Capacidad analítica

En la disciplina matemática del análisis complejo , la capacidad analítica de un subconjunto compacto K del plano complejo es un número que denota "qué tan grande" puede llegar a ser una función analítica acotada en C  \  K . En términos generales, γ ( K ) mide el tamaño de la bola unitaria del espacio de funciones analíticas acotadas fuera de K.

Fue introducido por primera vez por Lars Ahlfors en la década de 1940 mientras estudiaba la eliminabilidad de singularidades de funciones analíticas acotadas.

Definición

Sea K ⊂ C compacto .​ Entonces su capacidad analítica se define como

${\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|;\ f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K),\ \|f\|_{\infty }\leq 1,\ f(\infty )=0\}}$

Aquí, denota el conjunto de funciones analíticas acotadas U → C , siempre que U sea un subconjunto abierto del plano complejo . Más, ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }z\left(f(z)-f(\infty )\right)}$

${\displaystyle f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }f(z)}$

Tenga en cuenta que , donde . Sin embargo, normalmente . ${\displaystyle f'(\infty )=g'(0)}$ ${\displaystyle g(z)=f(1/z)}$ ${\displaystyle f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }f'(z)}$

De manera equivalente, la capacidad analítica puede definirse como ^[1]

${\displaystyle \gamma (K)=\sup \left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f(z)dz\right|}$

donde C es un contorno que encierra a K y el supremo se toma sobre f cumpliendo las mismas condiciones anteriores: f está acotado analíticamente fuera de K , el límite es uno, y ${\displaystyle f(\infty )=0.}$

Si A ⊂ C es un conjunto arbitrario, entonces definimos

${\displaystyle \gamma (A)=\sup\{\gamma (K):K\subset A,\,K{\text{ compact}}\}.}$

Conjuntos removibles y el problema de Painlevé

El conjunto compacto K se llama removible si, siempre que Ω es un conjunto abierto que contiene K , toda función acotada y holomorfa en el conjunto Ω \  K tiene una extensión analítica a todos los Ω. Según el teorema de Riemann para singularidades removibles , cada singleton es removible. Esto motivó a Painlevé a plantear una pregunta más general en 1880: "¿Qué subconjuntos de C son removibles?"

Es fácil ver que K es removible si y sólo si γ ( K ) = 0. Sin embargo, la capacidad analítica es un concepto analítico puramente complejo y se necesita mucho más trabajo por hacer para obtener una caracterización más geométrica.

Función Ahlfors

Para cada compacto K ⊂ C , existe una función extrema única, es decir , tal que f (∞) = 0 y f′ (∞) = γ ( K ). Esta función se llama función de Ahlfors de K. Su existencia se puede demostrar utilizando un argumento familiar normal que involucre el teorema de Montel . ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K)}$ ${\displaystyle \|f\|\leq 1}$

Capacidad analítica en términos de dimensión de Hausdorff

Sea tenue H _la dimensión de Hausdorff y H ¹ la medida de Hausdorff unidimensional . Entonces H ¹ ( K ) = 0 implica γ ( K ) = 0 mientras que dim _H ( K ) > 1 garantiza γ ( K ) > 0. Sin embargo, el caso en el que dim _H ( K ) = 1 y H ¹ ( K ) ∈ (0, ∞] es más difícil.

Longitud positiva pero capacidad analítica nula

Dada la correspondencia parcial entre la medida unidimensional de Hausdorff de un subconjunto compacto de C y su capacidad analítica, se podría conjeturar que γ ( K ) = 0 implica H ¹ ( K ) = 0. Sin embargo, esta conjetura es falsa. Un contraejemplo fue dado por primera vez por AG Vitushkin , y uno mucho más simple por John B. Garnett en su artículo de 1970. Este último ejemplo es el conjunto lineal de Cantor de cuatro esquinas , construido de la siguiente manera:

Sea K ₀  := [0, 1] × [0, 1] el cuadrado unitario. Entonces, K ₁ es la unión de 4 cuadrados de lado 1/4 y estos cuadrados se ubican en las esquinas de K ₀ . En general, K _n es la unión de 4 ⁿ cuadrados (denotados por ) de longitud de lado 4 ^{− n} , cada uno de los cuales está en la esquina de algún . Tome K como la intersección de todos los K _n entonces pero γ ( K ) = 0. ${\displaystyle Q_{n}^{j}}$ ${\displaystyle Q_{n}^{j}}$ ${\displaystyle Q_{n-1}^{k}}$ ${\displaystyle H^{1}(K)={\sqrt {2}}}$

La conjetura de Vitushkin

Sea K ⊂ C un conjunto compacto. La conjetura de Vitushkin establece que

${\displaystyle \gamma (K)=0\ \iff \ \int _{0}^{\pi }{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }(K))\,d\theta =0}$

donde denota la proyección ortogonal en la dirección θ. Según los resultados descritos anteriormente, la conjetura de Vitushkin es verdadera cuando tenue _H K ≠ 1. ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta }$

Guy David publicó una prueba en 1998 de la conjetura de Vitushkin para el caso débil _H K = 1 y H ¹ ( K ) < ∞. En 2002, Xavier Tolsa demostró que la capacidad analítica es contablemente semiaditiva. Es decir, existe una constante absoluta C > 0 tal que si K ⊂ C es un conjunto compacto y , donde cada K _i es un conjunto de Borel, entonces . ${\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$ ${\displaystyle \gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }\gamma (K_{i})}$

Los teoremas de David y Tolsa juntos implican que la conjetura de Vitushkin es verdadera cuando K es H ¹ - sigma finito .

En el caso H ¹ -sigma finito, Pertti Mattila demostró en 1986 ^[2] que la conjetura es falsa, pero su prueba no especificó qué implicación de la conjetura falla. El trabajo posterior de Jones y Muray ^[3] produjo un ejemplo de un conjunto con longitud de Favard cero y capacidad analítica positiva, refutando explícitamente una de las direcciones de la conjetura. A partir de 2023 no se sabe si la otra implicación es válida, pero Chang y Tolsa han logrado algunos avances hacia una respuesta positiva. ^[4]

Ver también

• Capacidad de un conjunto  : en el espacio euclidiano, una medida del "tamaño" de ese conjunto.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Radio conforme

Referencias

1. Solomentsev, ED (2001) [1994], "Capacidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Mattila, Pertti (1986). "Mapas suaves, conjuntos nulos para medida geométrica integral y capacidad analítica". Anales de Matemáticas . 123 (2): 303–309. doi :10.2307/1971273. ISSN  0003-486X.
3. Jones, Peter W.; Murai, Takafumi. "Capacidad analítica positiva pero probabilidad nula de aguja Buffon" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 133 (1): 99-114.
4. Chang, Alan; Tolsá, Xavier (05/10/2020). "Capacidad analítica y proyecciones". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 22 (12): 4121–4159. arXiv : 1712.00594 . doi :10.4171/JEMS/1004. ISSN  1435-9855.

• Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-65595-1.
• Pajot, Hervé (2002). Capacidad analítica, rectificabilidad, curvatura de Menger e integral de Cauchy . Apuntes de conferencias de matemáticas. Springer-Verlag.
• J. Garnett, Longitud positiva pero capacidad analítica nula, Proc. América. Matemáticas. Soc. 21 (1970), 696–699
• G. David, Los conjuntos 1 no rectificables tienen una capacidad analítica que desaparece, Rev. Math. Iberoamérica. 14 (1998) 269–479
• Dudziak, James J. (2010). Conjetura de Vitushkin para conjuntos removibles . Texto universitario. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
• Tolsá, Xavier (2014). Capacidad analítica, transformada de Cauchy y teoría no homogénea de Calderón-Zygmund . Progreso en Matemáticas. Birkhäuser Basilea. ISBN 978-3-319-00595-9.