Coeficiente binomial gaussiano

Familia de polinomios

En matemáticas , los coeficientes binomiales de Gauss (también llamados coeficientes gaussianos , polinomios gaussianos o coeficientes q -binomiales ) son análogos q de los coeficientes binomiales . El coeficiente binomial de Gauss, escrito como o , es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyo valor cuando q se establece a una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre , un cuerpo finito con q elementos; es decir, es el número de puntos en el Grassmanniano finito . ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,\mathbb {F} _{q}^{n})}$

Definición

Los coeficientes binomiales gaussianos se definen por: ^[1]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}}$

donde m y r son números enteros no negativos. Si r > m , el resultado es 0. Si r = 0 , el valor es 1, ya que tanto el numerador como el denominador son productos vacíos .

Aunque la fórmula a primera vista parece una función racional , en realidad es un polinomio, porque la división es exacta en Z [ q ]

Todos los factores en numerador y denominador son divisibles por 1 − q , y el cociente es el número q :

${\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},}$

Dividiendo estos factores se obtiene la fórmula equivalente

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).}$

En términos del factorial q , la fórmula se puede expresar como ${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}$

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}\quad (r\leq m).}$

Sustituyendo q = 1 se obtiene el coeficiente binomial ordinario . ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$ ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$

El coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos como : ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}$

Ejemplos

${\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1}$

${\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1}$

${\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q}$

${\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

${\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}$

Descripciones combinatorias

Inversiones

Una descripción combinatoria de los coeficientes binomiales gaussianos implica inversiones .

El coeficiente binomial ordinario cuenta las r combinaciones elegidas de un conjunto de m elementos. Si se considera que esos m elementos son las diferentes posiciones de caracteres en una palabra de longitud m , entonces cada r combinación corresponde a una palabra de longitud m utilizando un alfabeto de dos letras, digamos {0,1}, con r copias de la letra 1 (que indican las posiciones en la combinación elegida) y m − r letras 0 (para las posiciones restantes). ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$

Así, por ejemplo, las palabras que utilizan 0 y 1 son . ${\displaystyle {4 \choose 2}=6}$ ${\displaystyle 0011,0101,0110,1001,1010,1100}$

Para obtener el coeficiente binomial gaussiano , a cada palabra se le asocia un factor q ^d , donde d es el número de inversiones de la palabra, donde, en este caso, una inversión es un par de posiciones donde la izquierda del par contiene la letra 1 y la posición derecha contiene la letra 0 . ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$

En el ejemplo anterior, hay una palabra con 0 inversiones, , una palabra con 1 inversión, , dos palabras con 2 inversiones, , , una palabra con 3 inversiones, , y una palabra con 4 inversiones, . Este es también el número de desplazamientos a la izquierda de los 1 s desde la posición inicial. ${\displaystyle 0011}$ ${\displaystyle 0101}$ ${\displaystyle 0110}$ ${\displaystyle 1001}$ ${\displaystyle 1010}$ ${\displaystyle 1100}$

Estos corresponden a los coeficientes en . ${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

Otra forma de ver esto es asociar cada palabra con un camino a través de una cuadrícula rectangular con altura r y ancho m − r , que va desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha. El camino da un paso hacia la derecha por cada 0 y un paso hacia arriba por cada 1 . Una inversión cambia las direcciones de un paso (derecha+arriba se convierte en arriba+derecha y viceversa), por lo tanto, el número de inversiones es igual al área bajo el camino.

Pelotas en contenedores

Sea el número de formas de lanzar bolas indistinguibles en contenedores indistinguibles, donde cada contenedor puede contener hasta bolas. El coeficiente binomial gaussiano se puede utilizar para caracterizar . De hecho, ${\displaystyle B(n,m,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B(n,m,r)}$

${\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{q}.}$

donde denota el coeficiente de un polinomio (ver también la sección Aplicaciones a continuación). ${\displaystyle [q^{r}]P}$ ${\displaystyle q^{r}}$ ${\displaystyle P}$

Propiedades

Reflexión

Al igual que los coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos son simétricos al centro, es decir, invariantes bajo la reflexión : ${\displaystyle r\mapsto m-r}$

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.}$

En particular,

${\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,}$

${\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}$

Límite en q = 1

La evaluación de un coeficiente binomial gaussiano en q = 1 es

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\binom {m}{r}}_{q}={\binom {m}{r}}}$

es decir, la suma de los coeficientes da el valor binomial correspondiente.

Grado del polinomio

El grado de es . ${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}}$ ${\displaystyle {\binom {m+1}{2}}-{\binom {r+1}{2}}-{\binom {(m-r)+1}{2}}=r(m-r)}$

q identidades

Análogos de la identidad de Pascal

Los análogos de la identidad de Pascal para los coeficientes binomiales gaussianos son: ^[2]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}}$

y

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.}$

Cuando , ambas dan la identidad binomial habitual. Podemos ver que como , ambas ecuaciones siguen siendo válidas. ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle m\to \infty }$

El primer análogo de Pascal permite el cálculo de los coeficientes binomiales gaussianos de forma recursiva (con respecto a m ) utilizando los valores iniciales

${\displaystyle {m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1}$

y también muestra que los coeficientes binomiales gaussianos son de hecho polinomios (en q ).

El segundo análogo de Pascal se deriva del primero utilizando la sustitución y la invariancia de los coeficientes binomiales gaussianos bajo la reflexión . ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$ ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$

Estas identidades tienen interpretaciones naturales en términos de álgebra lineal. Recordemos que cuenta subespacios r -dimensionales , y sea una proyección con un espacio nulo unidimensional . La primera identidad proviene de la biyección que lleva al subespacio ; en el caso , el espacio es r -dimensional, y también debemos llevar un registro de la función lineal cuyo gráfico es ; pero en el caso , el espacio es ( r −1)-dimensional, y podemos reconstruir sin ninguna información adicional. La segunda identidad tiene una interpretación similar, tomando para un espacio ( m −1)-dimensional , nuevamente dividiéndose en dos casos. ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{q}^{m}\to \mathbb {F} _{q}^{m-1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$ ${\displaystyle V'=\pi (V)\subset \mathbb {F} _{q}^{m-1}}$ ${\displaystyle E_{1}\not \subset V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \phi :V'\to E_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E_{1}\subset V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V=\pi ^{-1}(V')}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'=V\cap E_{n-1}}$ ${\displaystyle E_{m-1}}$

Pruebas de los análogos

Ambos análogos se pueden demostrar observando primero que de la definición de , tenemos: ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$

Como

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}}$

La ecuación ( 1 ) se convierte en:

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

y sustituyendo la ecuación ( 3 ) se obtiene el primer análogo.

Un proceso similar, utilizando

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}}$

En cambio, da el segundo análogo.

q-teorema del binomio

Existe un análogo del teorema binomial para coeficientes q -binomiales, conocido como teorema binomial de Cauchy:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.}$

Al igual que el teorema binomial habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y extensiones; una de ellas, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.}$

En el límite , estas fórmulas dan como resultado ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$

y

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$.

La configuración proporciona las funciones generadoras para partes distintas y cualesquiera, respectivamente. (Véase también Series hipergeométricas básicas ). ${\displaystyle t=q}$

Identidad q-binomial central

Con los coeficientes binomiales ordinarios, tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

Con coeficientes q-binomiales, el análogo es:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}$

Aplicaciones

Gauss utilizó originalmente los coeficientes binomiales gaussianos en su determinación del signo de la suma cuadrática de Gauss . ^[3]

Los coeficientes binomiales gaussianos aparecen en el recuento de polinomios simétricos y en la teoría de particiones . El coeficiente de q ^r en

${\displaystyle {n+m \choose m}_{q}}$

es el número de particiones de r con m o menos partes, cada una menor o igual a n . De manera equivalente, también es el número de particiones de r con n o menos partes, cada una menor o igual a m .

Los coeficientes binomiales gaussianos también desempeñan un papel importante en la teoría enumerativa de espacios proyectivos definidos sobre un cuerpo finito. En particular, para cada cuerpo finito F _q con q elementos, el coeficiente binomial gaussiano

${\displaystyle {n \choose k}_{q}}$

cuenta el número de subespacios vectoriales de dimensión k de un espacio vectorial de dimensión n sobre F _q (un Grassmanniano ). Cuando se expande como un polinomio en q , produce la conocida descomposición del Grassmanniano en celdas de Schubert. Por ejemplo, el coeficiente binomial de Gauss

${\displaystyle {n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}$

es el número de subespacios unidimensionales en ( F _q ) ⁿ (equivalentemente, el número de puntos en el espacio proyectivo asociado ). Además, cuando q es 1 (respectivamente −1), el coeficiente binomial gaussiano produce la característica de Euler del Grassmanniano complejo (respectivamente real) correspondiente.

El número de subespacios afines de dimensión k de F _q ⁿ es igual a

${\displaystyle q^{n-k}{n \choose k}_{q}}$.

Esto permite otra interpretación de la identidad.

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}}$

como contar los subespacios de ( r − 1)-dimensionales del espacio proyectivo de ( m − 1)-dimensional fijando un hiperplano, contando dichos subespacios contenidos en ese hiperplano, y luego contando los subespacios no contenidos en el hiperplano; estos últimos subespacios están en correspondencia biyectiva con los subespacios afines de ( r − 1)-dimensionales del espacio obtenido al tratar este hiperplano fijo como el hiperplano en el infinito.

En las convenciones comunes en aplicaciones a grupos cuánticos , se utiliza una definición ligeramente diferente; el coeficiente binomial cuántico es

${\displaystyle q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2}}}$.

Esta versión del coeficiente binomial cuántico es simétrica bajo el intercambio de y . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{-1}}$

Véase también

• Lista de análogos q

Referencias

1. Mukhin, Eugene, capítulo 3
2. Mukhin, Eugene, capítulo 3
3. Gauss, Carl Friedrich (1808). "Summatio quarumdam serierum singularium" (en latín). {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )

• Exton, H. (1983), Funciones hipergeométricas q y aplicaciones , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
• Mukhin, Eugene. «Polinomios simétricos y particiones» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.(sin fecha, 2004 o anterior).
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