La topología cocontable o topología de complemento contable en cualquier conjunto X consiste en el conjunto vacío y todos los subconjuntos cocontables de X , es decir, todos los conjuntos cuyo complemento en X es contable . De ello se deduce que los únicos subconjuntos cerrados son X y los subconjuntos contables de X . Simbólicamente, se escribe la topología como
Todo conjunto X con topología cocontable es Lindelöf , ya que todo conjunto abierto no vacío omite solo un número contable de puntos de X. También es T 1 , ya que todos los singletons son cerrados.
Si X es un conjunto incontable, entonces dos conjuntos abiertos no vacíos cualesquiera se intersecan, por lo tanto, el espacio no es de Hausdorff . Sin embargo, en la topología cocontable todas las sucesiones convergentes son eventualmente constantes, por lo que los límites son únicos. Dado que los conjuntos compactos en X son subconjuntos finitos, todos los subconjuntos compactos son cerrados, otra condición generalmente relacionada con el axioma de separación de Hausdorff.
La topología cocontable en un conjunto contable es la topología discreta . La topología cocontable en un conjunto incontable es hiperconexa , por lo tanto conexa , localmente conexa y pseudocompacta , pero ni débilmente contablemente compacta ni contablemente metacompacta , por lo tanto no compacta.
