Magnetostática

Rama de la física sobre magnetismo en sistemas con corrientes eléctricas estacionarias.

La magnetostática es el estudio de los campos magnéticos en sistemas donde las corrientes son estables (no cambian con el tiempo). Es el análogo magnético de la electrostática , donde las cargas son estacionarias. La magnetización no tiene por qué ser estática; Las ecuaciones de la magnetostática se pueden utilizar para predecir eventos de conmutación magnética rápida que ocurren en escalas de tiempo de nanosegundos o menos. ^[1] La magnetostática es incluso una buena aproximación cuando las corrientes no son estáticas, siempre y cuando las corrientes no se alternen rápidamente. La magnetostática se usa ampliamente en aplicaciones de micromagnética , como modelos de dispositivos de almacenamiento magnéticos y memorias de computadoras .

Aplicaciones

La magnetostática como un caso especial de las ecuaciones de Maxwell.

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell y suponiendo que las cargas son fijas o se mueven como una corriente constante , las ecuaciones se separan en dos ecuaciones para el campo eléctrico (ver electrostática ) y dos para el campo magnético . ^[2] Los campos son independientes del tiempo y entre sí. Las ecuaciones magnetostáticas, tanto en forma diferencial como integral, se muestran en la siguiente tabla. ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Donde ∇ con el punto denota divergencia y B es la densidad de flujo magnético , la primera integral es sobre una superficie con un elemento de superficie orientado . Donde ∇ con la cruz denota rizo , J es la densidad de corriente y H es la intensidad del campo magnético , la segunda integral es una integral de línea alrededor de un circuito cerrado con un elemento de línea . La corriente que pasa por el bucle es . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d\mathbf {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {l} }$ ${\displaystyle I_{\text{enc}}}$

La calidad de esta aproximación puede adivinarse comparando las ecuaciones anteriores con la versión completa de las ecuaciones de Maxwell y considerando la importancia de los términos que se han eliminado. De particular importancia es la comparación del término con el término. Si el término es sustancialmente mayor, entonces el término menor puede ignorarse sin una pérdida significativa de precisión. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Reintroduciendo la ley de Faraday

A common technique is to solve a series of magnetostatic problems at incremental time steps and then use these solutions to approximate the term ${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$. Plugging this result into Faraday's Law finds a value for ${\displaystyle \mathbf {E} }$ (which had previously been ignored). This method is not a true solution of Maxwell's equations but can provide a good approximation for slowly changing fields.^{[citation needed]}

Solving for the magnetic field

Current sources

If all currents in a system are known (i.e., if a complete description of the current density ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )}$ is available) then the magnetic field can be determined, at a position r, from the currents by the Biot–Savart equation:^[3]: 174

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}}$$

This technique works well for problems where the medium is a vacuum or air or some similar material with a relative permeability of 1. This includes air-core inductors and air-core transformers. One advantage of this technique is that, if a coil has a complex geometry, it can be divided into sections and the integral evaluated for each section. Since this equation is primarily used to solve linear problems, the contributions can be added. For a very difficult geometry, numerical integration may be used.

For problems where the dominant magnetic material is a highly permeable magnetic core with relatively small air gaps, a magnetic circuit approach is useful. When the air gaps are large in comparison to the magnetic circuit length, fringing becomes significant and usually requires a finite element calculation. The finite element calculation uses a modified form of the magnetostatic equations above in order to calculate magnetic potential. The value of ${\displaystyle \mathbf {B} }$ can be found from the magnetic potential.

The magnetic field can be derived from the vector potential. Since the divergence of the magnetic flux density is always zero,

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,}$$

^[3]: 176

$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.}$$

Magnetization

Strongly magnetic materials (i.e., ferromagnetic, ferrimagnetic or paramagnetic) have a magnetization that is primarily due to electron spin. In such materials the magnetization must be explicitly included using the relation

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$$

Except in the case of conductors, electric currents can be ignored. Then Ampère's law is simply

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$$

This has the general solution

$${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},}$$

potencial^{[3] : 192} ${\displaystyle \Phi _{M}}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

Así, la divergencia de la magnetización tiene un papel análogo a la carga eléctrica en electrostática ^[4] y a menudo se la denomina densidad de carga efectiva . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \rho _{M}}$

El método del potencial vectorial también se puede emplear con una densidad de corriente efectiva.

$${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .}$$

Ver también

• Darwin Lagrangiano

Referencias

1. Hiebert, W; Ballentine, G; Freeman, M (2002). "Comparación de dinámica micromagnética experimental y numérica en oscilaciones modales y conmutación precesional coherente". Revisión física B. 65 (14): 140404. Código bibliográfico : 2002PhRvB..65n0404H. doi : 10.1103/PhysRevB.65.140404.
2. Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 13: Magnetostática
3. Jackson, John David (1975). Electrodinámica clásica (2ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 047143132X.
4. Aharoni, Amikam (1996). Introducción a la Teoría del Ferromagnetismo. Prensa de Clarendon . ISBN 0-19-851791-2.

enlaces externos

• Medios relacionados con la magnetostática en Wikimedia Commons