Espesor y forma de la capa límite térmica

Dibujo esquemático que representa el flujo de fluido sobre una placa plana calentada.

Esta página describe algunos parámetros utilizados para caracterizar las propiedades de la capa límite térmica formada por un fluido calentado (o enfriado) que se mueve a lo largo de una pared calentada (o enfriada). En muchos sentidos, la descripción de la capa límite térmica es paralela a la descripción de la capa límite de velocidad (momento) conceptualizada por primera vez por Ludwig Prandtl . ^[1] Considere un fluido de temperatura y velocidad uniformes que incide sobre una placa estacionaria calentada uniformemente a una temperatura . Suponga que el flujo y la placa son semiinfinitos en la dirección positiva/negativa perpendicular al plano. A medida que el fluido fluye a lo largo de la pared, el fluido en la superficie de la pared satisface una condición límite sin deslizamiento y tiene velocidad cero, pero a medida que se aleja de la pared, la velocidad del flujo se acerca asintóticamente a la velocidad de la corriente libre . La temperatura en la pared sólida es y cambia gradualmente a a medida que uno se mueve hacia la corriente libre del fluido. Es imposible definir un punto preciso en el que el fluido de la capa límite térmica o el fluido de la capa límite de velocidad se convierta en la corriente libre, sin embargo, estas capas tienen un espesor característico bien definido dado por y . Los parámetros que se indican a continuación proporcionan una definición útil de este espesor característico y medible de la capa límite térmica. En esta descripción de la capa límite también se incluyen algunos parámetros útiles para describir la forma de la capa límite térmica. ${\displaystyle T_{o}}$ ${\displaystyle u_{o}}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle T_{o}}$ ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle \delta _{v}}$

Espesor de la capa límite térmica del 99 %

El espesor de la capa límite térmica , , es la distancia a través de una capa límite desde la pared hasta un punto donde la temperatura de flujo ha alcanzado esencialmente la temperatura de "flujo libre", . Esta distancia se define normal a la pared en la dirección -. El espesor de la capa límite térmica se define habitualmente como el punto en la capa límite, , donde la temperatura alcanza el 99% del valor de flujo libre : ${\displaystyle \delta _{T}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{99}}$ ${\displaystyle T(x,y)}$ ${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle \delta _{T}=y_{99}}$ tal que = 0,99 ${\displaystyle T(x,y_{99})}$ ${\displaystyle T_{0}}$

En una posición a lo largo de la pared. En un fluido real, esta cantidad se puede estimar midiendo el perfil de temperatura en una posición a lo largo de la pared. El perfil de temperatura es la temperatura en función de una posición fija. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Para el flujo laminar sobre una placa plana con incidencia cero, el espesor de la capa límite térmica viene dado por: ^[2]

${\displaystyle \delta _{T}=\delta _{v}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

${\displaystyle \delta _{T}=5.0{}{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

dónde

${\displaystyle \mathrm {Pr} }$es el número de Prandtl

${\displaystyle \delta _{v}}$es el espesor de la capa límite de velocidad ^[3]

${\displaystyle u_{0}}$es la velocidad de corriente libre

${\displaystyle x}$es la distancia aguas abajo desde el inicio de la capa límite

${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática

En el caso de un flujo turbulento sobre una placa plana, el espesor de la capa límite térmica que se forma no está determinado por la difusión térmica, sino que son las fluctuaciones aleatorias en la región exterior de la capa límite del fluido las que constituyen la fuerza impulsora que determina el espesor de la capa límite térmica. Por lo tanto, el espesor de la capa límite térmica para un flujo turbulento no depende del número de Prandtl , sino del número de Reynolds . Por lo tanto, el espesor de la capa límite térmica turbulenta se obtiene aproximadamente mediante la expresión del espesor de la capa límite de velocidad turbulenta ^[4], que se obtiene de la siguiente manera:

${\displaystyle \delta _{T}\approx \delta \approx 0.37x/{\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}$

dónde

${\displaystyle {\mathrm {Re} _{x}}=u_{0}x/\nu }$es el numero de Reynolds

Esta fórmula de espesor de capa límite turbulenta supone 1) el flujo es turbulento desde el comienzo de la capa límite y 2) la capa límite turbulenta se comporta de una manera geométricamente similar (es decir, los perfiles de velocidad son geométricamente similares a lo largo del flujo en la dirección x, difiriendo solo por factores de estiramiento en y ^[5] ). Ninguna de estas suposiciones es verdadera para el caso general de capa límite turbulenta, por lo que se debe tener cuidado al aplicar esta fórmula. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(x,y)}$

Espesor por desplazamiento térmico

El espesor de desplazamiento térmico puede considerarse en términos de la diferencia entre un fluido real y un fluido hipotético con difusión térmica desactivada pero con velocidad y temperatura . Sin difusión térmica, la caída de temperatura es abrupta. El espesor de desplazamiento térmico es la distancia por la cual la superficie del fluido hipotético tendría que moverse en la dirección para dar la misma temperatura integrada que ocurre entre la pared y el plano de referencia en el fluido real. Es un análogo directo al espesor de desplazamiento de velocidad que a menudo se describe en términos de un desplazamiento equivalente de un fluido no viscoso hipotético (ver Schlichting ^[6] para el espesor de desplazamiento de velocidad). ${\displaystyle \beta ^{*}}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta _{T}}$

La definición del espesor de desplazamiento térmico para flujo incompresible se basa en la integral de la temperatura reducida:

${\displaystyle {\beta ^{*}}=\int _{0}^{\infty }{\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

donde la temperatura adimensional es . En un túnel de viento , los perfiles de velocidad y temperatura se obtienen midiendo la velocidad y la temperatura en muchos valores discretos en una posición fija. El espesor del desplazamiento térmico se puede estimar integrando numéricamente el perfil de temperatura escalado. ${\displaystyle \theta (x,y)=(T(x,y)-T_{0})/(T_{s}-T_{0})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Método del momento

Un método relativamente nuevo ^{[7] [8]} para describir el espesor y la forma de la capa límite térmica utiliza el método del momento, que se utiliza comúnmente para describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria . El método del momento se desarrolló a partir de la observación de que el gráfico de la segunda derivada del perfil térmico para el flujo laminar sobre una placa se parece mucho a una curva de distribución gaussiana . ^[9] Es sencillo convertir el perfil térmico correctamente escalado en un núcleo integral adecuado.

Los momentos centrales del perfil térmico se definen como:

${\displaystyle {\xi _{n}}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{(y-m_{T})^{n}\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

donde la ubicación media, , viene dada por: ${\displaystyle m_{T}}$

${\displaystyle m_{T}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{y\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

Existen algunas ventajas en incluir también descripciones de los momentos de las derivadas del perfil de la capa límite con respecto a la altura sobre el muro. Consideremos los momentos centrales del perfil de temperatura de la primera derivada dados por:

${\displaystyle {\epsilon _{n}}=\int _{0}^{\infty }{(y-{\beta ^{*}})^{n}{d\theta (x,y) \over dy}\mathrm {d} y}}$

donde la ubicación media es el espesor de desplazamiento térmico . ${\displaystyle \beta ^{*}}$

Finalmente los momentos centrales del perfil de temperatura de la segunda derivada vienen dados por:

${\displaystyle {\phi _{n}}=\mu _{T}\int _{0}^{\infty }{(y-{\mu _{T}})^{n}{d^{2}\theta (x,y) \over dy^{2}}\mathrm {d} y}}$

donde la ubicación media, , viene dada por: ${\displaystyle \mu _{T}}$

${\displaystyle {1 \over \mu _{T}}=-\left({\frac {d\theta (x,y)}{dy}}\right)_{y=0}}$

Una vez definidos los momentos y la ubicación media térmica, el espesor y la forma de la capa límite se pueden describir en términos del ancho de la capa límite térmica ( varianza ), asimetrías térmicas y exceso térmico ( curtosis en exceso ). Para la solución de Pohlhausen para flujo laminar en una placa plana calentada, ^[10] se encontró que el espesor de la capa límite térmica definido como donde , sigue muy bien el espesor del 99%. ^[11] ${\displaystyle \delta _{T}=m_{T}+4\sigma _{T}}$ ${\displaystyle \sigma _{T}=\xi _{2}^{1/2}}$

En el caso del flujo laminar, los tres casos de momentos diferentes dan valores similares para el espesor de la capa límite térmica. En el caso del flujo turbulento, la capa límite térmica se puede dividir en una región cerca de la pared donde la difusión térmica es importante y una región exterior donde los efectos de la difusión térmica están prácticamente ausentes. Siguiendo el ejemplo de la ecuación de balance de energía de la capa límite , los momentos de la capa límite de la segunda derivada rastrean el espesor y la forma de esa parte de la capa límite térmica donde la difusividad térmica es significativa. Por lo tanto, el método de momentos permite rastrear y cuantificar la región donde la difusividad térmica es importante utilizando momentos, mientras que la capa límite térmica general se rastrea utilizando momentos y . ${\displaystyle {\phi _{n}}}$ ${\displaystyle {\alpha }}$ ${\displaystyle {\phi _{n}}}$ ${\displaystyle {\epsilon _{n}}}$ ${\displaystyle {\xi _{n}}}$

El cálculo de los momentos derivados sin necesidad de tomar derivadas se simplifica utilizando la integración por partes para reducir los momentos a simplemente integrales basadas en el núcleo de espesor de desplazamiento térmico:

${\displaystyle {k_{n}}=\int _{0}^{\infty }{y^{n}\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

Esto significa que la asimetría de la segunda derivada, por ejemplo, se puede calcular como:

${\displaystyle \gamma _{T}=\phi _{3}/\phi _{2}^{3/2}=(2\mu _{T}^{3}-6\beta ^{*}\mu _{T}^{2}+6\mu _{T}k_{1})/(-\mu _{T}^{2}+2\mu _{T}\beta ^{*})^{3/2}}$

Lectura adicional

• Hermann Schlichting, Teoría de la capa límite , 7a ed., McGraw Hill, 1979.
• Frank M. White, Mecánica de fluidos , McGraw-Hill, 5.ª edición, 2003.
• Amir Faghri, Yuwen Zhang y John Howell, Transferencia avanzada de calor y masa , Global Digital Press, ISBN  978-0-9842760-0-4 , 2010.

Notas

1. L. Prandtl, “Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung”, Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses en Heidelberg 1904, A. Krazer, ed., Teubner, Leipzig, (1905) 484–491.
2. Schlichting, pág. 307.
3. Schlichting, pág. 140.
4. Schlichting, pág. 638.
5. Schlichting, pág. 152.
6. Schlichting, pág. 140.
7. Villanueva, 2006.
8. "La historia de la naturaleza en la Tierra" (1998).
9. Weyburne, 2006, pág. 1680.
10. Schlichting, pág. 292.
11. Weyburne, 2018, pág. 5.

Referencias

• Schlichting, Hermann (1979). Teoría de la capa límite , 7.ª ed., McGraw Hill, Nueva York, EE. UU.
• Weyburne, David (2006). "Una descripción matemática de la capa límite del fluido", Applied Mathematics and Computation, vol. 175, págs. 1675–1684
• Weyburne, David (2018). "Nuevos parámetros de espesor y forma para describir la capa límite térmica", arXiv:1704.01120[physics.flu-dyn]