Rotaciones encadenadas de Davenport

En física e ingeniería , las rotaciones encadenadas de Davenport son tres rotaciones intrínsecas encadenadas sobre ejes específicos fijos del cuerpo. Las rotaciones de Euler y las rotaciones de Tait-Bryan son casos particulares de la descomposición de la rotación general de Davenport. Los ángulos de rotación se denominan ángulos de Davenport porque el problema general de descomponer una rotación en una secuencia de tres fue estudiado por primera vez por Paul B. Davenport. ^[1]

El sistema de coordenadas rotatorio no ortogonal puede imaginarse como unido rígidamente a un cuerpo rígido. En este caso, a veces se lo denomina sistema de coordenadas local . Dado que los ejes de rotación son solidarios con el cuerpo en movimiento, las rotaciones generalizadas pueden dividirse en dos grupos (aquí x , y y z se refieren al marco de coordenadas en movimiento no ortogonal):

Rotaciones de Euler generalizadas: $(zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy)$
Rotaciones generalizadas de Tait-Bryan: $(xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz)$ .

La mayoría de los casos pertenecen al segundo grupo, dado que las rotaciones de Euler generalizadas son un caso degenerado en el que el primer y el tercer eje se superponen.

Teorema de rotación de Davenport

El problema general de descomponer una rotación en tres movimientos compuestos alrededor de ejes intrínsecos fue estudiado por P. Davenport, bajo el nombre de " ángulos de Euler generalizados ", pero más tarde estos ángulos fueron denominados "ángulos de Davenport" por M. Shuster y L. Markley. ^[2]

El problema general consiste en obtener la descomposición matricial de una rotación dados los tres ejes conocidos. En algunos casos se repite uno de los ejes. Este problema es equivalente a un problema de descomposición de matrices. ^[3]

Davenport demostró que cualquier orientación puede lograrse componiendo tres rotaciones elementales utilizando ejes no ortogonales. Las rotaciones elementales pueden ocurrir sobre los ejes del sistema de coordenadas fijo (rotaciones extrínsecas) o sobre los ejes de un sistema de coordenadas rotatorio, que inicialmente está alineado con el fijo y modifica su orientación después de cada rotación elemental (rotaciones intrínsecas).

Según el teorema de Davenport, una descomposición única es posible si y sólo si el segundo eje es perpendicular a los otros dos ejes. Por lo tanto, los ejes 1 y 3 deben estar en el plano ortogonal al eje 2. ^[2]

Por lo tanto, las descomposiciones en rotaciones encadenadas de Euler y de Tait-Bryan son casos particulares de esto. El caso de Tait-Bryan aparece cuando los ejes 1 y 3 son perpendiculares, y el caso de Euler aparece cuando se superponen.

Sistema completo de rotaciones

Imagen 2: Avión descansando sobre un plano

Se dice que un conjunto de rotaciones de Davenport es completo si es suficiente para generar cualquier rotación del espacio por composición. Hablando en términos matriciales, es completo si puede generar cualquier matriz ortonormal del espacio cuyo determinante sea +1. Debido a la no conmutatividad del producto matricial, el sistema de rotaciones debe estar ordenado.

En ocasiones, el orden viene impuesto por la geometría del problema subyacente. Por ejemplo, cuando se utiliza para vehículos que tienen un eje especial que apunta hacia la dirección "hacia adelante", sólo una de las seis posibles combinaciones de rotaciones es útil. La composición interesante es aquella capaz de controlar el rumbo y la elevación de la aeronave con una rotación independiente cada una.

En el dibujo adyacente, la composición de guiñada, cabeceo y alabeo (YPR) permite ajustar la dirección de una aeronave con los dos primeros ángulos. Una composición diferente como la YRP permitiría establecer la dirección del eje de las alas, lo que obviamente no es útil en la mayoría de los casos.

Rotaciones encadenadas de Tait-Bryan

Las rotaciones de Tait–Bryan son un caso especial en el que el primer y tercer eje son perpendiculares entre sí. Suponiendo un sistema de referencia ⟨ x , y , z ⟩ con una convención como en la imagen 2, y un plano con ejes ⟨ guiñada, cabeceo, balanceo⟩ como en la imagen 3 [ datos faltantes ] , que se encuentran horizontales en el plano ⟨x, y⟩ al principio, después de realizar rotaciones intrínsecas Y, P y R en los ejes de guiñada, cabeceo y balanceo (en este orden) obtenemos algo similar a la imagen 4 [ datos faltantes ] .

En el principio :

El eje de balanceo del avión está en el eje x del marco de referencia.
El eje de paso del plano está en el eje y del marco de referencia.
El eje de guiñada del avión está en el eje z del marco de referencia.

Las rotaciones se aplican en orden de guiñada, cabeceo y balanceo . En estas condiciones, el rumbo (ángulo en el plano horizontal) será igual a la guiñada aplicada y la elevación será igual al cabeceo.

Las expresiones matriciales para las tres rotaciones de Tait-Bryan en 3 dimensiones son:

{\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \ phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \ theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Guía} (\psi )&={ \begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{alineado}}

La matriz de las rotaciones compuestas es

{\begin{aligned}M&=\mathrm {Guía} (\psi )\,\mathrm {Pitch} (\theta )\,\mathrm {Roll} (\phi )\\&=R_{z} (\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}

De las seis combinaciones posibles de guiñada, cabeceo y balanceo, esta combinación es la única en la que el rumbo (dirección del eje de alabeo) es igual a una de las rotaciones (la guiñada), y la elevación (ángulo del eje de alabeo con el plano horizontal) es igual a la otra de las rotaciones (el cabeceo).

Rotaciones encadenadas de Euler

Imagen 5: Posición inicial de una aeronave para aplicar ángulos de Euler adecuados

Las rotaciones de Euler aparecen como el caso especial en el que el primer y tercer eje de rotación se superponen. Estas rotaciones de Euler están relacionadas con los ángulos de Euler propios, que se pensaba que estudiaban el movimiento de un cuerpo rígido como un planeta. El ángulo para definir la dirección del eje de giro normalmente se denomina "longitud del eje de revolución" o "longitud de la línea de nodos" en lugar de "rumbo", lo que no tiene sentido para un planeta.

De todas formas, las rotaciones de Euler se pueden seguir utilizando cuando se habla de un vehículo, aunque tendrán un comportamiento extraño. Como el eje vertical es el origen de los ángulos, se lo llama "inclinación" en lugar de "elevación". Como antes, al describir la actitud de un vehículo, hay un eje que apunta hacia adelante y, por lo tanto, solo una de las posibles combinaciones de rotaciones será útil.

La combinación depende de cómo se tomen los ejes y cuál sea la posición inicial del plano. Utilizando la del dibujo y combinando rotaciones de forma que se repita un eje, sólo el roll-pitch-roll permitirá controlar la longitud y la inclinación con una rotación cada una.

Las tres matrices a multiplicar son:

{\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0 \\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\ cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}( \psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{alineado}}

En esta convención, Roll ₁ impone el "rumbo", Pitch es la "inclinación" (complementaria de la elevación) y Roll ₂ impone la "inclinación".

Conversión a rotaciones extrínsecas

Imagen 6: Una rotación representada por ángulos de Euler ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), utilizando rotaciones intrínsecas *z-x'-z″*

Imagen 7: La misma rotación representada por (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), utilizando rotaciones extrínsecas *zxz*

Las rotaciones de Davenport suelen estudiarse como una composición de rotación intrínseca, debido a la importancia de los ejes fijos a un cuerpo en movimiento, pero pueden convertirse en una composición de rotación extrínseca, en caso de que resulte más intuitivo.

Cualquier rotación extrínseca es equivalente a una rotación intrínseca con los mismos ángulos pero con orden invertido de rotaciones elementales, y viceversa. Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z″ con ángulos α , β , γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas zyx con ángulos γ , β , α . Ambas se representan mediante una matriz

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

Donde , , y son las matrices de rotación elementales de los ángulos correspondientes. El producto de estas matrices, , debe entonces ser pre-multiplicado por un vector columna . Tome nota de las ambigüedades en la definición de matrices de rotación , ya que algunas definiciones pueden usar vectores fila en su lugar. $X(\alpha )$ $Y(\beta )$ $Z(\gamma )$ ${\estilo de visualización R}$

Relación con los movimientos físicos

Rotaciones intrínsecas

Las rotaciones intrínsecas son rotaciones elementales que ocurren sobre los ejes del sistema de coordenadas rotatorio XYZ , que cambia su orientación después de cada rotación elemental. El sistema XYZ rota, mientras que xyz es fijo. Comenzando con XYZ superponiéndose a xyz , se puede utilizar una composición de tres rotaciones intrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera:

El sistema XYZ gira en α alrededor del eje Z (que coincide con el eje z ). El eje X se encuentra ahora sobre la línea de nodos.
El sistema XYZ gira alrededor del eje X , que ahora está rotado en β . El eje Z ahora está en su orientación final y el eje X permanece en la línea de nodos.
El sistema XYZ gira una tercera vez alrededor del nuevo eje Z en γ .

La notación mencionada anteriormente nos permite resumir esto de la siguiente manera: las tres rotaciones elementales del sistema XYZ ocurren alrededor de z , x ' y z ″ . De hecho, esta secuencia a menudo se denota z-x'-z″ . Los conjuntos de ejes de rotación asociados tanto con ángulos de Euler propios como con ángulos de Tait-Bryan se nombran comúnmente utilizando esta notación (ver arriba para más detalles). A veces, la misma secuencia simplemente se llama zxz , ZXZ o 3-1-3 , pero esta notación puede ser ambigua ya que puede ser idéntica a la utilizada para rotaciones extrínsecas. En este caso, se hace necesario especificar por separado si las rotaciones son intrínsecas o extrínsecas.

Las matrices de rotación se pueden utilizar para representar una secuencia de rotaciones intrínsecas. Por ejemplo,

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

representa una composición de rotaciones intrínsecas sobre los ejes x-y'-z″ , si se utiliza para premultiplicar vectores columna . Esta es una práctica estándar, pero tenga en cuenta las ambigüedades en la definición de matrices de rotación .

Rotaciones extrínsecas

Las rotaciones extrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijo xyz . El sistema XYZ rota, mientras que xyz es fijo. Comenzando con XYZ superponiéndose a xyz , se puede utilizar una composición de tres rotaciones extrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera:

El sistema XYZ gira alrededor del eje z en un ángulo α . El eje X ahora forma un ángulo α con respecto al eje x .
El sistema XYZ gira nuevamente alrededor del eje x en β . El eje Z ahora forma un ángulo β con respecto al eje z .
El sistema XYZ gira una tercera vez alrededor del eje z en γ .

En suma, las tres rotaciones elementales ocurren alrededor de z , x y z . De hecho, esta secuencia a menudo se denota zxz (o 3-1-3). Los conjuntos de ejes de rotación asociados con ángulos de Euler propios y ángulos de Tait-Bryan se nombran comúnmente utilizando esta notación (ver arriba para más detalles).

Las matrices de rotación se pueden utilizar para representar una secuencia de rotaciones extrínsecas. Por ejemplo,

R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )

representa una composición de rotaciones extrínsecas sobre los ejes xyz , si se utiliza para multiplicar previamente los vectores columna . Esta es una práctica estándar, pero tenga en cuenta las ambigüedades en la definición de matrices de rotación .

Conversión entre rotaciones intrínsecas y extrínsecas

Imagen 8: Una rotación representada por ángulos de Euler ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), utilizando rotaciones intrínsecas *z-x'-z″*

Imagen 9: La misma rotación representada por (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), utilizando rotaciones extrínsecas *zxz*

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

if se utiliza para multiplicar previamente los vectores columna . Esta es una práctica estándar, pero tenga en cuenta las ambigüedades en la definición de matrices de rotación . ${\estilo de visualización R}$

La prueba de la conversión en el caso de pre-multiplicación

La matriz de rotación de la secuencia de rotación intrínseca x-y'-z″ se puede obtener mediante las rotaciones secuenciales de elementos intrínsecos de derecha a izquierda:

R=Z''Y'X.

En este proceso hay tres cuadros relacionados en la secuencia de rotación intrínseca. Denotemos el cuadro 0 como cuadro inicial, el cuadro 1 después de la primera rotación alrededor del eje x , el cuadro 2 después de la segunda rotación alrededor del eje y' , y el cuadro 3 como la tercera rotación alrededor del eje z″ .

Como se puede representar una matriz de rotación entre estos tres cuadros, utilizaremos el índice del hombro izquierdo para indicar el cuadro de representación. La siguiente notación significa la matriz de rotación que transforma el cuadro a en el cuadro b y que se representa en el cuadro c :

{}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.

Una matriz de rotación de elementos intrínsecos representada en ese marco donde ocurre la rotación tiene el mismo valor que el de la matriz de rotación de elementos extrínsecos correspondiente:

{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}=Z.

La matriz de rotación de elementos intrínsecos Y' y Z″ representada en el marco 0 se puede expresar de otras formas:

{\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\derecha)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{alineado}}

Las dos ecuaciones anteriores se sustituyen por la primera ecuación:

{\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}

Por lo tanto, la matriz de rotación de una secuencia de rotación de elementos intrínsecos es la misma que la de la secuencia de rotación de elementos extrínsecos inversa:

R=Z''Y'X=XYZ.

Véase también

Referencias

^ PB Davenport, Rotaciones sobre ejes no ortogonales
^ ab M. Shuster y L. Markley, Generalización de los ángulos de Euler, Journal of the Astronautical Sciences, vol. 51, n.º 2, abril-junio de 2003, págs. 123-123
^ J. Wittenburg, L. Lilov, Descomposición de una rotación finita en tres rotaciones alrededor de ejes dados [1]