Dado un número finito de vectores en un espacio vectorial real , una combinación cónica , suma cónica o suma ponderada [1] [2] de estos vectores es un vector de la forma
donde están los números reales no negativos .
El nombre deriva del hecho de que el conjunto de todas las sumas cónicas de vectores define un cono (posiblemente en un subespacio de dimensiones inferiores ).
El conjunto de todas las combinaciones cónicas para un conjunto dado S se denomina casco cónico de S y se denota cono ( S ) [1] o coni ( S ). [2] Es decir,
Al tomar k = 0, se deduce que el vector cero ( origen ) pertenece a todos los cascos cónicos (ya que la suma se convierte en una suma vacía ).
La casco cónica de un conjunto S es un conjunto convexo . De hecho, es la intersección de todos los conos convexos que contienen S más el origen. [1] Si S es un conjunto compacto (en particular, cuando es un conjunto finito de puntos no vacío ), entonces la condición "más el origen" es innecesaria.
Si descartamos el origen, podemos dividir todos los coeficientes por su suma para ver que una combinación cónica es una combinación convexa escalada por un factor positivo.
Por lo tanto, "combinaciones cónicas" y "cascos cónicos" son de hecho "combinaciones cónicas convexas" y "cascos cónicos convexos", respectivamente. [1] Además, la observación anterior sobre dividir los coeficientes descartando el origen implica que las combinaciones y cascos cónicos pueden considerarse como combinaciones convexas y cascos convexos en el espacio proyectivo .
Si bien el casco convexo de un conjunto compacto también es un conjunto compacto, no ocurre lo mismo con el casco cónico; En primer lugar, este último es ilimitado. Además, ni siquiera es necesariamente un conjunto cerrado : un contraejemplo es una esfera que pasa por el origen, siendo la cáscara cónica un semiespacio abierto más el origen. Sin embargo, si S es un conjunto compacto convexo no vacío que no contiene el origen, entonces la cáscara cónica convexa de S es un conjunto cerrado. [1]
