Diagrama de polos y ceros

Diagrama que muestra las singularidades de la función de transferencia de un sistema de control dado

En matemáticas , procesamiento de señales y teoría de control , un diagrama de polos y ceros es una representación gráfica de una función de transferencia racional en el plano complejo que ayuda a transmitir ciertas propiedades del sistema como:

• Estabilidad
• Sistema causal / sistema anticausal
• Región de convergencia (ROC)
• Fase mínima / fase no mínima

Un diagrama de polos y ceros muestra la ubicación en el plano complejo de los polos y ceros de la función de transferencia de un sistema dinámico , como un controlador, compensador, sensor, ecualizador, filtro o canal de comunicaciones. Por convención, los polos del sistema se indican en el diagrama con una X, mientras que los ceros se indican con un círculo o una O.

Se traza un diagrama de polos y ceros en el plano de un dominio de frecuencia complejo , que puede representar un sistema de tiempo continuo o de tiempo discreto:

• Los sistemas de tiempo continuo utilizan la transformada de Laplace y se representan en el plano s : ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$
  • Los componentes de frecuencia reales están a lo largo de su eje vertical (la línea imaginaria donde ) ${\displaystyle s{=}j\omega }$ ${\displaystyle \sigma {=}0}$
• Los sistemas de tiempo discreto utilizan la transformada Z y se representan en el plano z : ${\displaystyle z=Ae^{j\phi }}$
  • Los componentes de frecuencia real están a lo largo de su círculo unitario.

Sistemas de tiempo continuo

En general, una función de transferencia racional para un sistema LTI de tiempo continuo tiene la forma:

$${\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle B}$y son polinomios en , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle M}$es el orden del polinomio numerador,
• ${\displaystyle b_{m}}$es el ^ésimo coeficiente del polinomio numerador, ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$es el orden del polinomio denominador, y
• ${\displaystyle a_{n}}$es el ^ésimo coeficiente del polinomio denominador. ${\displaystyle n}$

Uno o ambos pueden ser cero, pero en sistemas reales debería ser así ; de lo contrario, la ganancia sería ilimitada en frecuencias altas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\leq N}$

Polos y ceros

• los ceros del sistema son raíces del polinomio numerador: tal que $${\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}}$$ $${\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0}$$
• los polos del sistema son raíces del polinomio denominador: tal que $${\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}}$$ $${\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.}$$

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) para una función de transferencia de tiempo continuo dada es un semiplano o una franja vertical, ninguno de los cuales contiene polos. En general, la ROC no es única, y la ROC particular en cualquier caso dado depende de si el sistema es causal o anticausal.

• Si la ROC incluye el eje imaginario , entonces el sistema es estable con entrada y salida limitadas (BIBO) .
• Si la ROC se extiende hacia la derecha desde el polo con la parte real más grande (pero no en el infinito), entonces el sistema es causal.
• Si la ROC se extiende hacia la izquierda desde el polo con la parte real más pequeña (pero no en el infinito negativo), entonces el sistema es anticausal.

Generalmente se elige la ROC para incluir el eje imaginario, ya que es importante que la mayoría de los sistemas prácticos tengan estabilidad BIBO .

Ejemplo

$${\displaystyle H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}}$$

Este sistema no tiene ceros (finitos) y dos polos: y $${\displaystyle s=\alpha _{1}=-3+4j}$$ $${\displaystyle s=\alpha _{2}=-3-4j}$$

El gráfico de polos y ceros sería:

Nótese que estos dos polos son conjugados complejos , lo cual es la condición necesaria y suficiente para tener coeficientes de valor real en la ecuación diferencial que representa el sistema.

Sistemas de tiempo discreto

En general, una función de transferencia racional para un sistema LTI de tiempo discreto tiene la forma:

$${\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle M}$es el orden del polinomio numerador,
• ${\displaystyle b_{m}}$es el ^ésimo coeficiente del polinomio numerador, ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$es el orden del polinomio denominador, y
• ${\displaystyle a_{n}}$es el ^ésimo coeficiente del polinomio denominador. ${\displaystyle n}$

Cualquiera de ellos o ambos pueden ser cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Polos y ceros

• ${\displaystyle z=\beta _{m}}$tales que son los ceros del sistema ${\displaystyle P(z)|_{z=\beta _{m}}=0}$
• ${\displaystyle z=\alpha _{n}}$tales que son los polos del sistema. ${\displaystyle Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0}$

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) para una función de transferencia de tiempo discreto dada es un disco o anillo que no contiene polos no cancelados. En general, la ROC no es única y la ROC particular en cualquier caso dado depende de si el sistema es causal o anticausal.

• Si la ROC incluye el círculo unitario , entonces el sistema es estable con entrada y salida acotadas (BIBO) .
• Si la ROC se extiende hacia afuera desde el polo con la magnitud más grande (pero no infinita), entonces el sistema tiene una respuesta al impulso del lado derecho. Si la ROC se extiende hacia afuera desde el polo con la magnitud más grande y no hay ningún polo en el infinito, entonces el sistema es causal.
• Si la ROC se extiende hacia adentro desde el polo con la magnitud más pequeña (distinta de cero), entonces el sistema es anticausal.

Generalmente se elige la ROC para incluir el círculo unitario, ya que es importante que la mayoría de los sistemas prácticos tengan estabilidad BIBO .

Ejemplo

Si y están completamente factorizados, su solución se puede representar gráficamente fácilmente en el plano z . Por ejemplo, dada la siguiente función de transferencia: ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle Q(z)}$ $${\displaystyle H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}}$$

El único cero (finito) se encuentra en: , y los dos polos se encuentran en: , donde es la unidad imaginaria . ${\displaystyle z=-2}$ ${\displaystyle z=\pm {\frac {j}{2}}}$ ${\displaystyle j}$

El gráfico de polos y ceros sería:

Véase también

• Lugar de las raíces
• Transformada de Laplace
• Transformada Z
• Función racional

Bibliografía

• Haag, Michael (22 de junio de 2005). "Comprensión de los gráficos de polo/cero en el plano Z". OpenStax CNX . Consultado el 9 de junio de 2018 .^{[ enlace muerto ]}
• Eric W. Weisstein . "Z-Transform". MathWorld . Consultado el 24 de enero de 2010 .