cohomología deligne

En matemáticas , la cohomología de Deligne es la hipercohomología del complejo de Deligne de una variedad compleja . Fue introducido por Pierre Deligne en un trabajo inédito alrededor de 1972 como una teoría de cohomología para variedades algebraicas que incluye tanto la cohomología ordinaria como los jacobianos intermedios .

Para descripciones introductorias de la cohomología de Deligne, consulte Brylinski (2008, sección 1.5), Esnault & Viehweg (1988) y Gomi (2009, sección 2).

Definición

El complejo analítico de Deligne Z ( p ) _{D, un} en una variedad analítica compleja X es

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} (p)\rightarrow \Omega _{X}^{0}\rightarrow \Omega _{X}^{1}\rightarrow \cdots \rightarrow \Omega _{X}^{p-1}\rightarrow 0\rightarrow \dots }$

donde Z ( p ) = (2π i) ^p Z . Dependiendo del contexto, es el complejo de formas diferenciales suaves (es decir, C ^∞ ) o de formas holomorfas, respectivamente. La cohomología de Deligne H ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$ qD
,an ( X , Z ( p )) es la q -ésima hipercohomología del complejo de Deligne. Una definición alternativa de este complejo se da como el límite de homotopía ^[1] del diagrama

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\mathbb {Z} \\&&\downarrow \\\Omega _{X}^{\bullet \geq p}&\to &\Omega _{X}^{\bullet }\end{matrix}}}$

Propiedades

Grupos de cohomología de Deligne H qD
​ ( X , Z ( p )) se puede describir geométricamente, especialmente en grados bajos. Para p = 0, concuerda con el q -ésimo grupo de cohomología singular (con Z -coeficientes), por definición. Para q = 2 y p = 1, es isomorfo al grupo de clases de isomorfismo de paquetes C × principales suaves (u holomórficos, según el contexto) sobre X . Para p = q = 2, es el grupo de clases de isomorfismo de C ^× -paquetes con conexión . Para q = 3 y p = 2 o 3, se encuentran disponibles descripciones en términos de gerbes (Brylinski (2008)). Esto se ha generalizado a una descripción en grados superiores en términos de clasificación iterada de espacios y conexiones en ellos (Gajer (1997)).

Relación con las clases de Hodge

Recuerde que hay un subgrupo de clases de cohomología integral llamado grupo de clases de Hodge. Hay una secuencia exacta que relaciona la cohomología de Deligne, sus jacobianos intermedios y este grupo de clases de Hodge como una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle {\text{Hdg}}^{p}(X)\subset H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle H^{2p}(X)}$

${\displaystyle 0\to J^{2p-1}(X)\to H_{\mathcal {D}}^{2p}(X,\mathbb {Z} (p))\to {\text{Hdg}}^{2p}(X)\to 0}$

Aplicaciones

La cohomología de Deligne se utiliza para formular conjeturas de Beilinson sobre valores especiales de funciones L.

Extensiones

Existe una extensión de la cohomología de Deligne definida para cualquier espectro simétrico ^[1] donde sea impar, que puede compararse con la cohomología de Deligne ordinaria en variedades analíticas complejas. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi _{i}(E)\otimes \mathbb {C} =0}$ ${\displaystyle i}$

Ver también

• Paquete de gerbes
• Cohomología motívica
• estructura de hodge
• Jacobiano intermedio

Referencias

1. Hopkins, Michael J.; Rápido, Gereon (marzo de 2015). "Hodge filtró el bordismo complejo". Revista de topología . 8 (1): 147–183. arXiv : 1212.2173 . doi :10.1112/jtopol/jtu021. S2CID  16757713.

• Cohomología de Deligne-Beilinson
• Geometría de la cohomología de Deligne
• Notas sobre cohomología diferencial y gerbes.
• Cohomología Deligne suave retorcida
• Conjetura de Bloch, cohomología de Deligne y grupos de Chow superiores
• Brylinski, Jean-Luc (2008) [1993], Espacios de bucle, clases características y cuantificación geométrica , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi :10.1007/978-0-8176-4731-5, ISBN 978-0-8176-4730-8, señor  2362847
• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988), "Cohomología Deligne-Beĭlinson" (PDF) , Conjeturas de Beĭlinson sobre valores especiales de funciones L, Perspectiva. Matemáticas, vol. 4, Boston, MA: Academic Press , págs. 43–91, ISBN 978-0-12-581120-0, señor  0944991
• Gajer, Pawel (1997), "Geometría de la cohomología de Deligne", Inventiones Mathematicae , 127 (1): 155–207, arXiv : alg-geom/9601025 , Bibcode :1996InMat.127..155G, doi :10.1007/s002220050118, ISSN  0020-9910, S2CID  18446635
• Gomi, Kiyonori (2009), "Representaciones unitarias proyectivas de grupos de cohomología suaves de Deligne", Journal of Geometry and Physics , 59 (9): 1339–1356, arXiv : math/0510187 , Bibcode : 2009JGP....59.1339G, doi :10.1016/j.geomphys.2009.06.012, ISSN  0393-0440, SEÑOR  2541824, S2CID  17437631