cis (matemáticas)

Notación matemática alternativa para cos x + i sen x

cis es una notación matemática definida por cis x = cos x + i sen x , ^{[nb 1]} donde cos es lafunción coseno , i es la unidad imaginaria y sen es lafunción seno . x es el argumento del número complejo (ángulo entre la línea al punto y el eje x en forma polar ). La notación se usa con menos frecuencia en matemáticas que la fórmula de Euler , e ^ix , que ofrece una notación aún más corta para cos x + i sen x , perocis(x)se usa ampliamente como nombre para esta función en bibliotecas de software .

Descripción general

La notación cis es una abreviatura de la combinación de funciones en el lado derecho de la fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

donde i ² = −1 . Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$^{[1] [2] [3] [4]}

es " cis " es un acrónimo de " Cos i Sin ".

Conecta las funciones trigonométricas con las funciones exponenciales en el plano complejo mediante la fórmula de Euler. Si bien el dominio de definición suele ser , también son posibles valores complejos : ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {cis} z=\cos z+i\sin z,}$

De esta forma, la función cis se puede utilizar para extender la fórmula de Euler a una versión compleja más general . ^[5]

La función se utiliza principalmente como una notación abreviada conveniente para simplificar algunas expresiones, ^{[6] [7] [8]} por ejemplo junto con las transformadas de Fourier y Hartley , ^{[9] [10] [11]} o cuando las funciones exponenciales no deberían usarse por alguna razón en la educación matemática.

En tecnología de la información, la función tiene soporte dedicado en varias bibliotecas matemáticas de alto rendimiento (como la Math Kernel Library (MKL) de Intel ^[12] o MathCW ^[13] ), disponibles para muchos compiladores y lenguajes de programación (incluidos C , C++ , ^[14] Common Lisp , ^{[15] [16]} D , ^[17] Haskell , ^[18] Julia , ^[19] y Rust ^[20] ). Dependiendo de la plataforma, la operación fusionada es aproximadamente el doble de rápida que llamar a las funciones seno y coseno individualmente. ^{[17] [3]}

Identidades matemáticas

Derivado

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$^{[1] [21]}

Integral

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$^[1]

Otras propiedades

Estos se deducen directamente de la fórmula de Euler .

${\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

${\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}$^[22]

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}$

Las identidades anteriores se cumplen si x e y son números complejos. Si x e y son reales, entonces

${\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}$^[22]

Historia

La notación cis fue acuñada por primera vez por William Edwin Hamilton en Elements of Quaternions (1866) ^{[23] [24]} y posteriormente utilizada por Irving Stringham (quien también la llamó " sector de x ") en trabajos como Uniplanar Algebra (1893), ^{[25] [26]} James Harkness y Frank Morley en su Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898), ^{[26] [27]} o por George Ashley Campbell (quien también se refirió a ella como "oscilación cisoidal") en sus trabajos sobre líneas de transmisión (1901) e integrales de Fourier (1928). ^{[28] [29] [30]}

En 1942, inspirado por la notación cis , Ralph VL Hartley introdujo la función cas (para coseno y seno ) para el núcleo Hartley de valor real , un atajo establecido hasta entonces junto con las transformadas Hartley : ^{[31] [32]}

${\displaystyle \operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.}$

Motivación

La notación cis se utiliza a veces para enfatizar un método de ver y tratar un problema sobre otro. ^[33] Las matemáticas de la trigonometría y las exponenciales están relacionadas pero no son exactamente las mismas; la notación exponencial enfatiza el todo, mientras que las notaciones cis x y cos x + i sen x enfatizan las partes. Esto puede ser útil retóricamente para matemáticos e ingenieros cuando discuten esta función, y además sirve como una regla mnemotécnica (para cos + i sen ). ^[30]

La notación cis es conveniente para estudiantes de matemáticas cuyo conocimiento de trigonometría y números complejos les permite esta notación, pero cuya comprensión conceptual aún no les permite la notación e ^ix . La prueba habitual de que cis x = e ^ix requiere cálculo , que el estudiante puede no haber estudiado antes de encontrarse con la expresión cos x + i sen x .

Esta notación era más común cuando se utilizaban máquinas de escribir para transmitir expresiones matemáticas. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• La fórmula de De Moivre
• Fórmula de Euler
• Número complejo
• Teorema de Ptolomeo
• Fasor
• Versor

Notas

1. Aquí, i se refiere a la unidad imaginaria en matemáticas . Dado que i se usa comúnmente para denotar la corriente eléctrica en ingeniería eléctrica e ingeniería de sistemas de control , la unidad imaginaria se denota alternativamente por j en lugar de i en estos contextos. Independientemente del contexto, esto no afecta el nombre establecido de la función como cis .

Referencias

1. Weisstein, Eric Wolfgang (2015) [2000]. «Cis». MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 27 de enero de 2016 . Consultado el 9 de enero de 2016 .
2. Simmons, Bruce (2014-07-28) [2004]. "Cis". Mathwords: Términos y fórmulas desde Álgebra I hasta Cálculo . Oregon City, Oregon, EE. UU.: Clackamas Community College , Departamento de Matemáticas. Archivado desde el original el 2023-07-16 . Consultado el 2016-01-15 .
3. "Fundamento de la norma internacional - Lenguajes de programación - C" (PDF) . 5.10. Abril de 2003. págs. 114, 117, 183, 186–187. Archivado (PDF) desde el original el 6 de junio de 2016. Consultado el 17 de octubre de 2010 .
4. Amann, Herbert [en Wikidata] ; Escher, Joachim [en alemán] (2006). Análisis I. Grundstudium Mathematik (en alemán) (3 ed.). Basilea, Suiza: Birkhäuser Verlag . págs.292, 298. ISBN 978-3-76437755-7. ISBN 3-76437755-0 . (445 páginas)
5. Moskowitz, Martin A. (2002). "Capítulo 1. Primeros conceptos". Escrito en el Centro de posgrado de la City University of New York, Nueva York, EE. UU. Un curso de análisis complejo en una variable . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. pág. 7. ISBN 981-02-4780-X.(ix+149 páginas)
6. Swokowski, Earl William [en Wikidata] ; Cole, Jeffery (2011). Precálculo: funciones y gráficos. Serie Precálculo (12.ª ed.). Cengage Learning . ISBN 978-0-84006857-6. Recuperado el 18 de enero de 2016 .
7. Reis, Clive (2011). Álgebra abstracta: Introducción a grupos, anillos y cuerpos (1.ª ed.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., págs. 434–438. ISBN 978-9-81433564-5.
8. Weitz, Edmund [en alemán] (2016). "El teorema fundamental del álgebra: una demostración visual". Hamburgo, Alemania: Universidad de Ciencias Aplicadas de Hamburgo (HAW), Departamento de Medientechnik. Archivado desde el original el 2019-08-03 . Consultado el 2019-08-03 .
9. L.-Rundblad, Ekaterina; Maidan, Alexei; Novak, Peter; Labunets, Valeriy (2004). "Transformadas rápidas de color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus para procesamiento de imágenes". Escrito en Prometheus Inc., Newport, EE. UU. En Byrnes, Jim (ed.). Álgebra no conmutativa computacional y aplicaciones (PDF) . NATO Science Series II: Matemáticas, física y química (NAII). Vol. 136. Dordrecht, Países Bajos: Springer Science + Business Media, Inc. pp. 401–411. doi :10.1007/1-4020-2307-3. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN  1568-2609. Archivado (PDF) desde el original el 28 de octubre de 2017. Consultado el 28 de octubre de 2017 .
10. Kammler, David W. (17 de enero de 2008). Un primer curso de análisis de Fourier (2.ª edición). Cambridge University Press . ISBN 978-1-13946903-6. Recuperado el 28 de octubre de 2017 .
11. Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (14 de noviembre de 2016). Trigonometría fraccionaria: con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales fraccionarias y a la ciencia. John Wiley & Sons . ISBN 978-1-11913942-3. Recuperado el 28 de octubre de 2017 .
12. "v?CIS". Referencia para desarrolladores de Intel Math Kernel Library (Intel MKL) 2017 - C. Documentación de MKL; Biblioteca de documentación de IDZ. Intel Corporation . 2016-09-06. p. 1799. 671504 . Consultado el 2016-01-15 .
13. Beebe, Nelson HF (22 de agosto de 2017). "Capítulo 15.2. Valor absoluto complejo". Manual de cálculo de funciones matemáticas: programación con la biblioteca de software portátil MathCW (1.ª edición). Salt Lake City, Utah, EE. UU.: Springer International Publishing AG . pág. 443. doi :10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. Código LCCN  2017947446. S2CID  30244721.
14. "Referencia del compilador Intel C++" (PDF) . Intel Corporation . 2007 [1996]. págs. 34, 59–60. 307777-004US. Archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
15. "CIS". Common Lisp Hyperspec . The Harlequin Group Limited . 1996. Archivado desde el original el 2023-07-16 . Consultado el 2016-01-15 .
16. "CIS". LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Archivado desde el original el 16 de julio de 2023. Consultado el 15 de enero de 2016 .
17. "std.math: expi". Lenguaje de programación D . Digital Mars . 2016-01-11 [2000]. Archivado desde el original el 2023-07-16 . Consultado el 2016-01-14 .
18. "CIS". Referencia de Haskell . ZVON. Archivado desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
19. "Matemáticas; Operadores matemáticos". El lenguaje Julia . Archivado desde el original el 19 de agosto de 2020. Consultado el 5 de diciembre de 2019 .
20. "Estructura num_complex::Complex". Archivado desde el original el 16 de julio de 2023. Consultado el 5 de agosto de 2022 .
21. Fuchs, Martín (2011). "Capítulo 11: Differenzierbarkeit von Funktionen". Análisis I (PDF) (en alemán) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes , Alemania´. págs.3, 13. Archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
22. Fuchs, Martín (2011). "Capítulo 8.IV: Spezielle Funktionen - Die trigonometrischen Funktionen". Análisis I (PDF) (en alemán) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes , Alemania. págs. 16-20. Archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2023 . Consultado el 15 de enero de 2016 .
23. Hamilton, William Rowan (1866-01-01). "Libro II, Capítulo II. Potencias fraccionarias, raíces generales de la unidad". Escrito en Dublín, Irlanda. En Hamilton, William Edwin (ed.). Elementos de cuaterniones (1.ª ed.). Londres, Reino Unido: Longmans, Green & Co. , University Press , Michael Henry Gill . pp. 250–257, 260, 262–263 . Consultado el 17 de enero de 2016. pp. 250, 252: [...] cos [...] + i sen [...] ocasionalmente abreviaremos a lo siguiente: [...] cis [... ] . En cuanto a las marcas [...], deben considerarse principalmente disponibles para la presente exposición del sistema, y ​​como no deseadas ni empleadas a menudo en la práctica posterior del mismo; y la misma observación se aplica a la reciente abreviación cis, para cos + i sen [...]([1], [2][3]) (NB. Esta obra se publicó póstumamente, Hamilton murió en 1865.)
24. Hamilton, William Rowan (1899) [1866-01-01]. Hamilton, William Edwin ; Joly, Charles Jasper (eds.). Elements of Quaternions. Vol. I (2 ed.). Londres, Reino Unido: Longmans, Green & Co. p. 262 . Consultado el 2019-08-03 . p. 262: [...] reciente abreviación cis para cos + i sin [...](NB. Esta edición fue reimpresa por Chelsea Publishing Company en 1969.)
25. Stringham, Irving (1893-07-01) [1891]. Álgebra uniplanar, siendo parte 1 de una propedéutica al análisis matemático superior. Vol. 1. CA Mordock & Co. (impresora) (1.ª ed.). San Francisco, California, EE. UU.: The Berkeley Press . pp. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 . Consultado el 18 de enero de 2016. p. 71: Como abreviatura de cos θ + i sen θ es conveniente utilizar cis  θ , que puede leerse: sector de θ .
26. Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. Una historia de las notaciones matemáticas. Vol. 2 (tercera edición corregida de la edición de 1929, 2.ª ed.). Chicago, Illinois, EE. UU.: Open Court Publishing Company . pág. 133. ISBN 978-1-60206-714-1. Recuperado el 18 de enero de 2016. p. 133: Stringham denotó cos β + i sen β por "cis  β ", una notación también utilizada por Harkness y Morley.(NB. ISBN y enlace para reimpresión de la 2ª edición de Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013.)
27. Harkness, James ; Morley, Frank (1898). Introducción a la teoría de funciones analíticas (1.ª ed.). Londres, Reino Unido: Macmillan and Company . pp. 18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1-16407019-1. Recuperado el 18 de enero de 2016 .(NB. ISBN para reimpresión de Kessinger Publishing , 2010.)
28. Campbell, George Ashley (1903) [1901-06-07]. "Capítulo XXX. Sobre líneas cargadas en transmisión telefónica" (PDF) . The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . Serie 6. 5 (27). Taylor & Francis : 313–330. doi :10.1080/14786440309462928. Archivado (PDF) desde el original el 2023-07-16 . Consultado el 2023-07-16 .(2+18 páginas)
29. Campbell, George Ashley (abril de 1911). "Oscilaciones cisoidales" (PDF) . Actas del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos . XXX (1–6). Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos : 789–824. doi :10.1109/PAIEE.1911.6659711. S2CID  51647814. Consultado el 24 de junio de 2023 .(37 páginas)
30. Campbell, George Ashley (1928-10-01) [1927-09-13]. "La aplicación práctica de la integral de Fourier" (PDF) . The Bell System Technical Journal . 7 (4). American Telephone and Telegraph Company : 639–707 [641]. doi :10.1002/j.1538-7305.1928.tb00347.x. S2CID  53552671 . Consultado el 24 de junio de 2023 . p. 641: Sin embargo, casi desde el principio se ha reconocido que la forma que mejor combina la simplicidad matemática y la generalidad completa hace uso de la función oscilante exponencial e ^{i 2π ft} . Más recientemente, se ha reconocido de forma general la abrumadora ventaja de utilizar esta función oscilante en la discusión de sistemas oscilatorios sinusoidales. Por lo tanto, es evidente que esta función oscilante debe adoptarse como la oscilación básica para ambas tablas propuestas. Parece conveniente darle un nombre a esta oscilación, asociándola con senos y cosenos, en lugar de con la función exponencial real. La abreviatura cis x para (cos x + i sen x ) sugiere que denominemos a esta función oscilación cis o cisoidal.(69 páginas)
31. Hartley, Ralph VL (marzo de 1942). "Un análisis de Fourier más simétrico aplicado a problemas de transmisión". Actas del IRE . 30 (3). Instituto de Ingenieros de Radio : 144–150. doi :10.1109/JRPROC.1942.234333. S2CID  51644127. Archivado desde el original el 2019-04-05 . Consultado el 2023-07-16 .
32. Bracewell, Ronald N. (junio de 1999) [1985, 1978, 1965]. La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3.ª ed.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07303938-1.
33. Diehl, Cristina; Leupp, Marcel (enero de 2010). Komplexe Zahlen: Ein Leitprogramm in Mathematik (PDF) (en alemán). Basilea y Herisau, Suiza: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH). pag. 41. Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2017. pag. 41: [...] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e ^iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. En otros lugares, Büchern wird dafür oft der Ausdruck cis( φ ) anstelle von e ^iφ verwendet. [...](109 páginas)