Campo aleatorio

En física y matemáticas , un campo aleatorio es una función aleatoria sobre un dominio arbitrario (normalmente un espacio multidimensional como ). Es decir, es una función que toma un valor aleatorio en cada punto (o algún otro dominio). A veces también se lo considera sinónimo de un proceso estocástico con alguna restricción en su conjunto de índices. Es decir, según las definiciones modernas, un campo aleatorio es una generalización de un proceso estocástico donde el parámetro subyacente ya no necesita ser un "tiempo" real o con un valor entero , sino que puede tomar valores que son vectores multidimensionales o puntos en alguna variedad . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Definicion formal

Dado un espacio de probabilidad , un campo aleatorio con valor X es una colección de variables aleatorias con valor X indexadas por elementos en un espacio topológico T. Es decir, un campo aleatorio F es una colección ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

donde cada una es una variable aleatoria valorada en X. ${\displaystyle F_{t}}$

Ejemplos

En su versión discreta, un campo aleatorio es una lista de números aleatorios cuyos índices se identifican con un conjunto discreto de puntos en un espacio (por ejemplo, el espacio euclidiano de n dimensiones ). Supongamos que hay cuatro variables aleatorias, , , y , ubicadas en una cuadrícula 2D en (0,0), (0,2), (2,2) y (2,0), respectivamente. Supongamos que cada variable aleatoria puede tomar el valor de -1 o 1, y la probabilidad del valor de cada variable aleatoria depende de sus vecinos inmediatamente adyacentes. Este es un ejemplo simple de un campo aleatorio discreto. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{3}}$ ${\displaystyle X_{4}}$

De manera más general, los valores que cada uno puede adoptar podrían definirse en un dominio continuo. En cuadrículas más grandes, también puede resultar útil pensar en el campo aleatorio como una variable aleatoria "con valor de función", como se describe anteriormente. En la teoría cuántica de campos, la noción se generaliza a una funcional aleatoria , una que toma valores aleatorios en un espacio de funciones (ver integral de Feynman ). ${\displaystyle X_{i}}$

Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs , el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano . En 1974, Julian Besag propuso un método de aproximación basado en la relación entre MRF y Gibbs RF. ^{[ cita necesaria ]}

Propiedades de ejemplo

Un MRF exhibe la propiedad de Markov

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

para cada elección de valores . Aquí cada uno es el conjunto de vecinos de . En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor depende de sus variables aleatorias vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en un MRF ^{[ se necesita aclaración ]} está dada por ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

donde la suma (puede ser una integral) está sobre los valores posibles de k. ^{[ se necesita aclaración ]} A veces es difícil calcular esta cantidad exactamente.

Aplicaciones

Cuando se utilizan en las ciencias naturales , los valores en un campo aleatorio suelen estar correlacionados espacialmente. Por ejemplo, los valores adyacentes (es decir, valores con índices adyacentes) no difieren tanto como los valores que están más separados. Este es un ejemplo de estructura de covarianza , de la cual se pueden modelar muchos tipos diferentes en un campo aleatorio. Un ejemplo es el modelo de Ising, donde a veces las interacciones con los vecinos más cercanos solo se incluyen como una simplificación para comprender mejor el modelo.

Un uso común de los campos aleatorios es en la generación de gráficos por computadora, particularmente aquellos que imitan superficies naturales como el agua y la tierra . Los campos aleatorios también se han utilizado en modelos del subsuelo como en ^[2]

En neurociencia , particularmente en estudios de imágenes cerebrales funcionales relacionados con tareas que utilizan PET o fMRI , el análisis estadístico de campos aleatorios es una alternativa común a la corrección de comparaciones múltiples para encontrar regiones con activación verdaderamente significativa. ^[3]

También se utilizan en aplicaciones de aprendizaje automático (ver modelos gráficos ).

Campos aleatorios con valores tensoriales

Los campos aleatorios son de gran utilidad en el estudio de procesos naturales mediante el método de Monte Carlo, en el que los campos aleatorios corresponden a propiedades que varían espacialmente de forma natural. Esto conduce a campos aleatorios con valores tensoriales ^{[ se necesita aclaración ]} en los que el papel clave lo desempeña un elemento de volumen estadístico (SVE), que es un cuadro espacial sobre el cual se pueden promediar las propiedades; cuando el SVE se vuelve lo suficientemente grande, sus propiedades se vuelven deterministas y se recupera el elemento de volumen representativo (RVE) de la física continua determinista. El segundo tipo de campo aleatorio que aparece en las teorías del continuo son los de cantidades dependientes (temperatura, desplazamiento, velocidad, deformación, rotación, fuerzas corporales y superficiales, tensiones, etc.). ^{[4] [ se necesita aclaración ]}

Ver también

• Covarianza
• kriging
• variograma
• revender
• Proceso estocástico
• Sistema de partículas interactivas
• Autómatas celulares estocásticos

Referencias

1. Vanmarcke, Erik (2010). Campos aleatorios: análisis y síntesis . Compañía editorial científica mundial. ISBN 978-9812563538.
2. Cárdenas, IC (2023). "Un enfoque bidimensional para cuantificar la incertidumbre estratigráfica a partir de datos de pozo utilizando campos aleatorios no homogéneos". Ingeniería Geológica . doi : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .
3. Worsley, KJ; Evans, AC; Marrett, S.; Neelin, P. (noviembre de 1992). "Un análisis estadístico tridimensional para estudios de activación del FBC en el cerebro humano". Revista de metabolismo y flujo sanguíneo cerebral . 12 (6): 900–918. doi : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN  0271-678X. PMID  1400644.
4. Malyarenko, Anatoliy; Ostoja-Starzewski, Martín (2019). "Campos aleatorios con valores tensoriales para física continua" . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781108429856.

Otras lecturas

• Adler, RJ y Taylor, Jonathan (2007). Campos aleatorios y geometría . Saltador. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Besag, JE (1974). "Interacción espacial y análisis estadístico de sistemas reticulares". Revista de la Real Sociedad de Estadística . Serie B. 36 (2): 192–236. doi :10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x.
• Griffeath, David (1976). "Campos aleatorios". En Kemeny, John G .; Snell, Laurie ; Knapp, Anthony W. (eds.). Numerosas cadenas de Markov (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-90177-9.
• Davar Khoshnevisan (2002). Procesos multiparamétricos: introducción a los campos aleatorios . Saltador. ISBN 0-387-95459-7.