En matemáticas , la convergencia plana es una noción para la convergencia de subvariedades del espacio euclidiano. Fue introducida por primera vez por Hassler Whitney en 1957, y luego extendida a corrientes integrales por Federer y Fleming en 1960. Forma parte fundamental del campo de la teoría de la medida geométrica . La noción se aplicó para encontrar soluciones al problema de Plateau . En 2001, la noción de corriente integral se extendió a espacios métricos arbitrarios por Ambrosio y Kirchheim.
Una corriente k -dimensional T es una funcional lineal en el espacio de formas k suaves y compactas soportadas . Por ejemplo, dada una función de Lipschitz de una variedad al espacio euclidiano , , se tiene una corriente integral T ( ω ) definida al integrar el pullback de la forma k diferencial, ω , sobre N . Las corrientes tienen una noción de límite (que es el límite habitual cuando N es una variedad con límite) y una noción de masa, M ( T ), (que es el volumen de la imagen de N ). Una corriente rectificable entera se define como una suma contable de corrientes formadas a este respecto. Una corriente integral es una corriente rectificable entera cuyo límite tiene masa finita. Es un teorema profundo de Federer-Fleming que el límite es entonces también una corriente integral.
La norma plana | T | de una corriente integral k -dimensional T es el ínfimo de M ( A ) + M ( B ), donde el ínfimo se toma sobre todas las corrientes integrales A y B tales que .
La distancia plana entre dos corrientes integrales es entonces d F ( T , S ) = | T − S |.
Federer-Fleming demostró que si se tiene una secuencia de corrientes integrales cuyos soportes se encuentran en un conjunto compacto K con un límite superior uniforme en , entonces una subsecuencia converge en sentido plano a una corriente integral.
Este teorema se aplicó para estudiar sucesiones de subvariedades de borde fijo cuyo volumen se acercaba al ínfimo sobre todos los volúmenes de subvariedades con el borde dado. Produjo una solución débil candidata al problema de Plateau .
