Cuasi-categoría

Generalización de una categoría

En matemáticas, más específicamente en teoría de categorías , un complejo Kan débil , complejo Kan interno , categoría infinita , ∞-categoría , complejo de Boardman ) es una generalización de la noción de categoría . El estudio de tales generalizaciones se conoce como teoría de categorías superiores .

Boardman y Vogt (1973) introdujeron la generalización de una categoría. André Joyal ha avanzado mucho en el estudio de la generalización de una categoría, demostrando que la mayor parte de la teoría básica de categorías y algunas de las nociones y teoremas avanzados tienen sus análogos para la generalización de una categoría. Jacob Lurie (2009) ha expuesto un tratado elaborado sobre la teoría de la generalización de una categoría  .

La generalización de una categoría son ciertos conjuntos simpliciales . Al igual que las categorías ordinarias, contienen objetos (los 0-símplices del conjunto simplicial) y morfismos entre estos objetos (1-símplices). Pero a diferencia de las categorías, la composición de dos morfismos no necesita estar definida de manera única. Todos los morfismos que pueden servir como composición de dos morfismos dados están relacionados entre sí por morfismos invertibles de orden superior (los 2-símplices se consideran "homotopías"). Estos morfismos de orden superior también pueden estar compuestos, pero nuevamente la composición está bien definida solo hasta morfismos invertibles de orden superior, etc.

La idea de la teoría de categorías superiores (al menos, la teoría de categorías superiores cuando los morfismos superiores son invertibles) es que, a diferencia de la noción estándar de categoría, debería haber un espacio de aplicación (en lugar de un conjunto de aplicaciones) entre dos objetos. Esto sugiere que una categoría superior debería ser simplemente una categoría topológicamente enriquecida . Sin embargo, el modelo de cuasicategorías es más adecuado para las aplicaciones que el de las categorías topológicamente enriquecidas, aunque Lurie ha demostrado que ambos tienen estructuras de modelo naturales que son equivalentes de Quillen .

Definición

Por definición, una cuasicondición C es un conjunto simplicial que satisface las condiciones Kan internas (también llamadas condición Kan débil): cada cuerno interno en C , es decir, una función de conjuntos simpliciales donde , tiene un relleno, es decir, una extensión de una función . (Ver Fibración Kan#Definiciones para una definición de los conjuntos simpliciales y .) ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}$ ${\displaystyle 0<k<n}$ ${\displaystyle \Delta [n]\to C}$ ${\displaystyle \Delta [n]}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$

La idea es que los 2-símplices representan triángulos conmutativos (al menos hasta la homotopía). Una función representa un par componible. Por lo tanto, en una cuasi-categoría, no se puede definir una ley de composición sobre morfismos, ya que se pueden elegir muchas formas de componer funciones. ${\displaystyle \Delta [2]\to C}$ ${\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}$

Una consecuencia de la definición es que se trata de una fibración Kan trivial. En otras palabras, si bien la ley de composición no está definida de manera única, es única hasta una elección contráctil. ${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$

La categoría de homotopía

Dada una cuasicondición C, se le puede asociar una categoría ordinaria hC, llamada categoría de homotopía de C. La categoría de homotopía tiene como objetos los vértices de C. Los morfismos están dados por clases de homotopía de aristas entre vértices. La composición se da utilizando la condición de relleno de cuerno para n  = 2.

Para un conjunto simplicial general hay un funtor desde sSet hasta Cat , conocido como el funtor de categoría fundamental , y para una cuasi-categoría C la categoría fundamental es la misma que la categoría de homotopía, es decir . ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{1}(C)=hC}$

Ejemplos

• El nervio de una categoría es una cuasicondición con la propiedad adicional de que el relleno de cualquier cuerno interior es único. Por el contrario, una cuasicondición tal que cualquier cuerno interior tenga un relleno único es isomorfa al nervio de alguna categoría. La categoría de homotopía del nervio de C es isomorfa a C .
• Dado un espacio topológico X , se puede definir su conjunto singular S ( X ), también conocido como el ∞-grupoide fundamental de X . S ( X ) es una cuasicategoría en la que todo morfismo es invertible. La categoría de homotopía de S ( X ) es el grupoide fundamental de X .
• Más general que el ejemplo anterior, cada complejo Kan es un ejemplo de una cuasiconstitución. En un complejo Kan, todas las funciones de todos los cuernos (no sólo las internas) pueden llenarse, lo que a su vez tiene como consecuencia que todos los morfismos en un complejo Kan son invertibles. Los complejos Kan son, por lo tanto, análogos a los grupoides: el nervio de una categoría es un complejo Kan si y solo si la categoría es un grupoide.

Variantes

• Una (∞, 1)-categoría es una ∞-categoría no necesariamente cuasi-categoría en la que todos los n -morfismos para n  > 1 son equivalencias. Hay varios modelos de (∞, 1)-categorías, entre ellos la categoría de Segal , la categoría simplemente enriquecida , la categoría topológica y el espacio de Segal completo . Una cuasi-categoría es también una (∞, 1)-categoría.
• Estructura del modelo Hay una estructura de modelo en sSet-categorías que presenta la (∞,1)-categoría (∞,1)Cat.
• Extensión Kan de homotopía La noción de extensión Kan de homotopía y, por lo tanto, en particular, la de límite de homotopía y colimite de homotopía tiene una formulación directa en términos de categorías enriquecidas con complejos Kan. Véase extensión Kan de homotopía para más información.
• Presentación de la teoría de (∞,1)-topos Toda la teoría de (∞,1)-topos puede ser modelada en términos de categorías sSet. (ToënVezzosi). Existe una noción de sitio sSet C que modela la noción de sitio (∞,1) y una estructura de modelo sobre prehaces enriquecidos con sSet en sitios sSet que es una presentación para los (∞,1)-topos de pila ∞ en C.

Véase también

• Categoría del modelo
• Categoría de infinito estable
• ∞-grupoide
• Teoría de categorías superiores
• Conjunto globular

Referencias

• Boardman, JM; Vogt, RM (1973), Estructuras algebraicas invariantes de homotopía en espacios topológicos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 347, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0068547, ISBN 978-3-540-06479-4, Sr.  0420609
• Groth, Moritz, Un breve curso sobre categorías infinitas (PDF)
• Joyal, André (2002), "Generalización de una categoría y complejos Kan", Journal of Pure and Applied Algebra , 175 (1): 207–222, doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4, MR  1935979
• Joyal, André ; Tierney, Myles (2007), "Generalización de una categoría frente a espacios de Segal", Categorías en álgebra, geometría y física matemática , Contemp. Math., vol. 431, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 277–326, arXiv : math.AT/0607820 , MR  2342834
• Joyal, A. (2008), La teoría de la generalización de una categoría y sus aplicaciones, conferencias en el CRM Barcelona (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2011
• Joyal, A., Notas sobre cuasicategorías (PDF)
• Lurie, Jacob (2009), Teoría de topos superiores , Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, Sr.  2522659
• Entrada de Joyal en Catlab: La teoría de las cuasi-categorías
• Generalización de una categoría en el laboratorio n
• Categoría infinita en el laboratorio n
• Categoría fundamental en el laboratorio n
• Bergner, Julia E (2011). "Taller sobre la teoría de homotopía de las teorías de homotopía". arXiv : 1108.2001 [math.AT].
• (∞, 1)-categoría en el laboratorio n
• Hinich, Vladimir (19 de septiembre de 2017). "Conferencias sobre categorías infinitas". arXiv : 1709.06271 [math.CT].
• Toën, Bertrand; Vezzosi, Gabriele (2005), "Geometría algebraica homotópica I: teoría de topos", Advances in Mathematics , 193 (2): 257–372, arXiv : math.AG/0207028 , doi : 10.1016/j.aim.2004.05.004