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Cuasi-categoría

En matemáticas, más específicamente en teoría de categorías , un complejo Kan débil , complejo Kan interno , categoría infinita , ∞-categoría , complejo de Boardman ) es una generalización de la noción de categoría . El estudio de tales generalizaciones se conoce como teoría de categorías superiores .

Boardman y Vogt (1973) introdujeron la generalización de una categoría. André Joyal ha avanzado mucho en el estudio de la generalización de una categoría, demostrando que la mayor parte de la teoría básica de categorías y algunas de las nociones y teoremas avanzados tienen sus análogos para la generalización de una categoría. Jacob Lurie (2009) ha expuesto un tratado elaborado sobre la teoría de la generalización de una categoría  .

La generalización de una categoría son ciertos conjuntos simpliciales . Al igual que las categorías ordinarias, contienen objetos (los 0-símplices del conjunto simplicial) y morfismos entre estos objetos (1-símplices). Pero a diferencia de las categorías, la composición de dos morfismos no necesita estar definida de manera única. Todos los morfismos que pueden servir como composición de dos morfismos dados están relacionados entre sí por morfismos invertibles de orden superior (los 2-símplices se consideran "homotopías"). Estos morfismos de orden superior también pueden estar compuestos, pero nuevamente la composición está bien definida solo hasta morfismos invertibles de orden superior, etc.

La idea de la teoría de categorías superiores (al menos, la teoría de categorías superiores cuando los morfismos superiores son invertibles) es que, a diferencia de la noción estándar de categoría, debería haber un espacio de aplicación (en lugar de un conjunto de aplicaciones) entre dos objetos. Esto sugiere que una categoría superior debería ser simplemente una categoría topológicamente enriquecida . Sin embargo, el modelo de cuasicategorías es más adecuado para las aplicaciones que el de las categorías topológicamente enriquecidas, aunque Lurie ha demostrado que ambos tienen estructuras de modelo naturales que son equivalentes de Quillen .

Definición

Por definición, una cuasicondición C es un conjunto simplicial que satisface las condiciones Kan internas (también llamadas condición Kan débil): cada cuerno interno en C , es decir, una función de conjuntos simpliciales donde , tiene un relleno, es decir, una extensión de una función . (Véase Fibración Kan#Definiciones para una definición de los conjuntos simpliciales y .)

La idea es que los 2-símplices representan triángulos conmutativos (al menos hasta la homotopía). Una función representa un par componible. Por lo tanto, en una cuasi-categoría, no se puede definir una ley de composición sobre morfismos, ya que se pueden elegir muchas formas de componer funciones.

Una consecuencia de la definición es que se trata de una fibración Kan trivial. En otras palabras, si bien la ley de composición no está definida de manera única, es única hasta una elección contráctil.

La categoría de homotopía

Dada una cuasicondición C, se le puede asociar una categoría ordinaria hC, llamada categoría de homotopía de C. La categoría de homotopía tiene como objetos los vértices de C. Los morfismos están dados por clases de homotopía de aristas entre vértices. La composición se da utilizando la condición de relleno de cuerno para n  = 2.

Para un conjunto simplicial general hay un funtor desde sSet hasta Cat , conocido como el funtor de categoría fundamental , y para una cuasi-categoría C la categoría fundamental es la misma que la categoría de homotopía, es decir .

Ejemplos

Variantes

Véase también

Referencias