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Diagrama de polos y ceros

En matemáticas , procesamiento de señales y teoría de control , un diagrama de polos y ceros es una representación gráfica de una función de transferencia racional en el plano complejo que ayuda a transmitir ciertas propiedades del sistema como:

Un diagrama de polos y ceros muestra la ubicación en el plano complejo de los polos y ceros de la función de transferencia de un sistema dinámico , como un controlador, compensador, sensor, ecualizador, filtro o canal de comunicaciones. Por convención, los polos del sistema se indican en el diagrama con una X, mientras que los ceros se indican con un círculo o una O.

Se traza un diagrama de polos y ceros en el plano de un dominio de frecuencia complejo , que puede representar un sistema de tiempo continuo o de tiempo discreto:

Sistemas de tiempo continuo

En general, una función de transferencia racional para un sistema LTI de tiempo continuo tiene la forma:

dónde

Uno o ambos pueden ser cero, pero en sistemas reales debería ser así ; de lo contrario, la ganancia sería ilimitada en frecuencias altas.

Polos y ceros

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) para una función de transferencia de tiempo continuo dada es un semiplano o una franja vertical, ninguno de los cuales contiene polos. En general, la ROC no es única, y la ROC particular en cualquier caso dado depende de si el sistema es causal o anticausal.

Generalmente se elige la ROC para incluir el eje imaginario, ya que es importante que la mayoría de los sistemas prácticos tengan estabilidad BIBO .

Ejemplo

Este sistema no tiene ceros (finitos) y dos polos: y

El gráfico de polos y ceros sería:

Nótese que estos dos polos son conjugados complejos , lo cual es la condición necesaria y suficiente para tener coeficientes de valor real en la ecuación diferencial que representa el sistema.

Sistemas de tiempo discreto

En general, una función de transferencia racional para un sistema LTI de tiempo discreto tiene la forma:

dónde

Cualquiera de ellos o ambos pueden ser cero.

Polos y ceros

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) para una función de transferencia de tiempo discreto dada es un disco o anillo que no contiene polos no cancelados. En general, la ROC no es única y la ROC particular en cualquier caso dado depende de si el sistema es causal o anticausal.

Generalmente se elige la ROC para incluir el círculo unitario, ya que es importante que la mayoría de los sistemas prácticos tengan estabilidad BIBO .

Ejemplo

Si y están completamente factorizados, su solución se puede representar gráficamente fácilmente en el plano z . Por ejemplo, dada la siguiente función de transferencia:

El único cero (finito) se encuentra en: , y los dos polos se encuentran en: , donde es la unidad imaginaria .

El gráfico de polos y ceros sería:

Véase también

Bibliografía