Complejo Koszul

Construcción en álgebra homológica

En matemáticas , el complejo de Koszul fue introducido por primera vez para definir una teoría de cohomología para álgebras de Lie , por Jean-Louis Koszul (ver cohomología del álgebra de Lie ). Resultó ser una construcción general útil en álgebra homológica . Como herramienta, su homología se puede utilizar para decir cuándo un conjunto de elementos de un anillo (local) es una secuencia M-regular y, por lo tanto, se puede utilizar para demostrar hechos básicos sobre la profundidad de un módulo o ideal que es una noción algebraica de dimensión que está relacionada con la noción geométrica de dimensión de Krull pero es diferente de ella. Además, en ciertas circunstancias, el complejo es el complejo de sicigias , es decir, te dice las relaciones entre generadores de un módulo, las relaciones entre estas relaciones, etcétera.

Definición

Sea A un anillo conmutativo y s: A ^r → A una función A -lineal. Su complejo de Koszul K _s es

${\displaystyle \bigwedge ^{r}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{r-1}A^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ \bigwedge ^{1}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{0}A^{r}\simeq A}$

donde envian los mapas

${\displaystyle \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\ \mapsto \ \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(\alpha _{i})\ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {\alpha }}_{i}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$

donde significa que se omite el término y significa el producto de cuña . Se puede reemplazar con cualquier módulo A. ${\displaystyle {\hat {\ }}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A^{r}}$

Ejemplo motivador

Sea M una variedad, esquema, ..., y A el anillo de funciones sobre ella, denotado . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$

El mapa corresponde a la selección de funciones r . Cuando r = 1 , el complejo de Koszul es ${\displaystyle s\colon A^{r}\to A}$ ${\displaystyle f_{1},...,f_{r}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot f}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)}$

cuyo co-núcleo es el anillo de funciones en el lugar geométrico cero f = 0 . En general, el complejo de Koszul es

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot (f_{1},...,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ {\stackrel {\cdot (f_{1},\dots ,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M).}$

El cokernel del último mapa es nuevamente funciones en el lugar geométrico cero . Es el producto tensorial de los r complejos de Koszul para , por lo que sus dimensiones están dadas por coeficientes binomiales. ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{r}=0}$ ${\displaystyle f_{i}=0}$

En imágenes: dadas funciones , ¿cómo definimos el lugar donde todas desaparecen? ${\displaystyle s_{i}}$

En geometría algebraica, el anillo de funciones del lugar geométrico cero es . En geometría algebraica derivada , el anillo de funciones dg es el complejo de Koszul. Si los lugares geométricos se cortan transversalmente , son equivalentes. ${\displaystyle A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$ ${\displaystyle s_{i}=0}$

Por lo tanto: los complejos de Koszul son intersecciones derivadas de loci cero.

Propiedades

Estructura del álgebra

En primer lugar, el complejo de Koszul K _s de (A, s) es un complejo en cadena : la composición de dos mapas cualesquiera es cero. En segundo lugar, el mapa

${\displaystyle K_{s}\otimes K_{s}\ \to \ K_{s}\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ (\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})\otimes (\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell })\ \mapsto \ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell }}$

lo convierte en un álgebra dg . ^[1]

Como producto tensorial

El complejo de Koszul es un producto tensorial: si , entonces ${\displaystyle s=(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle K_{s}\ \simeq \ K_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes K_{s_{r}}}$

donde denota el producto tensorial derivado de complejos de cadena de módulos A. ^[2] ${\displaystyle \otimes }$

Desapareciendo en caso normal

Cuando se forma una secuencia regular , el mapa es un cuasi-isomorfismo, es decir ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{s}\to A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(K_{s})\ =\ 0,\qquad i\neq 0,}$

y en cuanto a cualquier s , . ${\displaystyle H^{0}(K_{s})=A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

Historia

El complejo de Koszul fue introducido por primera vez para definir una teoría de cohomología para las álgebras de Lie , por Jean-Louis Koszul (ver Cohomología del álgebra de Lie ). Resultó ser una construcción general útil en álgebra homológica . Como herramienta, su homología se puede utilizar para decir cuándo un conjunto de elementos de un anillo (local) es una secuencia M-regular y, por lo tanto, se puede utilizar para demostrar hechos básicos sobre la profundidad de un módulo o ideal que es una noción algebraica de dimensión que está relacionada con la noción geométrica de dimensión de Krull , pero es diferente de ella. Además, en ciertas circunstancias, el complejo es el complejo de sicigias , es decir, te dice las relaciones entre los generadores de un módulo, las relaciones entre estas relaciones, etcétera.

Definición detallada

Sea R un anillo conmutativo y E un módulo libre de rango finito r sobre R . Escribimos para la i -ésima potencia exterior de E . Entonces, dada una función R -lineal , el complejo de Koszul asociado a s es el complejo en cadena de R -módulos: ${\displaystyle \bigwedge ^{i}E}$ ${\displaystyle s\colon E\to R}$

${\displaystyle K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0}$,

donde la diferencial viene dada por: para cualquier en E , ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$.

El superíndice significa que se omite el término. Para demostrarlo , utilice la autodualidad de un complejo de Koszul. ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}}$ ${\displaystyle d_{k}\circ d_{k+1}=0}$

Nótese que y . Nótese también que ; este isomorfismo no es canónico (por ejemplo, la elección de una forma de volumen en geometría diferencial proporciona un ejemplo de tal isomorfismo). ${\displaystyle \bigwedge ^{1}E=E}$ ${\displaystyle d_{1}=s}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{r}E\simeq R}$

Si (es decir, se elige una base ordenada), entonces, dar una función R -lineal equivale a dar una secuencia finita de elementos en R (es decir, un vector fila) y luego se establece ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s\colon R^{r}\to R}$ ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).}$

Si M es un módulo R finitamente generado , entonces se establece:

${\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M}$,

que es nuevamente un complejo de cadena con el diferencial inducido . ${\displaystyle (d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m}$

La i -ésima homología del complejo de Koszul

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

se denomina i -ésima homología de Koszul . Por ejemplo, si y es un vector fila con entradas en R , entonces es ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s=[s_{1}\cdots s_{r}]}$ ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M}}$

${\displaystyle s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}$

y entonces

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.}$

Similarmente,

${\displaystyle \operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).}$

Complejos Koszul en pequeñas dimensiones

Dado un anillo conmutativo R , un elemento x en R y un módulo R M , la multiplicación por x produce un homomorfismo de módulos R ,

${\displaystyle M\to M.}$

Si lo consideramos como un complejo de cadena (poniéndolos en grado 1 y 0, y agregando ceros en los demás lugares), se denota por . Por construcción, las homologías son ${\displaystyle K(x,M)}$

${\displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\operatorname {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},}$

el aniquilador de x en M . Por lo tanto, el complejo de Koszul y su homología codifican propiedades fundamentales de la multiplicación por x . Este complejo en cadena se denomina complejo de Koszul de R con respecto a x , como en #Definición. ${\displaystyle K_{\bullet }(x)}$

El complejo Koszul para pareja es ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,}$

con las matrices y dadas por ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$y

${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y&x\end{bmatrix}}.}$

Nótese que se aplica a la derecha. Los ciclos en grado 1 son entonces exactamente las relaciones lineales en los elementos x e y , mientras que los límites son las relaciones triviales. La primera homología de Koszul mide, por lo tanto, exactamente las relaciones mod las relaciones triviales. Con más elementos, las homologías de Koszul de dimensiones superiores miden las versiones de nivel superior de esto. ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle H_{1}(K_{\bullet }(x,y))}$

En el caso de que los elementos formen una secuencia regular , los módulos de homología superiores del complejo de Koszul son todos cero. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

Ejemplo

Si k es un campo y son indeterminados y R es el anillo polinomial , el complejo de Koszul en el forma una R -resolución libre concreta de k . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}}$ ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(X_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Propiedades de una homología de Koszul

Sea E un módulo libre de rango finito sobre R , sea una función R -lineal y sea t un elemento de R . Sea el complejo de Koszul de . ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus R\to R}$

Usando , tenemos la secuencia exacta de complejos: ${\displaystyle \bigwedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle 0\to K(s)\to K(s,t)\to K(s)[-1]\to 0}$,

donde significa el cambio de grado por y . Se observa: ^[3] para en , ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]}y).}$

En el lenguaje del álgebra homológica , lo anterior significa que es el cono de mapeo de . ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle t\colon K(s)\to K(s)}$

Tomando la secuencia larga y exacta de homologías, obtenemos:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{i}(K(s)){\overset {t}{\to }}\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots .}$

Aquí, el homomorfismo de conexión

${\displaystyle \delta :\operatorname {H} _{i+1}(K(s)[-1])=\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s))}$

se calcula de la siguiente manera. Por definición, donde y es un elemento de que se asigna a x . Como es una suma directa, podemos simplemente tomar y como (0, x ). Entonces la fórmula anterior para da . ${\displaystyle \delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle \delta ([x])=t[x]}$

La secuencia exacta anterior se puede utilizar para demostrar lo siguiente.

Teorema  —  ^[4] Sea R un anillo y M un módulo sobre él. Si una secuencia de elementos de R es una secuencia regular sobre M , entonces ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$

para todos . En particular, cuando M = R , es decir ${\displaystyle i\geq 1}$

${\displaystyle 0\to \bigwedge ^{r}R^{r}{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}R^{r}\to \cdots \to \bigwedge ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\to R/(x_{1},\cdots ,x_{r})\to 0}$

es exacta; es decir, es una resolución libre de R de . ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{r})}$ ${\displaystyle R/(x_{1},\dots ,x_{r})}$

Demostración por inducción en r . Si , entonces . A continuación, supongamos que la afirmación es verdadera para r - 1. Entonces, utilizando la secuencia exacta anterior, se ve para cualquier . La desaparición también es válida para , ya que es un divisor distinto de cero en ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.}$ ${\displaystyle \square }$

Corolario  —  ^[5] Sean R , M como se indica arriba y una secuencia de elementos de R . Supóngase que hay un anillo S , una secuencia S -regular en S y un homomorfismo de anillo S → R que se asigna a . (Por ejemplo, se puede tomar .) Entonces ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {Z} [y_{1},\cdots ,y_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(S/(y_{1},\dots ,y_{n}),M).}$

donde Tor denota el functor Tor y M es un S -módulo a través de . ${\displaystyle S\to R}$

Demostración: Por el teorema aplicado a S y S como un S -módulo, vemos que es una resolución S -libre de . Por lo tanto, por definición, la i -ésima homología de es el lado derecho de lo anterior. Por otro lado, por la definición de la estructura del S -módulo en M . ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle S/(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle \square }$

Corolario  —  ^[6] Sean R , M como se indica arriba y una secuencia de elementos de R . Entonces tanto el ideal como el aniquilador de M se aniquilan ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)}$

para todo yo .

Demostración: Sea S = R [ y ₁ , ..., y _n ]. Convierta M en un S -módulo a través del homomorfismo de anillo S → R , y _i → x _i y R en un S -módulo a través de y _i → 0 . Por el corolario anterior, y luego ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}\left(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)\right)\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).}$ ${\displaystyle \square }$

Para un anillo local , se cumple el recíproco del teorema. De manera más general,

Teorema  —  ^[7] Sea R un anillo y M un módulo finitamente generado distinto de cero sobre R . Si son elementos del radical de Jacobson de R , entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}}$

1. La secuencia es una secuencia regular en M , ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$
2. ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$,
3. ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$para todo i ≥ 1.

Demostración: Sólo necesitamos demostrar que 2. implica 1., siendo el resto claro. Argumentamos por inducción sobre r . El caso r = 1 ya es conocido. Sea x ' x 1 _, ..., x _{r -1} . Consideremos

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .}$

Como el primero es sobreyectivo, con . Por el lema de Nakayama , y por lo tanto x ' es una sucesión regular por la hipótesis inductiva. Como el segundo es inyectivo (es decir, es un divisor distinto de cero), es una sucesión regular. (Nota: por el lema de Nakayama, el requisito es automático). ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle N=x_{r}N}$ ${\displaystyle N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))}$ ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0}$ ${\displaystyle \square }$

Productos tensoriales de complejos de Koszul

En general, si C , D son complejos de cadena, entonces su producto tensorial es el complejo de cadena dado por ${\displaystyle C\otimes D}$

${\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}}$

con el diferencial: para cualesquiera elementos homogéneos x , y ,

${\displaystyle d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{|x|}x\otimes d_{D}(y)}$

donde | x | es el grado de x .

Esta construcción se aplica en particular a los complejos de Koszul. Sean E , F módulos libres de rango finito, y sean y dos aplicaciones lineales R. Sea el complejo de Koszul de la aplicación lineal . Entonces, como complejos, ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle t\colon F\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus F\to R}$

${\displaystyle K(s,t)\simeq K(s)\otimes K(t).}$

Para ver esto, es más conveniente trabajar con un álgebra exterior (en contraposición a potencias exteriores). Defina la derivación graduada de grado ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle d_{s}:\wedge E\to \wedge E}$

al requerir: para cualesquiera elementos homogéneos x , y en Λ E ,

• ${\displaystyle d_{s}(x)=s(x)}$cuando ${\displaystyle |x|=1}$
• ${\displaystyle d_{s}(x\wedge y)=d_{s}(x)\wedge y+(-1)^{|x|}x\wedge d_{s}(y)}$

Se ve fácilmente que (inducción sobre grado) y que la acción de sobre elementos homogéneos concuerda con los diferenciales en #Definición. ${\displaystyle d_{s}\circ d_{s}=0}$ ${\displaystyle d_{s}}$

Ahora, tenemos R -módulos graduados . Además, por la definición de un producto tensorial mencionada al principio, ${\displaystyle \wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F}$

${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s)}(e)\otimes 1+1\otimes d_{K(t)}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).}$

Dado que y son derivaciones del mismo tipo, esto implica ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.}$

Obsérvese, en particular,

${\displaystyle K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})}$.

La siguiente proposición muestra cómo el complejo de elementos Koszul codifica cierta información sobre las secuencias en el ideal generado por ellos.

Proposición  —  Sea R un anillo e I = ( x ₁ , ..., x _n ) un ideal generado por algunos n elementos. Entonces, para cualquier R -módulo M y cualesquiera elementos y ₁ , ..., y _r en I ,

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r};M))\simeq \bigoplus _{i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\dots ,x_{n};M))\otimes \wedge ^{k}R^{r}.}$

donde se considera un complejo con diferencial cero. (De hecho, la descomposición se mantiene a nivel de cadena). ${\displaystyle \wedge ^{k}R^{r}}$

Prueba: (Fácil pero omitida por ahora)

Como aplicación, podemos mostrar la sensibilidad a la profundidad de una homología de Koszul. Dado un módulo M finitamente generado sobre un anillo R , por (una) definición, la profundidad de M con respecto a un ideal I es el supremo de las longitudes de todas las secuencias regulares de elementos de I en M . Se denota por . Recordemos que una secuencia M -regular x ₁ , ..., x _n en un ideal I es máxima si I no contiene ningún divisor distinto de cero en . ${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{n})M}$

La homología de Koszul proporciona una caracterización muy útil de una profundidad.

Teorema  (sensibilidad a la profundidad)  —  Sea R un anillo noetheriano, x ₁ , ..., x _n elementos de R e I = ( x ₁ , ..., x _n ) el ideal generado por ellos. Para un módulo finitamente generado M sobre R , si, para algún entero m ,

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0}$para todo i > m ,

mientras

${\displaystyle \operatorname {H} _{m}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)\neq 0,}$

Entonces, cada secuencia máxima M -regular en I tiene una longitud n - m (en particular, todas tienen la misma longitud). Como consecuencia,

${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)=n-m}$.

Demostración: Para aligerar las notaciones, escribimos H(-) para H( K (-)). Sea y ₁ , ..., y _s una secuencia M -regular máxima en el ideal I ; denotamos esta secuencia por . Primero mostramos, por inducción sobre , la afirmación de que es si y es cero si . El caso básico es claro a partir de #Propiedades de una homología de Koszul. A partir de la larga secuencia exacta de homologías de Koszul y la hipótesis inductiva, ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})}$ ${\displaystyle i=l}$ ${\displaystyle i>l}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)}$,

que es Además, por el mismo argumento, la desaparición se cumple para . Esto completa la prueba de la afirmación. ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).}$ ${\displaystyle i>l}$

Ahora bien, de la afirmación y de la proposición inicial se sigue que para todo i > n - s . Para concluir que n - s = m , queda por demostrar que es distinto de cero si i = n - s . Puesto que es una sucesión M -regular máxima en I , el ideal I está contenido en el conjunto de todos los divisores cero en , la unión finita de los primos asociados del módulo. Por tanto, por evitación de primos, hay algún v distinto de cero en tal que , es decir, ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0}$ ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)}$

${\displaystyle 0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(I)\simeq \operatorname {H} _{n}\left(x_{1},\dots ,x_{n},{\underline {y}};M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots ,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.}$ ${\displaystyle \square }$

Autodualidad

Existe un enfoque para el complejo de Koszul que utiliza un complejo de cocadena en lugar de un complejo de cadena. Resulta que esto da como resultado esencialmente el mismo complejo (el hecho conocido como la autodualidad de un complejo de Koszul).

Sea E un módulo libre de rango finito r sobre un anillo R . Entonces cada elemento e de E da lugar a la multiplicación izquierda exterior por e :

${\displaystyle l_{e}:\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.}$

Como , tenemos: ; es decir, ${\displaystyle e\wedge e=0}$ ${\displaystyle l_{e}\circ l_{e}=0}$

${\displaystyle 0\to R{\overset {1\mapsto e}{\to }}\wedge ^{1}E{\overset {l_{e}}{\to }}\wedge ^{2}E\to \cdots \to \wedge ^{r}E\to 0}$

es un complejo de cocadena de módulos libres. Este complejo, también llamado complejo de Koszul, es un complejo utilizado en (Eisenbud 1995). Tomando el dual, tenemos el complejo:

${\displaystyle 0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0}$.

Utilizando un isomorfismo , el complejo coincide con el complejo de Koszul en la definición. ${\displaystyle \wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})}$ ${\displaystyle (\wedge E,l_{e})}$

Usar

El complejo de Koszul es esencial para definir el espectro conjunto de una tupla de operadores lineales conmutativos acotados en un espacio de Banach . ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Complejo Koszul-Tate
• Sicigia (matemáticas)

Notas

1. El Proyecto Stacks, sección 0601
2. El Proyecto Stacks, sección 0601, Lema 15.28.12
3. De hecho, por linealidad, podemos suponer que . Entonces ${\displaystyle (x,y)=(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}\in \wedge ^{k}(E\oplus R)}$ ${\displaystyle R\simeq R\epsilon \subset E\oplus R}$

   ${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(s(e_{1})+t)e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}+\sum _{i=2}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots {\widehat {e_{i}}}\cdots \wedge e_{k}}$,

   cual es . ${\displaystyle (d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)}$
4. Matsumura 1989, Teorema 16.5. (i)
5. Eisenbud 1995, Ejercicio 17.10.
6. Serre 1975, Capítulo IV, A § 2, Proposición 4.
7. Matsumura 1989, Teorema 16.5. (ii)

Referencias

• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa: con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 150. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94268-8.
• William Fulton (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre locale, Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957-1958, rédigé por Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 11, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• El Proyecto Stacks, sección 0601

Enlaces externos

• Melvin Hochster , Matemáticas 711: Conferencia del 3 de octubre de 2007 (especialmente la última parte).