En física matemática , una curva temporal cerrada ( CTC ) es una línea mundial en una variedad de Lorentz , de una partícula material en el espacio-tiempo , que está "cerrada", regresando a su punto de partida. Esta posibilidad fue descubierta por primera vez por Willem Jacob van Stockum en 1937 [1] y posteriormente confirmada por Kurt Gödel en 1949, [2] quien descubrió una solución a las ecuaciones de la relatividad general (GR) que permitía las CTC conocida como métrica de Gödel ; y desde entonces se han encontrado otras soluciones de GR que contienen CTC, como el cilindro Tipler y los agujeros de gusano transitables . Si las CTC existen, su existencia parecería implicar al menos la posibilidad teórica de viajar hacia atrás en el tiempo, planteando el espectro de la paradoja del abuelo , aunque el principio de autoconsistencia de Novikov parece mostrar que tales paradojas podrían evitarse. Algunos físicos especulan que las CTC que aparecen en ciertas soluciones de GR podrían ser descartadas por una futura teoría de la gravedad cuántica que reemplazaría a la GR, una idea que Stephen Hawking denominó la conjetura de protección cronológica . Otros señalan que si cada curva temporal cerrada en un espacio-tiempo dado pasa a través de un horizonte de sucesos , una propiedad que puede denominarse censura cronológica, entonces ese espacio-tiempo con horizontes de sucesos eliminados todavía se comportaría causalmente bien y un observador podría no ser capaz de detectar el violación causal. [3]
Cuando se habla de la evolución de un sistema en la relatividad general , o más específicamente en el espacio de Minkowski , los físicos suelen referirse a un " cono de luz ". Un cono de luz representa cualquier posible evolución futura de un objeto dado su estado actual, o cada ubicación posible dada su ubicación actual. Las posibles ubicaciones futuras de un objeto están limitadas por la velocidad a la que el objeto puede moverse, que es, en el mejor de los casos, la velocidad de la luz . Por ejemplo, un objeto ubicado en la posición p en el momento t 0 solo puede moverse a ubicaciones dentro de p + c ( t 1 − t 0 ) en el momento t 1 .
Esto comúnmente se representa en un gráfico con ubicaciones físicas a lo largo del eje horizontal y el tiempo vertical, con unidades de tiempo y ct de espacio. Los conos de luz en esta representación aparecen como líneas a 45 grados centradas en el objeto, a medida que la luz viaja a per . En tal diagrama, cada posible ubicación futura del objeto se encuentra dentro del cono. Además, cada ubicación espacial tiene un tiempo futuro, lo que implica que un objeto puede permanecer en cualquier ubicación del espacio indefinidamente.
Cualquier punto en dicho diagrama se conoce como evento . Se considera que los eventos separados están separados en el tiempo si difieren a lo largo del eje del tiempo, o separados en el espacio si difieren a lo largo del eje del espacio. Si el objeto estuviera en caída libre , viajaría hacia arriba en el eje t ; si acelera, también se mueve a lo largo del eje x. El camino real que sigue un objeto a través del espacio-tiempo, a diferencia de los que podría seguir, se conoce como línea de mundo . Otra definición es que el cono de luz representa todas las líneas de mundo posibles.
En ejemplos "simples" de métricas del espacio-tiempo, el cono de luz se dirige hacia adelante en el tiempo. Esto corresponde al caso común de que un objeto no puede estar en dos lugares a la vez o, alternativamente, que no puede moverse instantáneamente a otro lugar. En estos espacio-tiempos, las líneas mundanas de los objetos físicos son, por definición, temporales. Sin embargo, esta orientación sólo es cierta para los espaciotiempos "localmente planos". En los espacios-tiempo curvos, el cono de luz estará "inclinado" a lo largo de la geodésica del espacio-tiempo . Por ejemplo, mientras se mueve en las proximidades de una estrella, la gravedad de la estrella "tirará" del objeto, afectando su línea mundial, por lo que sus posibles posiciones futuras estarán más cerca de la estrella. Esto aparece como un cono de luz ligeramente inclinado en el diagrama espacio-temporal correspondiente. En estas circunstancias, un objeto en caída libre continúa moviéndose a lo largo de su eje local, pero para un observador externo parece que también está acelerando en el espacio, una situación común si el objeto está en órbita, por ejemplo.
En ejemplos extremos, en espaciotiempos con métricas de curvatura adecuadamente altas, el cono de luz puede inclinarse más de 45 grados. Eso significa que hay posibles posiciones "futuras", desde el marco de referencia del objeto, que están separadas como un espacio para los observadores en un marco de reposo externo . Desde este punto de vista exterior, el objeto puede moverse instantáneamente a través del espacio. En estas situaciones, el objeto tendría que moverse, ya que su ubicación espacial actual no estaría en su propio cono de luz futuro. Además, con suficiente inclinación, hay lugares de eventos que se encuentran en el "pasado" visto desde el exterior. Con un movimiento adecuado de lo que le parece su propio eje espacial, el objeto parece viajar en el tiempo visto desde fuera.
Se puede crear una curva temporal cerrada si se configura una serie de conos de luz de modo que vuelvan a girar sobre sí mismos, de modo que sería posible que un objeto se moviera alrededor de este bucle y regresara al mismo lugar y hora en que comenzó. Un objeto en tal órbita regresaría repetidamente al mismo punto en el espacio-tiempo si permaneciera en caída libre. Regresar a la ubicación espacio-temporal original sería sólo una posibilidad; El futuro cono de luz del objeto incluiría puntos espacio-temporales tanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo, por lo que debería ser posible que el objeto viaje en el tiempo en estas condiciones.
Los CTC aparecen en soluciones exactas localmente inobjetables de la ecuación de campo de la relatividad general de Einstein , incluidas algunas de las soluciones más importantes. Éstas incluyen:
Algunos de estos ejemplos son, como el cilindro Tipler, bastante artificiales, pero se cree que la parte exterior de la solución de Kerr es en cierto sentido genérica, por lo que resulta bastante desconcertante saber que su interior contiene CTC. La mayoría de los físicos creen que las CTC en tales soluciones son artefactos. [4]
Una característica de un CTC es que abre la posibilidad de una línea mundial que no está conectada con tiempos anteriores y, por lo tanto, la existencia de eventos que no pueden rastrearse hasta una causa anterior. Normalmente, la causalidad exige que cada evento en el espacio-tiempo esté precedido por su causa en cada sistema de reposo. Este principio es fundamental en el determinismo , que en el lenguaje de la relatividad general afirma que el conocimiento completo del universo en una superficie de Cauchy similar al espacio se puede utilizar para calcular el estado completo del resto del espacio-tiempo. Sin embargo, en una CTC, la causalidad se desmorona, porque un evento puede ser "simultáneo" con su causa; en cierto sentido, un evento puede causarse a sí mismo. Es imposible determinar basándose únicamente en el conocimiento del pasado si existe o no algo en el CTC que pueda interferir con otros objetos en el espacio-tiempo. Por lo tanto, una CTC da como resultado un horizonte de Cauchy y una región del espacio-tiempo que no puede predecirse a partir del conocimiento perfecto de algún tiempo pasado.
Ningún CTC puede deformarse continuamente como un CTC hasta un punto (es decir, un CTC y un punto no son homotópicos temporales ), ya que la variedad no se comportaría causalmente bien en ese punto. La característica topológica que evita que el CTC se deforme hasta cierto punto se conoce como característica topológica temporal .
Podría decirse que la existencia de CTC impondría restricciones a los estados físicamente permisibles de los campos de materia y energía en el universo. La propagación de una configuración de campo a lo largo de la familia de líneas mundanas temporales cerradas debe, según tales argumentos, eventualmente dar como resultado un estado idéntico al original. Esta idea ha sido explorada por algunos científicos [ ¿quién? ] como posible enfoque para refutar la existencia de CTC.
Si bien se han propuesto formulaciones cuánticas de CTC , [5] [6] un gran desafío para ellas es su capacidad de crear libremente entrelazamientos , [7] que la teoría cuántica predice que es imposible. Si se cumple la prescripción de Deutsch, la existencia de estos CTC implica también la equivalencia de la computación cuántica y clásica (ambas en PSPACE ). [8] Si se cumple la prescripción de Lloyd, los cálculos cuánticos serían PP-completos.
Hay dos clases de CTC. Tenemos CTC contraibles hasta cierto punto (si ya no insistimos en que tiene que estar dirigido al futuro en todas partes), y tenemos CTC que no son contraibles. Para esto último, siempre podemos ir al espacio de cobertura universal y restablecer la causalidad. Para los primeros, tal procedimiento no es posible. Ninguna curva temporal cerrada es contráctil hasta un punto mediante una homotopía temporal entre curvas temporales, ya que ese punto no se comportaría causalmente bien. [3]
El conjunto que viola la cronología es el conjunto de puntos por los que pasan los CTC. El límite de este conjunto es el horizonte de Cauchy . El horizonte de Cauchy se genera mediante geodésicas nulas cerradas. [9] Asociado con cada geodésica nula cerrada hay un factor de corrimiento al rojo que describe el cambio de escala de la tasa de cambio del parámetro afín alrededor de un bucle. Debido a este factor de corrimiento al rojo, el parámetro afín termina en un valor finito después de infinitas revoluciones porque la serie geométrica converge.
