, encontramos

x_{1}^{*}=\max \left\{0,{\frac {8p_{1}-2}{5}}\right\},x_{2}^{*}=\max \left\{0,{\frac {2-3p_{1}}{5}}\right\},y_{2}^{*}={\frac {p_{1}+1}{5}}.

Juegos supermodulares

Un juego con complementos estratégicos también se denomina juego supermodular . Topkis lo formalizó por primera vez ^[3] y Vives lo estudió ^[4] . Existen algoritmos eficientes para encontrar equilibrios de Nash de estrategia pura en tales juegos ^[5]^[6]

Véase también

Referencias

^ J. Bulow, J. Geanakoplos y P. Klemperer (1985), 'Oligopolio multimercado: sustitutos estratégicos y complementos estratégicos'. Journal of Political Economy 93, pp. 488-511, https://www.jstor.org/stable/1832005 .
^ Russell Cooper y Andrew John (1988), 'Fallos de coordinación en los modelos keynesianos'. Quarterly Journal of Economics 103 (3), pp. 441-63.
^ Topkis, Donald M. (1979-11-01). "Puntos de equilibrio en juegos submodulares de n personas de suma no nula". Revista SIAM sobre control y optimización . 17 (6): 773–787. doi :10.1137/0317054. ISSN 0363-0129.
^ Vives, Xavier (1990-01-01). "Equilibrio de Nash con complementariedades estratégicas". Journal of Mathematical Economics . 19 (3): 305–321. doi :10.1016/0304-4068(90)90005-T. ISSN 0304-4068.
^ Echenique, Federico (1 de julio de 2007). "Encontrar todos los equilibrios en juegos de complementos estratégicos". Journal of Economic Theory . 135 (1): 514–532. doi :10.1016/j.jet.2006.06.001. ISSN 0022-0531.
^ Dang, Chuangyin; Qi, Qi; Ye, Yinyu (1 de mayo de 2020). Cálculos y complejidades de los puntos fijos y los juegos supermodulares de Tarski (informe). arXiv.org.