Divisor de cero

Elemento de anillo que puede multiplicarse por un elemento distinto de cero para obtener 0

En álgebra abstracta , un elemento a de un anillo R se llama divisor de cero izquierdo si existe un x distinto de cero en R tal que ax = 0 , ^[1] o equivalentemente si la función de R a R que envía x a ax no es inyectiva . ^[a] De manera similar, un elemento a de un anillo se llama divisor de cero derecho si existe un y distinto de cero en R tal que ya = 0. Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos . Un elemento que es divisor de cero izquierdo o derecho se llama simplemente divisor de cero . ^[2] Un elemento  a que es tanto divisor de cero izquierdo como derecho se llama divisor de cero bilateral (el x distinto de cero tal que ax = 0 puede ser diferente del y distinto de cero tal que ya = 0 ). Si el anillo es conmutativo , entonces los divisores de cero izquierdo y derecho son iguales.

Un elemento de un anillo que no es divisor de cero por la izquierda (respectivamente, no es divisor de cero por la derecha) se llama regular por la izquierda o cancelable por la izquierda (respectivamente, regular por la derecha o cancelable por la derecha ). Un elemento de un anillo que es cancelable por la izquierda y por la derecha, y por lo tanto no es divisor de cero, se llama regular o cancelable , ^[3] o divisor distinto de cero . Un divisor de cero que no es cero se llama divisor de cero distinto de cero o divisor de cero no trivial . Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio .

Ejemplos

• En el anillo , la clase de residuo es un divisor de cero ya que . ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$
• El único divisor de cero del anillo de números enteros es . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$
• Un elemento nilpotente de un anillo distinto de cero es siempre un divisor de cero de dos lados.
• Un elemento idempotente de un anillo es siempre un divisor de cero de dos lados, ya que . ${\displaystyle e\neq 1}$ ${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$
• El anillo de matrices n  ×  n sobre un cuerpo tiene divisores de cero distintos de cero si n ≥ 2. A continuación se muestran ejemplos de divisores de cero en el anillo de matrices 2 × 2 (sobre cualquier anillo distinto de cero):

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• Un producto directo de dos o más anillos distintos de cero siempre tiene divisores de cero distintos de cero. Por ejemplo, en con cada distinto de cero, , entonces es un divisor de cero. ${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$
• Sea un cuerpo y un grupo . Supongamos que tiene un elemento de orden finito . Entonces, en el anillo de grupo , se tiene , y ninguno de sus factores es cero, por lo que es un divisor de cero distinto de cero en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$ ${\displaystyle 1-g}$ ${\displaystyle K[G]}$

Divisor de cero unilateral

• Consideremos el anillo de matrices (formales) con y . Entonces y . Si , entonces es un divisor de cero por la izquierda si y solo si es par , ya que , y es un divisor de cero por la derecha si y solo si es par por razones similares. Si cualquiera de es , entonces es un divisor de cero bilateral. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\neq 0\neq z}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,z}$ ${\displaystyle 0}$
• Aquí hay otro ejemplo de un anillo con un elemento que es divisor de cero en un solo lado. Sea el conjunto de todas las secuencias de números enteros . Tome como anillo todas las aplicaciones aditivas de a , con adición y composición puntuales como operaciones de anillo. (Es decir, nuestro anillo es , el anillo de endomorfismo del grupo aditivo ). Tres ejemplos de elementos de este anillo son el desplazamiento a la derecha , el desplazamiento a la izquierda y la aplicación de proyección sobre el primer factor . Estas tres aplicaciones aditivas no son cero, y los compuestos y son ambos cero, por lo que es un divisor de cero por la izquierda y es un divisor de cero por la derecha en el anillo de aplicaciones aditivas de a . Sin embargo, no es un divisor de cero por la derecha y no es un divisor de cero por la izquierda: el compuesto es la identidad. es un divisor de cero de dos lados ya que , mientras que no está en ninguna dirección. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$ ${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$ ${\displaystyle LP}$ ${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle LR}$ ${\displaystyle RL}$ ${\displaystyle RLP=0=PRL}$ ${\displaystyle LR=1}$

No-ejemplos

• El anillo de números enteros módulo un número primo no tiene divisores de cero distintos de cero. Como cada elemento distinto de cero es una unidad , este anillo es un cuerpo finito .
• De manera más general, un anillo de división no tiene divisores de cero distintos de cero.
• Un anillo conmutativo distinto de cero cuyo único divisor de cero es 0 se denomina dominio integral .

Propiedades

• En el anillo de matrices n  ×  n sobre un cuerpo, los divisores de cero izquierdo y derecho coinciden; son precisamente las matrices singulares . En el anillo de matrices n  ×  n sobre un dominio integral , los divisores de cero son precisamente las matrices con determinante cero.
• Los divisores de cero izquierdo o derecho nunca pueden ser unidades , porque si a es invertible y ax = 0 para algún x distinto de cero , entonces 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , una contradicción.
• Un elemento es cancelable en el lado en el que es regular. Es decir, si a es regular por la izquierda, ax = ay implica que x = y , y lo mismo ocurre con los regulares por la derecha.

Cero como divisor de cero

No es necesaria una convención separada para el caso a = 0 , porque la definición se aplica también en este caso:

• Si R es un anillo distinto del anillo cero , entonces 0 es un divisor de cero (de dos lados), porque cualquier elemento distinto de cero x satisface 0 x = 0 = x  0 .
• Si R es el anillo cero, en el que 0 = 1 , entonces 0 no es un divisor de cero, porque no hay ningún elemento distinto de cero que al multiplicarse por 0 dé como resultado 0 .

Algunas referencias incluyen o excluyen 0 como divisor de cero en todos los anillos por convención, pero luego sufren el problema de tener que introducir excepciones en declaraciones como las siguientes:

• En un anillo conmutativo R , el conjunto de divisores distintos de cero es un conjunto multiplicativo en R . (Esto, a su vez, es importante para la definición del anillo de cociente total ). Lo mismo es cierto para el conjunto de divisores distintos de cero por la izquierda y el conjunto de divisores distintos de cero por la derecha en un anillo arbitrario, conmutativo o no.
• En un anillo noetheriano conmutativo R , el conjunto de divisores de cero es la unión de los ideales primos asociados de R .

Divisor de cero en un módulo

Sea R un anillo conmutativo, sea M un módulo R y sea a un elemento de R. Se dice que a es M -regular si la función "multiplicación por a " es inyectiva, y que a es un divisor de cero en M en caso contrario. ^[4] El conjunto de elementos M - regulares es un conjunto multiplicativo en R. ^[4] ${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$

Especializando las definiciones de " M -regular" y "divisor de cero en M " al caso M = R se recuperan las definiciones de "regular" y "divisor de cero" dadas anteriormente en este artículo.

Véase también

• Propiedad de producto cero
• Glosario de álgebra conmutativa (Divisor exacto de cero)
• Gráfico de divisor cero

Notas

1. Como el mapa no es inyectivo, tenemos ax = ay , en donde x difiere de y , y por lo tanto a ( x − y ) = 0 .

Referencias

1. N. Bourbaki (1989), Álgebra I, capítulos 1-3 , Springer-Verlag, pág. 98
2. Charles Lanski (2005), Conceptos en álgebra abstracta , American Mathematical Soc., pág. 342
3. Nicolas Bourbaki (1998). Álgebra I. Springer Science+Business Media . pág. 15.
4. Hideyuki Matsumura (1980), Álgebra conmutativa, 2.ª edición , The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., pág. 12

Lectura adicional

• "Divisor de cero", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladímir V. Kirichenko. (2004), Álgebras, anillos y módulos , vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
• Weisstein, Eric W. "Divisor de cero". MathWorld .