personaje dirichlet

Función aritmética de valores complejos

En la teoría analítica de números y ramas relacionadas de las matemáticas, una función aritmética de valores complejos es un carácter de módulo de Dirichlet (donde es un número entero positivo) si para todos los números enteros y : ^[1] ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b);}$es decir, es completamente multiplicativo . ${\displaystyle \chi }$
2. ${\displaystyle \chi (a){\begin{cases}=0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\neq 0&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$ (mcd es el máximo común divisor )
3. ${\displaystyle \chi (a+m)=\chi (a)}$; es decir, es periódica con punto . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle m}$

El carácter más simple posible, llamado carácter principal , generalmente denotado como , (consulte la notación a continuación) existe para todos los módulos: ^[2] ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

El matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet —que da nombre al personaje— introdujo estas funciones en su artículo de 1837 sobre los números primos en progresiones aritméticas . ^{[3] [4]}

Notación

${\displaystyle \phi (n)}$es la función totiente de Euler .

${\displaystyle \zeta _{n}}$es una raíz n-ésima primitiva compleja de la unidad :

${\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1,}$pero ${\displaystyle \zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$es el grupo de unidades mod ${\displaystyle m}$ . tiene orden ${\displaystyle \phi (m).}$

${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$es el grupo de personajes de Dirichlet mod . ${\displaystyle m}$

${\displaystyle p,p_{k},}$etc. son números primos .

${\displaystyle (m,n)}$es una abreviatura estándar ^{[5] [6]} para ${\displaystyle \gcd(m,n)}$

${\displaystyle \chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),}$etc. son personajes de Dirichlet. (la letra griega minúscula chi para "carácter")

No existe una notación estándar para los caracteres de Dirichlet que incluya el módulo. En muchos contextos (como en la prueba del teorema de Dirichlet) el módulo es fijo. En otros contextos, como este artículo, aparecen personajes de distintos módulos. Cuando sea apropiado, este artículo emplea una variación del etiquetado de Conrey (introducido por Brian Conrey y utilizado por LMFDB).

En este etiquetado, los caracteres para el módulo se indican donde el índice se describe en la sección del grupo de caracteres a continuación. En este etiquetado, denota un carácter no especificado y denota el carácter principal mod . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}(a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)}$ ${\displaystyle m}$

Relación con los personajes del grupo.

La palabra " carácter " se utiliza de varias maneras en matemáticas. En esta sección se hace referencia a un homomorfismo de un grupo (escrito multiplicativamente) al grupo multiplicativo del cuerpo de números complejos: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.}$

El conjunto de caracteres se denota. Si el producto de dos caracteres se define mediante multiplicación puntual, la identidad por el carácter trivial y la inversa mediante inversión compleja se convierte en un grupo abeliano. ^[7] ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle \eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),}$ ${\displaystyle \eta _{0}(a)=1}$ ${\displaystyle \eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Si es un grupo abeliano finito entonces ^[8] hay 1) un isomorfismo y 2) las relaciones de ortogonalidad: ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cong {\widehat {A}}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}}$     y     ${\displaystyle \sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}}$

Los elementos del grupo abeliano finito son las clases de residuos donde ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle [a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}}$ ${\displaystyle (a,m)=1.}$

Un personaje de grupo se puede extender a un personaje de Dirichlet definiendo ${\displaystyle \rho :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}}$

y por el contrario, un mod de personaje de Dirichlet define un personaje de grupo en ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Parafraseando a Davenport ^[10], los personajes de Dirichlet pueden considerarse como un caso particular de personajes del grupo abeliano. Pero este artículo sigue a Dirichlet al dar una explicación directa y constructiva de ellos. Esto se debe en parte a razones históricas, en el sentido de que el trabajo de Dirichlet precedió por varias décadas al desarrollo de la teoría de grupos, y en parte a una razón matemática, a saber, que el grupo en cuestión tiene una estructura simple e interesante que se oscurece si se lo trata como se trata. el grupo abeliano general.

Hechos elementales

4) Dado que la propiedad 2) lo dice , se puede cancelar desde ambos lados de : ${\displaystyle \gcd(1,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$ ${\displaystyle \chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)}$

${\displaystyle \chi (1)=1.}$^[11]

5) La propiedad 3) es equivalente a

si   entonces ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b).}$

6) Propiedad 1) implica que, para cualquier número entero positivo ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.}$

7) El teorema de Euler establece que si entonces Por lo tanto, ${\displaystyle (a,m)=1}$ ${\displaystyle a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.}$

${\displaystyle \chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.}$

Es decir, los valores distintos de cero de son -ésimas raíces de la unidad : ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$

para algún número entero que depende de y . Esto implica que sólo hay un número finito de caracteres para un módulo determinado. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi ,\zeta ,}$ ${\displaystyle a}$

8) Si y son dos caracteres para el mismo módulo, su producto está definido por multiplicación puntual: ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle \chi \chi ',}$

${\displaystyle \chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)}$   ( obviamente satisface 1-3). ^[12] ${\displaystyle \chi \chi '}$

El personaje principal es una identidad:

${\displaystyle \chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

9) Denotemos el inverso de in . Entonces ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,}$entonces lo que se extiende 6) a todos los números enteros. ${\displaystyle \chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},}$

El conjugado complejo de una raíz de unidad es también su inverso (ver aquí para más detalles), por lo que para ${\displaystyle (a,m)=1}$

${\displaystyle {\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).}$   ( obviamente también satisface 1-3). ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$

Así para todos los números enteros ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};}$   en otras palabras .  ${\displaystyle \chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}}$

10) La multiplicación y la identidad definidas en 8) y la inversión definida en 9) convierten el conjunto de caracteres de Dirichlet para un módulo dado en un grupo abeliano finito .

El grupo de personajes

Hay tres casos diferentes porque los grupos tienen estructuras diferentes dependiendo de si es una potencia de 2, una potencia de un primo impar o el producto de potencias primas. ^[13] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$

Potencias de números primos impares

Si es un número impar es cíclico de orden ; un generador se llama mod raíz primitivo . ^[14] Sea una raíz primitiva y defina la función (el índice de ) por ${\displaystyle q=p^{k}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g_{q}}$ ${\displaystyle (a,q)=1}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{q}<\phi (q).}$

Por si y sólo si Desde ${\displaystyle (ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$

${\displaystyle \chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},}$   ${\displaystyle \chi }$está determinada por su valor en ${\displaystyle g_{q}.}$

Sea una raíz -ésima primitiva de la unidad. De la propiedad 7) anterior, los valores posibles de son Estos valores distintos dan lugar a los caracteres de Dirichlet mod Para definir como ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle \chi (g_{q})}$ ${\displaystyle \omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle (r,q)=1}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}}$

Entonces para y todos y ${\displaystyle (rs,q)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),}$mostrando que es un personaje y ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),}$lo que da un isomorfismo explícito ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Ejemplos m = 3, 5, 7, 9

2 es una raíz primitiva mod 3. ( ) ${\displaystyle \phi (3)=2}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},}$

entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 3 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}}$

2 es una raíz primitiva mod 5. ( ) ${\displaystyle \phi (5)=4}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},}$

entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{5}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 5 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$

3 es una raíz primitiva mod 7. ( ) ${\displaystyle \phi (7)=6}$

${\displaystyle 3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},}$

entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{7}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 7 son ( ) ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}}$.

2 es una raíz primitiva mod 9. ( ) ${\displaystyle \phi (9)=6}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},}$

entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{9}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 9 son ( ) ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

potencias de 2

${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }}$es el grupo trivial con un elemento. es cíclico de orden 2. Para 8, 16 y potencias superiores de 2, no existe una raíz primitiva; las potencias de 5 son las unidades y sus negativos son las unidades ^[15] Por ejemplo ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \equiv 3{\pmod {4}}.}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.}$

Dejar ; entonces es el producto directo de un grupo cíclico de orden 2 (generado por -1) y un grupo cíclico de orden (generado por 5). Para números impares defina las funciones y por ${\displaystyle q=2^{k},\;\;k\geq 3}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.}$

Para impar y si y sólo si y Para impar el valor de está determinado por los valores de y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \chi (-1)}$ ${\displaystyle \chi (5).}$

Sea una raíz -ésima primitiva de la unidad. Los posibles valores de son Estos valores distintos dan lugar a los caracteres de Dirichlet mod Para extraños definidos por ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle \chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})}$ ${\displaystyle \pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Entonces para impar y y todos y ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)}$mostrando que es un personaje y ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)}$mostrando que ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Ejemplos m = 2, 4, 8, 16

El único personaje mod 2 es el personaje principal . ${\displaystyle \chi _{2,1}}$

−1 es una raíz primitiva mod 4 ( ) ${\displaystyle \phi (4)=2}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 4 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}}$

−1 es y 5 generan las unidades mod 8 ( ) ${\displaystyle \phi (8)=4}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 8 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

−1 y 5 generan las unidades mod 16 ( ) ${\displaystyle \phi (16)=8}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 16 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

Productos de potencias primarias.

Sea donde esté la factorización de en potencias primas. El grupo de unidades mod es isomorfo al producto directo de los grupos mod the : ^[16] ${\displaystyle m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Esto significa que 1) hay una correspondencia uno a uno entre y -tuplas donde y 2) el mod de multiplicación corresponde a la multiplicación por coordenadas de -tuplas: ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle ab\equiv c{\pmod {m}}}$corresponde a

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})}$dónde ${\displaystyle c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.}$

El teorema del resto chino (CRT) implica que los son simplemente ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$

Hay subgrupos tales que ^[17] ${\displaystyle G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$y

${\displaystyle G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

Entonces y cada corresponde a una tupla donde y Cada puede factorizarse de forma única como ^{[18] [19]} ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in G_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}...a_{k}.}$

Si es un mod de personaje en el subgrupo , debe ser idéntico a algún mod . Entonces ${\displaystyle \chi _{m,\_}}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{q_{i},\_}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{a_{2},\_}(a_{2})...,}$

mostrando que cada modificación de personaje es el producto de la modificación de personajes . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

Para definir ^[20] ${\displaystyle (t,m)=1}$

${\displaystyle \chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...}$

Entonces para y todos y ^[21] ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),}$mostrando que es un personaje y ${\displaystyle \chi _{m,r}}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),}$mostrando un isomorfismo ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Ejemplos m = 15, 24, 40

${\displaystyle (\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$

La factorización de los personajes mod 15 es

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 15 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.}$La factorización de los personajes mod 24 es

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 24 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$La factorización de los personajes mod 40 es

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 40 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

Resumen

Sea , la factorización de y supongamos ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots }$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (rs,m)=1.}$

Hay mod de caracteres de Dirichlet. Se denotan por donde es equivalente a La identidad es un isomorfismo ^[22] ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r},}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{m,s}}$ ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {m}}.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Cada mod de personaje tiene una factorización única como producto de los mods de personajes y los poderes principales dividiendo : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

Si el producto es un carácter donde está dado por y ${\displaystyle m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1}$ ${\displaystyle \chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\equiv r{\pmod {m_{1}}}}$ ${\displaystyle t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.}$

Además, ^{[23] [24]} ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$

Ortogonalidad

Las dos relaciones de ortogonalidad son ^[25]

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$     y     ${\displaystyle \sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

Las relaciones se pueden escribir en forma simétrica.

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}}$     y     ${\displaystyle \sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}}$

La primera relación es fácil de probar: si hay sumandos distintos de cero, cada uno es igual a 1. Si hay ^[26] algunos  Entonces ${\displaystyle \chi =\chi _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}$ ${\displaystyle a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.}$

${\displaystyle \chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),}$^[27]   implicando

${\displaystyle (\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.}$   Al dividir por el primer factor se obtiene QED. La identidad de muestra que las relaciones son equivalentes entre sí. ${\displaystyle \sum _{a}\chi (a)=0,}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$ ${\displaystyle (rs,m)=1}$

La segunda relación se puede demostrar directamente de la misma manera, pero requiere un lema ^[28]

Dado que hay un ${\displaystyle a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.}$

La segunda relación tiene un corolario importante: si define la función ${\displaystyle (a,m)=1,}$

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).}$   Entonces

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}}$

Ésa es la función indicadora de la clase de residuo . Es básico en la demostración del teorema de Dirichlet. ^{[29] [30]} ${\displaystyle f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}}$ ${\displaystyle [a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}}$

Clasificación de personajes

Conductor; Personajes primitivos e inducidos

Cualquier mod de personaje con un poder principal también es un mod de personaje con un poder mayor. Por ejemplo, mod 16 ^[31]

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

${\displaystyle \chi _{16,3}}$tiene período 16, pero tiene período 8 y tiene período 4:   y   la potencia primaria más pequeña para la cual es periódica es el conductor de . El conductor de es 16, el conductor de es 8 y el de y es 4. Si el módulo y el conductor son iguales el carácter es primitivo , en caso contrario imprimitivo . Un carácter imprimitivo es inducido por el carácter del módulo más pequeño: se induce desde y y se induce desde . ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi _{16,3}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{4,3}}$

Un fenómeno relacionado puede ocurrir con un mod de carácter producto de números primos; sus valores distintos de cero pueden ser periódicos con un período más pequeño.

Por ejemplo, mod 15,

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero tienen el período 15, pero los de tienen el período 3 y los de tienen el período 5. Esto es más fácil de ver al yuxtaponerlos con los caracteres mod 3 y 5: ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Si un mod de personaje se define como ${\displaystyle m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$, o equivalentemente como ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},}$

sus valores distintos de cero están determinados por la modificación del personaje y tienen un punto . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

El período más pequeño de los valores distintos de cero es el conductor del personaje. Por ejemplo, el conductor de es 15, el conductor de es 3 y el de es 5. ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

Como en el caso de la potencia primaria, si el conductor es igual al módulo, el carácter es primitivo ; en caso contrario, imprimitivo . Si es imprimitivo, se induce a partir del carácter con el módulo más pequeño. Por ejemplo, es inducido desde y es inducido desde ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{3,2}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$ ${\displaystyle \chi _{5,3}}$

El personaje principal no es primitivo. ^[32]

El carácter es primitivo si y sólo si cada uno de los factores es primitivo. ^[33] ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

Los caracteres primitivos a menudo simplifican (o hacen posibles) fórmulas en las teorías de funciones L ^[34] y formas modulares .

Paridad

${\displaystyle \chi (a)}$es par si y es impar si ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ ${\displaystyle \chi (-1)=-1.}$

Esta distinción aparece en la ecuación funcional de la función L de Dirichlet .

Orden

El orden de un carácter es su orden como elemento del grupo , es decir, el entero positivo más pequeño tal que. Debido al isomorfismo, el orden de es el mismo que el orden de en El carácter principal tiene orden 1; otros personajes reales tienen orden 2 y los personajes imaginarios tienen orden 3 o mayor. Según el teorema de Lagrange, el orden de un carácter divide el orden del cual es ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \chi ^{n}=\chi _{0}.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

personajes reales

${\displaystyle \chi (a)}$es real o cuadrático si todos sus valores son reales (deben serlo ); de lo contrario es complejo o imaginario. ${\displaystyle 0,\;\pm 1}$

${\displaystyle \chi }$es real si y sólo si ; es real si y sólo si ; en particular, es real y no principal. ^[35] ${\displaystyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\displaystyle \chi _{m,k}}$ ${\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi _{m,-1}}$

La prueba original de Dirichlet de que (que sólo era válida para módulos primos) tomó dos formas diferentes dependiendo de si era real o no. Su demostración posterior, válida para todos los módulos, se basó en su fórmula del número de clase . ^{[36] [37]} ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$ ${\displaystyle \chi }$

Los personajes reales son símbolos de Kronecker ; ^[38] por ejemplo, el carácter principal se puede escribir ^[39] . ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$

Los personajes reales de los ejemplos son:

Principal

Si el personaje principal es ^[40] ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).}$

${\displaystyle \chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)}$  

Primitivo

Si el módulo es el valor absoluto de un discriminante fundamental hay un carácter primitivo real (hay dos si el módulo es múltiplo de 8); de lo contrario, si hay caracteres primitivos ^[33] , son imaginarios. ^[41]

${\displaystyle \chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)}$

Imprimitivo

${\displaystyle \chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)}$  

Aplicaciones

funciones L

La serie L de Dirichlet para un personaje es ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Esta serie sólo converge para ; se puede continuar analíticamente hasta una función meromórfica ${\displaystyle {\mathfrak {R}}s>1}$

Dirichlet introdujo la función -junto con los personajes en su artículo de 1837. ${\displaystyle L}$

Formas y funciones modulares.

Los personajes de Dirichlet aparecen en varios lugares de la teoría de las formas y funciones modulares. Un ejemplo típico es ^[42]

Dejemos y dejemos ser primitivos. ${\displaystyle \chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}}$

Si

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}q^{n}\in M_{k}(M,\chi )}$^[43]

definir

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}}$, ^[44]  

Entonces

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})}$. Si es una forma de cúspide también lo es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\chi _{1}}.}$

Vea la serie theta de un personaje de Dirichlet para ver otro ejemplo.

Suma de Gauss

La suma de Gauss de un carácter de Dirichlet módulo N es

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.}$

Aparece en la ecuación funcional de la función L de Dirichlet .

suma jacobi

Si y los personajes de Dirichlet son primos, su suma de Jacobi es ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).}$

Las sumas de Jacobi se pueden factorizar en productos de sumas de Gauss.

Suma de Kloosterman

Si es un mod de personaje de Dirichlet y la suma de Kloosterman se define como ^[45] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}}$ ${\displaystyle K(a,b,\chi )}$

${\displaystyle K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.}$

Si es una suma de Gauss. ${\displaystyle b=0}$

Condiciones suficientes

No es necesario establecer las propiedades definitorias 1) – 3) para demostrar que una función es un carácter de Dirichlet.

Del libro de Davenport

si tal que ${\displaystyle \mathrm {X} :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

1)   ${\displaystyle \mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),}$

2)   , ${\displaystyle \mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)}$

3) Si entonces , pero ${\displaystyle \gcd(a,m)>1}$ ${\displaystyle \mathrm {X} (a)=0}$

4)   no siempre es 0, ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$

entonces es uno de los personajes mod ^[46] ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m}$

La condición de Sarközy

Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa que satisface una relación de recurrencia lineal : es decir, si ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0}$

para todos los enteros positivos , donde no todos son cero y son distintos, entonces es un carácter de Dirichlet. ^[47] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}$ ${\displaystyle f}$

La condición de Chudakov

Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa que satisface las tres propiedades siguientes: a) toma sólo un número finito de valores; b) desaparece sólo en un número finito de números primos; c) hay un para el cual el resto ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|}$

está uniformemente acotado, como . Esta definición equivalente de los caracteres de Dirichlet fue conjeturada por Chudakov ^[48] en 1956 y demostrada en 2017 por Klurman y Mangerel. ^[49] ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

Ver también

• Suma de caracteres
• Grupo multiplicativo de números enteros módulo n
• Módulo raíz primitivo n
• Carácter multiplicativo

Notas

1. Ésta es la definición estándar; por ejemplo, Davenport p.27; Landau p. 109; Irlanda y Rosen p. 253
2. Tenga en cuenta el caso especial del módulo 1: el carácter único mod 1 es la constante 1; todos los demás caracteres son 0 en 0
3. Davenport pág. 1
4. Hay una traducción al inglés en enlaces externos.
5. Utilizado en Davenport, Landau, Irlanda y Rosen
6. es equivalente a ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle \gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1}$
7. Ver carácter multiplicativo
8. Irlanda y Rosen p. 253-254
9. Ver grupo de caracteres#Ortogonalidad de los caracteres
10. Davenport pág. 27
11. Estas propiedades se derivan de todas las introducciones al tema, por ejemplo, Davenport p. 27, Landau pág. 109.
12. En general, el producto de un mod de personaje y un mod de personaje es un mod de personaje. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)}$
13. Excepto por el uso del etiquetado de Conrie modificado, esta sección sigue a Davenport págs. 1-3, 27-30
14. Hay un mod raíz primitivo que es un mod raíz primitivo y todos los poderes superiores de . Véase, por ejemplo, Landau p. 106 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p}$
15. Landau págs. 107-108
16. Ver grupo de unidades para más detalles.
17. Para construir cada uno, use el CRT para encontrar dónde ${\displaystyle G_{i},}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

18. Supongamos que corresponde a . Por construcción corresponde a , a etc. cuyo producto de coordenadas es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle (a_{1},1,1,...)}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (1,a_{2},1,...)}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...).}$
19. Por ejemplo, let Then y La factorización de los elementos de es ${\displaystyle m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.}$ ${\displaystyle G_{1}=\{1,11,21,31\}}$ ${\displaystyle G_{2}=\{1,9,17,33\}.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}}$

20. Ver etiquetado de Conrey.
21. Porque estas fórmulas son verdaderas para cada factor.
22. Esto es cierto para todos los grupos abelianos finitos: ; Véase Irlanda y Rosen, págs. 253-254. ${\displaystyle A\cong {\hat {A}}}$
23. porque las fórmulas para los poderes primos mod son simétricas en y y la fórmula para los productos conserva esta simetría. Véase Davenport, pág. 29. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$
24. Esto es lo mismo que decir que la enésima columna y la enésima fila en las tablas de valores distintos de cero son iguales.
25. Consulte #Relación con los caracteres del grupo arriba.
26. por la definición de ${\displaystyle \chi _{0}}$
27. porque multiplicar cada elemento de un grupo por un elemento constante simplemente permuta los elementos. Ver Grupo (matemáticas)
28. Davenport pág. 30 (paráfrasis) Para probar [la segunda relación] uno tiene que usar ideas que hemos usado en la construcción [como en este artículo o en Landau págs. 109-114], o apelar al teorema de base para grupos abelianos [como en Irlanda & Rosen págs. 253-254]
29. Davenport caps. 1, 4; Landau p. 114
30. Tenga en cuenta que si es alguna función ; ver transformada de Fourier en grupos finitos # Transformada de Fourier para grupos abelianos finitos ${\displaystyle g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)}$
31. Esta sección sigue a Davenport págs. 35-36,
32. Davenport lo clasifica como ni primitivo ni imprimitivo; la LMFDB lo induce desde ${\displaystyle \chi _{1,1}.}$
33. Tenga en cuenta que si es dos veces un número impar, todos los caracteres mod son imprimitivos porque ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=2r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}}$
34. Por ejemplo, la ecuación funcional de solo es válida para primitivos . Véase Davenport, pág. 85 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$
35. De hecho, para el módulo primo es el símbolo de Legendre : Bosquejo de la prueba: es par (impar) si a es un residuo cuadrático (no residuo) ${\displaystyle p\;\;\chi _{p,-1}}$ ${\displaystyle \chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;}$ ${\displaystyle \nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)}$
36. Davenport, caps. 1, 4.
37. La prueba de Irlanda y Rosen, válida para todos los módulos, también tiene estos dos casos. págs. 259 y siguientes
38. Davenport pág. 40
39. La notación es una forma más corta de escribir. ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)}$
40. El producto de números primos garantiza que sea cero si ; los cuadrados aseguran que su único valor distinto de cero sea 1. ${\displaystyle \gcd(m,\bullet )>1}$
41. Davenport págs. 38-40
42. Koblittz, apoyo. 17b pág. 127
43. significa 1) dónde y y 2) dónde y Ver Koblitz Cap. III. ${\displaystyle f(z)\in M_{k}(M,\chi )}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle c\equiv 0{\pmod {M}}.}$
44. el giro de por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$
45. Definición de LMFDB de suma de Kloosterman
46. Davenport pág. 30
47. Sarkozy
48. Chudakov
49. Klurman

Referencias

• Chudakov, NG "Teoría de los caracteres de semigrupos numéricos". J. Matemáticas indias. Soc . 20 : 11-15.
• Davenport, Harold (1967). Teoría de números multiplicativos . Conferencias de matemáticas avanzadas. vol. 1. Chicago: Markham. Zbl  0159.06303.
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Introducción clásica a la teoría de números moderna (Segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
• Klurman, Oleksiy; Mangerel, Alexander P. (2017). "Teoremas de rigidez para funciones multiplicativas". Matemáticas. Ana . 372 (1): 651–697. arXiv : 1707.07817 . Código Bib : 2017arXiv170707817K. doi :10.1007/s00208-018-1724-6. S2CID  119597384.
• Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 97 (segunda edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97966-2.
• Landau, Edmund (1966), Teoría elemental de números , Nueva York: Chelsea
• Sarkozy, András. "Sobre funciones aritméticas multiplicativas que satisfacen una recursividad lineal". Estudios de ciencia. Matemáticas. Colgado . 13 (1–2): 79–104.

enlaces externos

• Traducción al inglés del artículo de Dirichlet de 1837 sobre los números primos en progresiones aritméticas
• LMFDB enumera 30.397.486 caracteres de Dirichlet de módulo hasta 10.000 y sus funciones L