categoría fukaya

Categoría de una variedad simpléctica

En topología simpléctica , una categoría de Fukaya de una variedad simpléctica es una categoría cuyos objetos son subvariedades lagrangianas de y los morfismos son grupos de cadenas de Floer lagrangianas : . Su estructura más fina se puede describir como una categoría A ∞ . ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (L_{0},L_{1})=CF(L_{0},L_{1})}$

Llevan el nombre de Kenji Fukaya, quien introdujo el idioma por primera vez en el contexto de la homología Morse , ^[1] y existen en varias variantes. Como las categorías de Fukaya son categorías A∞ , tienen categorías derivadas asociadas , que son el tema de la célebre conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich . ^[2] Esta conjetura ha sido verificada computacionalmente para varios ejemplos. ${\displaystyle A_{\infty }}$

Definicion formal

Sea una variedad simpléctica. Para cada par de subvariedades lagrangianas que se cruzan transversalmente, se define el complejo de cocadena de Floer , que es un módulo generado por puntos de intersección . El complejo de cocadena de Floer se considera el conjunto de morfismos de a . La categoría Fukaya es una categoría, lo que significa que además de las composiciones ordinarias, existen mapas de composición superior. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle L_{0},L_{1}\subset X}$ ${\displaystyle CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ ${\displaystyle L_{0}\cap L_{1}}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle \mu _{d}:CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes CF^{*}(L_{d-2},L_{d-1})\otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d}).}$

Se define de la siguiente manera. Elija una estructura casi compleja compatible en la variedad simpléctica . Para los generadores y de los complejos de cocadenas, el espacio de módulos de polígonos holomorfos con caras en las que cada cara está asignada tiene un recuento ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle p_{d-1,d}\in CF^{*}(L_{d-1},L_{d}),\ldots ,p_{0,1}\in CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ ${\displaystyle q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle L_{0},L_{1},\ldots ,L_{d}}$

${\displaystyle n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1};q_{0,d})}$

en el anillo de coeficientes. Luego define

${\displaystyle \mu _{d}(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})=\sum _{q_{0,d}\in L_{0}\cap L_{d}}n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})\cdot q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$

y extenderse de forma multilineal. ${\displaystyle \mu _{d}}$

La secuencia de composiciones superiores satisface las relaciones porque los límites de varios espacios de módulos de polígonos holomorfos corresponden a configuraciones de polígonos degenerados. ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Esta definición de categoría de Fukaya para una variedad simpléctica general (compacta) nunca se ha dado de manera rigurosa. El principal desafío es la cuestión de la transversalidad, que es esencial para definir el recuento de discos holomorfos.

Ver también

• Álgebra asociativa de homotopía

Referencias

1. Kenji Fukaya, Homotopía Morse, categoría y homologías de Floer ${\displaystyle A_{\infty }}$ , preimpresión de MSRI No. 020-94 (1993)
2. Kontsevich, Maxim, Álgebra homológica de simetría especular , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Zúrich, 1994), 120–139, Birkhäuser, Basilea, 1995.

Bibliografía

• Denis Auroux , Introducción para principiantes a las categorías de Fukaya.

• Paul Seidel , categorías de Fukaya y teoría de Picard-Lefschetz. Conferencias de Zurich sobre Matemáticas Avanzadas
• Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun ; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Teoría de Floer de la intersección lagrangiana: anomalía y obstrucción. Parte I , Estudios AMS/IP en Matemáticas Avanzadas, vol. 46, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , Providence, RI; Prensa internacional, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4836-4, señor  2553465
• Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun ; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Teoría de Floer de la intersección lagrangiana: anomalía y obstrucción. Parte II , Estudios AMS/IP en Matemáticas Avanzadas, vol. 46, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , Providence, RI; Prensa internacional, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4837-1, señor  2548482

enlaces externos

• El hilo en MathOverflow '¿Está "definida" la categoría Fukaya?'