En la rama de las matemáticas llamada teoría del orden , una red modular es una red que satisface la siguiente condición autodual ,
donde x , a , b son elementos arbitrarios en la red, ≤ es el orden parcial , y ∨ y ∧ (llamados unirse y encontrarse respectivamente) son las operaciones de la red. Esta frase enfatiza una interpretación en términos de proyección sobre la subred [ a , b ] , un hecho conocido como teorema del isomorfismo del diamante . [1] Una condición alternativa pero equivalente expresada como una ecuación (ver más abajo) enfatiza que las redes modulares forman una variedad en el sentido del álgebra universal .
Las redes modulares surgen naturalmente en álgebra y en muchas otras áreas de las matemáticas. En estos escenarios, la modularidad es una abstracción del segundo teorema del isomorfismo . Por ejemplo, los subespacios de un espacio vectorial (y más generalmente los submódulos de un módulo sobre un anillo ) forman una red modular.
En una red no necesariamente modular, todavía puede haber elementos b para los cuales se cumple la ley modular en conexión con elementos arbitrarios x y a (para a ≤ b ). Un elemento de este tipo se denomina elemento modular recto . Aún más generalmente, la ley modular puede ser válida para cualquier a y un par fijo ( x , b ) . Tal par se llama par modular , y existen varias generalizaciones de modularidad relacionadas con esta noción y con la semimodularidad .
Las celosías modulares a veces se denominan celosías de Dedekind en honor a Richard Dedekind , quien descubrió la identidad modular en varios ejemplos motivadores.
La ley modular puede verse como una ley asociativa restringida que conecta las dos operaciones de red de manera similar a la forma en que la ley asociativa λ(μ x ) = (λμ) x para espacios vectoriales conecta la multiplicación en el campo y la multiplicación escalar.
La restricción a ≤ b es claramente necesaria, ya que se sigue de a ∨ ( x ∧ b ) = ( a ∨ x ) ∧ b . En otras palabras, ninguna red con más de un elemento satisface la consecuente ilimitada de la ley modular.
Es fácil ver [2] que a ≤ b implica a ∨ ( x ∧ b ) ≤ ( a ∨ x ) ∧ b en cada red. Por lo tanto, la ley modular también se puede expresar como
La ley modular se puede expresar como una ecuación que debe cumplirse incondicionalmente. Dado que a ≤ b implica a = a ∧ b y dado que a ∧ b ≤ b , reemplace a con a ∧ b en la ecuación definitoria de la ley modular para obtener:
Esto muestra que, usando terminología del álgebra universal , las redes modulares forman una subvariedad de la variedad de redes. Por tanto, todas las imágenes homomórficas, subredes y productos directos de redes modulares son nuevamente modulares.
La red de submódulos de un módulo sobre un anillo es modular. Como caso especial, la red de subgrupos de un grupo abeliano es modular.
La red de subgrupos normales de un grupo es modular. Pero, en general, la red de todos los subgrupos de un grupo no es modular. Por ejemplo, la red de subgrupos del grupo diédrico de orden 8 no es modular.
La red no modular más pequeña es la red "pentágono" N 5 que consta de cinco elementos 0, 1, x , a , b tales que 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, y a no es comparable a x o a b . Para esta celosía,
se mantiene, contradiciendo la ley modular. Cada red no modular contiene una copia de N 5 como subred. [3]
Toda red distributiva es modular. [4] [5]
Dilworth (1954) demostró que, en toda red modular finita, el número de elementos irreducibles por unión es igual al número de elementos irreducibles por unión. De manera más general, para cada k , el número de elementos de la red que cubren exactamente k otros elementos es igual al número de elementos que están cubiertos exactamente por k otros elementos. [6]
Una propiedad útil para demostrar que una red no es modular es la siguiente:
Bosquejo de la prueba: Sea G G modular y que se cumpla la premisa de la implicación. Luego usando absorción e identidad modular:
Para la otra dirección, dejemos que la implicación del teorema se cumpla en G. Sean a , b , c cualesquiera elementos en G, tales que c ≤ a . Sea x = ( a ∧ b ) ∨ c , y = a ∧ ( b ∨ c ). De la desigualdad modular se sigue inmediatamente que x ≤ y . Si demostramos que x ∧ b = y ∧ b , x ∨ b = y ∨ b , entonces se debe cumplir el supuesto x = y . El resto de la prueba es la manipulación rutinaria de la ínfima, la supremacía y las desigualdades. [ cita necesaria ]
Para dos elementos cualesquiera a , b de una red modular, se pueden considerar los intervalos [ a ∧ b , b ] y [ a , a ∨ b ]. Están conectados por mapas que preservan el orden.
que están definidos por φ( x ) = x ∨ a y ψ( y ) = y ∧ b .
La composición ψφ es un mapa que preserva el orden desde el intervalo [ a ∧ b , b ] hacia sí mismo que también satisface la desigualdad ψ(φ( x )) = ( x ∨ a ) ∧ b ≥ x . El ejemplo muestra que esta desigualdad puede ser estricta en general. Sin embargo, en una red modular la igualdad se cumple. Dado que el dual de una red modular es nuevamente modular, φψ es también la identidad en [ a , a ∨ b ] y, por lo tanto, los dos mapas φ y ψ son isomorfismos entre estos dos intervalos. Este resultado a veces se denomina teorema del isomorfismo del diamante para redes modulares. Una red es modular si y sólo si el teorema del isomorfismo del diamante se cumple para cada par de elementos.
El teorema del isomorfismo del diamante para redes modulares es análogo al segundo teorema del isomorfismo en álgebra y es una generalización del teorema de la red .
En cualquier red, un par modular es un par ( a, b ) de elementos tales que para todo x que satisfaga a ∧ b ≤ x ≤ b , tenemos ( x ∨ a ) ∧ b = x , es decir, si la mitad del diamante El teorema del isomorfismo es válido para el par. [7] Un elemento b de una red se llama elemento modular derecho si ( a, b ) es un par modular para todos los elementos a , y un elemento a se llama elemento modular izquierdo si ( a, b ) es un par modular para todos los elementos b . [8]
Una red con la propiedad de que si ( a, b ) es un par modular, entonces ( b, a ) también es un par modular se llama red M-simétrica . [9] Por lo tanto, en una red simétrica M, cada elemento modular derecho también es modular izquierdo, y viceversa. Dado que una red es modular si y sólo si todos los pares de elementos son modulares, claramente toda red modular es M-simétrica. En la red N 5 descrita anteriormente, el par ( b, a ) es modular, pero el par ( a, b ) no lo es. Por lo tanto, N 5 no es M-simétrico. La red hexagonal centrada S 7 es simétrica M pero no modular. Dado que N 5 es una subred de S 7 , se deduce que las redes M-simétricas no forman una subvariedad de la variedad de redes.
La simetría M no es una noción dual. Un par modular dual es un par que es modular en la red dual , y una red se llama dualmente M-simétrica o M * -simétrica si su dual es M-simétrica. Se puede demostrar que una red finita es modular si y sólo si es M-simétrica y M * -simétrica. La misma equivalencia se cumple para redes infinitas que satisfacen la condición de cadena ascendente (o la condición de cadena descendente).
Varias nociones menos importantes también están estrechamente relacionadas. Una red es simétrica cruzada si para cada par modular ( a, b ) el par ( b, a ) es dualmente modular. La simetría cruzada implica simetría M pero no simetría M * . Por lo tanto, la simetría cruzada no es equivalente a la simetría cruzada dual. Una red con un elemento mínimo 0 es ⊥-simétrica si para cada par modular ( a, b ) que satisface a ∧ b = 0 el par ( b, a ) también es modular.
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La definición de modularidad se debe a Richard Dedekind , quien publicó la mayoría de los artículos relevantes después de su jubilación. En un artículo publicado en 1894 [ cita necesaria ] estudió redes, a las que llamó grupos duales ( alemán : Dualgruppen ) como parte de su "álgebra de módulos " y observó que los ideales satisfacen lo que ahora llamamos la ley modular. También observó que para las redes en general, la ley modular es equivalente a su dual.
En otro artículo de 1897, Dedekind estudió la red de divisores con mcd y mcm como operaciones, de modo que el orden de la red viene dado por la divisibilidad. [10] En una digresión introdujo y estudió las celosías formalmente en un contexto general. [10] : 10–18 Observó que la red de submódulos de un módulo satisface la identidad modular. Llamó a estas redes grupos duales de tipo modular ( Dualgruppen vom Modultypus ). También demostró que la identidad modular y su dual son equivalentes. [10] : 13
En el mismo artículo, Dedekind también investigó la siguiente forma más fuerte [10] : 14 de la identidad modular, que también es autodual: [10] : 9
Llamó a las celosías que satisfacen esta identidad grupos duales de tipo ideal ( Dualgruppen vom Idealtypus ). [10] : 13 En la literatura moderna, se les conoce más comúnmente como redes distributivas . Dio ejemplos de una red que no es modular y de una red modular que no es del tipo ideal. [10] : 14
Un artículo publicado por Dedekind en 1900 tenía como tema central las celosías: describía la celosía modular libre generada por tres elementos, una celosía con 28 elementos (ver imagen). [11]
