Celda unitaria

En geometría , biología , mineralogía y física del estado sólido , una celda unitaria es una unidad repetitiva formada por los vectores que abarcan los puntos de una red. ^[1] A pesar de su sugerente nombre, la celda unitaria (a diferencia de un vector unitario, por ejemplo) no tiene necesariamente un tamaño unitario, ni siquiera un tamaño particular. Más bien, la celda primitiva es la analogía más cercana a un vector unitario, ya que tiene un tamaño determinado para una red dada y es el componente básico a partir del cual se construyen celdas más grandes.

El concepto se utiliza particularmente para describir la estructura cristalina en dos y tres dimensiones, aunque tiene sentido en todas las dimensiones. Una celosía se puede caracterizar por la geometría de su celda unitaria, que es una sección del mosaico (un paralelogramo o paralelepípedo ) que genera todo el mosaico utilizando solo traslaciones.

Existen dos casos especiales de celda unitaria: la celda primitiva y la celda convencional . La celda primitiva es una celda unitaria correspondiente a un solo punto de la red , es la celda unitaria más pequeña posible. ^[2] En algunos casos, la simetría completa de una estructura cristalina no es obvia a partir de la celda primitiva, en cuyo caso se puede usar una celda convencional. Una celda convencional (que puede ser primitiva o no) es una celda unitaria con la simetría total de la red y puede incluir más de un punto de la red. Las celdas unitarias convencionales son paralelotopos en n dimensiones.

Célula primitiva

Una celda primitiva es una celda unitaria que contiene exactamente un punto de red. Para las celdas unitarias en general, los puntos de la red que son compartidos por $n$ celdas se cuentan como ⁠1/ $norte$ ⁠ de los puntos de la red contenidos en cada una de esas celdas; así, por ejemplo, se considera que una celda unitaria primitiva en tres dimensiones que tiene puntos de red solo en sus ocho vértices contiene ⁠1/8⁠ de cada uno de ellos. ^[3] Una conceptualización alternativa es elegir consistentemente solo uno de los $n$ puntos de la red para que pertenezca a la celda unitaria dada (de modo que los otros $n-1$ puntos de la red pertenezcan a celdas unitarias adyacentes).

Los vectores de traducción primitivos $a \to 1$ , $a \to 2$ , $a \to 3$ abarcan una celda de red de volumen más pequeño para una red tridimensional particular y se utilizan para definir un vector de traducción cristalina.

{\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_ {3},

donde $u 1$ , $u 2$ , $u 3$ son números enteros, cuya traducción deja la red invariante. ^{[nota 1]} Es decir, para un punto en la red $r$ , la disposición de los puntos parece la misma desde $r' = r + T \to$ como desde $r$ . ^[4]

Dado que la celda primitiva está definida por los ejes primitivos (vectores) $a \to 1$ , $a \to 2$ , $a \to 3$ , el volumen $V p$ de la celda primitiva está dado por el paralelepípedo de los ejes anteriores como

V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_ {3})\derecha|.

Por lo general, las células primitivas en dos y tres dimensiones se eligen para que adopten la forma de paralelogramos y paralelepípedos, con un átomo en cada esquina de la célula. Esta elección de celda primitiva no es única, pero el volumen de las celdas primitivas siempre vendrá dado por la expresión anterior. ^[5]

Célula Wigner-Seitz

Además de las células primitivas paralelepípedas, para cada red de Bravais existe otro tipo de célula primitiva llamada célula de Wigner-Seitz. En la celda de Wigner-Seitz, el punto de la red está en el centro de la celda y, en la mayoría de las redes de Bravais, la forma no es un paralelogramo ni un paralelepípedo. Este es un tipo de célula Voronoi . La celda de Wigner-Seitz de la red recíproca en el espacio de momento se llama zona de Brillouin .

Celda convencional

Para cada red particular, los cristalógrafos han elegido una celda convencional caso por caso basándose en la conveniencia del cálculo. ^[6] Estas celdas convencionales pueden tener puntos de red adicionales ubicados en el medio de las caras o el cuerpo de la celda unitaria. El número de puntos de la red, así como el volumen de la celda convencional, es un múltiplo entero (1, 2, 3 o 4) del de la celda primitiva. ^[7]

Dos dimensiones

Para cualquier red bidimensional, las celdas unitarias son paralelogramos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambos. Cuatro de las cinco redes bidimensionales de Bravais se representan mediante celdas primitivas convencionales, como se muestra a continuación.

La red rectangular centrada también tiene una celda primitiva en forma de rombo, pero para permitir una fácil discriminación sobre la base de la simetría, se representa mediante una celda convencional que contiene dos puntos de la red.

Tres dimensiones

Para cualquier red tridimensional, las celdas unitarias convencionales son paralelepípedos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambas cosas. Siete de las catorce redes tridimensionales de Bravais se representan mediante celdas primitivas convencionales, como se muestra a continuación.

Las otras siete redes de Bravais (conocidas como redes centradas) también tienen celdas primitivas en forma de paralelepípedo, pero para permitir una fácil discriminación sobre la base de la simetría, están representadas por celdas convencionales que contienen más de un punto de la red.

Ver también

Notas

^ En $n$ dimensiones, el vector de traslación del cristal sería
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
Es decir, para un punto en la red $r$ , la disposición de los puntos parece la misma desde $r' = r + T \to$ como desde $r$ .

Referencias

^ Ashcroft, Neil W. (1976). "Capítulo 4". Física del Estado Sólido . Compañía WB Saunders. pag. 72.ISBN 0-03-083993-9.
^ Simón, Steven (2013). La física del estado sólido de Oxford (1 ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 114.ISBN 978-0-19-968076-4.
^ "DoITPoMS - Cristalografía de biblioteca TLP - Celda unitaria". Recursos de aprendizaje en línea de ciencia de materiales: DoITPoMS . Universidad de Cambridge . Consultado el 21 de febrero de 2015 .
^ Kittel, Charles (11 de noviembre de 2004). Introducción a la Física del Estado Sólido (8 ed.). Wiley. pag. 4.ISBN 978-0-471-41526-8.
^ Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). "La biblioteca AFLOW de prototipos cristalográficos: parte 1". Ciencia de Materiales Computacionales . 136 . Elsevier BV: T1–S828. arXiv : 1806.07864 . doi :10.1016/j.commatsci.2017.01.017. ISSN 0927-0256. S2CID 119490841.
^ Aroyo, MI, ed. (31 de diciembre de 2016). Tablas internacionales para cristalografía . Chester, Inglaterra: Unión Internacional de Cristalografía. pag. 25.doi :10.1107/97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0.
^ Ashcroft, Neil W. (1976). Física del Estado Sólido . Compañía WB Saunders. pag. 73.ISBN 0-03-083993-9.