Campo de desplazamiento (mecánica)

Asignación de vectores de desplazamiento para todos los puntos de una región

En mecánica , un campo de desplazamiento es la asignación de vectores de desplazamiento para todos los puntos de una región o cuerpo que se desplazan de un estado a otro. ^{[1] [2]} Un vector de desplazamiento especifica la posición de un punto o una partícula en referencia a un origen o a una posición anterior. Por ejemplo, un campo de desplazamiento puede utilizarse para describir los efectos de la deformación en un cuerpo sólido.

Formulación

Antes de considerar el desplazamiento, se debe definir el estado anterior a la deformación. Es un estado en el que se conocen las coordenadas de todos los puntos y se describe mediante la función: donde $${\displaystyle {\vec {R}}_{0}:\Omega \to P}$$

• ${\displaystyle {\vec {R}}_{0}}$es un vector de colocación
• ${\displaystyle \Omega }$son todos los puntos del cuerpo
• ${\displaystyle P}$son todos los puntos del espacio en el que está presente el cuerpo

La mayoría de las veces se trata de un estado del cuerpo en el que no se aplican fuerzas.

Entonces, dado cualquier otro estado de este cuerpo en el que las coordenadas de todos sus puntos se describen como el campo de desplazamiento es la diferencia entre dos estados del cuerpo: donde es un campo de desplazamiento, que para cada punto del cuerpo especifica un vector de desplazamiento . ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$ $${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}}$$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Descomposición

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento del cuerpo rígido y una deformación.

• Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultánea del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño.
• La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 1). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo se puede describir mediante un campo de desplazamiento. Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. La distancia entre dos partículas cualesquiera cambia si y solo si se ha producido una deformación. Si el desplazamiento se produce sin deformación, se trata de un desplazamiento de cuerpo rígido.

Tensor de gradiente de desplazamiento

Se pueden definir dos tipos de tensor de gradiente de desplazamiento , siguiendo las especificaciones lagrangianas y eulerianas. El desplazamiento de partículas indexadas por la variable i se puede expresar de la siguiente manera. El vector que une las posiciones de una partícula en la configuración no deformada y la configuración deformada se denomina vector de desplazamiento , , denotado o a continuación. ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}-P_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Coordenadas del material (descripción lagrangiana)

Usando en lugar de y en lugar de , ambos vectores desde el origen del sistema de coordenadas hasta cada punto respectivo, tenemos la descripción lagrangiana del vector de desplazamiento: donde son los vectores unitarios ortonormales que definen la base del sistema de coordenadas espaciales ( marco de laboratorio ). ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle p_{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Expresado en términos de las coordenadas del material, es decir , en función de , el campo de desplazamiento es: donde es el vector de desplazamiento que representa la traslación del cuerpo rígido. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$ ${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$

La derivada parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas del material da como resultado el tensor de gradiente de desplazamiento del material . Por lo tanto, tenemos, donde es el tensor de gradiente de deformación del material y es una rotación. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Coordenadas espaciales (descripción euleriana)

En la descripción euleriana , el vector que se extiende desde una partícula en la configuración no deformada hasta su ubicación en la configuración deformada se llama vector de desplazamiento : donde son los vectores unitarios que definen la base del sistema de coordenadas del material (cuerpo-bastidor). ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

Expresado en términos de coordenadas espaciales, es decir en función de , el campo de desplazamiento es: ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

La derivada espacial , es decir, la derivada parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas espaciales, da como resultado el tensor de gradiente de desplazamiento espacial . Por lo tanto, tenemos, donde es el tensor de gradiente de deformación espacial . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }$

Relación entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales con vectores unitarios y , respectivamente. Por lo tanto ${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

La relación entre y viene dada entonces por ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{J}}$ $${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Sabiendo eso entonces $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Combinación de los sistemas de coordenadas de configuraciones deformadas y no deformadas

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones deformadas y no deformadas, lo que da como resultado , y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker , es decir, ${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Así, en coordenadas materiales (no deformadas), el desplazamiento puede expresarse como: $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$$

Y en coordenadas espaciales (deformadas), el desplazamiento puede expresarse como: $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

Véase también

• Estrés
• Cepa

Referencias

1. "Mecánica del medio continuo - Cinemática". Facultad de Ingeniería . Universidad de Brown . Consultado el 25 de julio de 2018 .
2. "2.080 Clase 3: El concepto de estrés, tensiones generalizadas y equilibrio" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Consultado el 25 de julio de 2018 .