Campo de desplazamiento eléctrico

Campo vectorial relacionado con la corriente de desplazamiento y la densidad de flujo.

En física , el campo de desplazamiento eléctrico (denotado por D ) o inducción eléctrica es un campo vectorial que aparece en las ecuaciones de Maxwell . Tiene en cuenta los efectos electromagnéticos de la polarización y los de un campo eléctrico , combinando ambos en un campo auxiliar . Desempeña un papel importante en temas como la capacitancia de un material, así como la respuesta de los dieléctricos al campo eléctrico, y cómo las formas pueden cambiar debido a los campos eléctricos en piezoelectricidad o flexoelectricidad , así como la creación de voltajes y transferencia de carga debido a deformaciones elásticas .

Ilustración de polarización debida a una carga negativa.

En cualquier material, si hay un centro de inversión , entonces la carga en, por ejemplo, y es la misma. Esto significa que no hay dipolo . Si se aplica un campo eléctrico a un aislante, entonces (por ejemplo) las cargas negativas pueden moverse ligeramente hacia el lado positivo del campo y las cargas positivas en la otra dirección. Esto conduce a un dipolo inducido que se describe como polarización . Puede haber movimientos ligeramente diferentes de los electrones negativos y los núcleos positivos en las moléculas, o diferentes desplazamientos de los átomos en un compuesto iónico . Los materiales que no tienen centro de inversión presentan piezoelectricidad y siempre tienen polarización; en otros, las tensiones que varían espacialmente pueden romper la simetría de inversión y provocar polarización, el efecto flexoeléctrico . Otros estímulos como los campos magnéticos pueden provocar la polarización en algunos materiales, denominándose esto efecto magnetoeléctrico . ${\displaystyle +x}$ ${\displaystyle -x}$

Definición

El campo de desplazamiento eléctrico " D " se define como

$${\displaystyle \mathbf {D} \equiv \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,}$$

permitividad del vacíoPdensidad de polarización ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

El campo de desplazamiento satisface la ley de Gauss en un dieléctrico:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho -\rho _{\text{b}}=\rho _{\text{f}}}$$

En esta ecuación, es el número de cargas gratuitas por unidad de volumen. Estas cargas son las que han hecho que el volumen no sea neutral y, a veces, se las denomina carga espacial . Esta ecuación dice, en efecto, que las líneas de flujo de D deben comenzar y terminar en las cargas libres. En contraposición está la densidad de todas aquellas cargas que forman parte de un dipolo , cada una de las cuales es neutra. En el ejemplo de un dieléctrico aislante entre placas metálicas de un condensador, las únicas cargas libres están en las placas metálicas y el dieléctrico contiene sólo dipolos. Si el dieléctrico se reemplaza por un semiconductor dopado o un gas ionizado, etc., entonces los electrones se mueven en relación con los iones, y si el sistema es finito, ambos contribuyen en los bordes. ${\displaystyle \rho _{\text{f}}}$ ${\displaystyle \rho _{\text{b}}}$ ${\displaystyle \rho _{\text{f}}}$

D no está determinado exclusivamente por la gratuidad. Como E tiene una curvatura de cero en situaciones electrostáticas, se deduce que

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P} }$$

El efecto de esta ecuación se puede ver en el caso de un objeto con una polarización "congelada" como una barra electreto , el análogo eléctrico de una barra magnética. No hay carga libre en dicho material, pero la polarización inherente da lugar a un campo eléctrico, lo que demuestra que el campo D no está determinado enteramente por la carga libre. El campo eléctrico se determina utilizando la relación anterior junto con otras condiciones límite sobre la densidad de polarización para producir las cargas ligadas, que, a su vez, producirán el campo eléctrico.

En un dieléctrico lineal , homogéneo e isotrópico con respuesta instantánea a cambios en el campo eléctrico, P depende linealmente del campo eléctrico,

$${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} ,}$$

susceptibilidad eléctrica ${\displaystyle \chi }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(1+\chi )\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} }$$

εε ₀ ε _rpermitividadε _rχpermitividad relativa

En medios lineales, homogéneos e isotrópicos, ε es una constante. Sin embargo, en medios anisotrópicos lineales es un tensor y en medios no homogéneos es función de la posición dentro del medio. También puede depender del campo eléctrico (materiales no lineales) y tener una respuesta dependiente del tiempo. Puede surgir una dependencia temporal explícita si los materiales se mueven físicamente o cambian en el tiempo (por ejemplo, los reflejos de una interfaz en movimiento dan lugar a cambios Doppler ). Puede surgir una forma diferente de dependencia del tiempo en un medio invariante en el tiempo , ya que puede haber un retraso entre la imposición del campo eléctrico y la polarización resultante del material. En este caso, P es una convolución de la susceptibilidad a la respuesta al impulso χ y el campo eléctrico E. Tal convolución adopta una forma más simple en el dominio de la frecuencia : al transformar Fourier la relación y aplicar el teorema de convolución , se obtiene la siguiente relación para un medio lineal invariante en el tiempo :

$${\displaystyle \mathbf {D} (\omega )=\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\omega ),}$$

causalidadrelaciones Kramers-Kronigdispersión materialancho de bandaε ${\displaystyle \omega }$

En un límite, donde σ _f es la densidad de carga libre y la unidad normal apunta en la dirección del medio 2 al medio 1. ^[1] ${\displaystyle (\mathbf {D_{1}} -\mathbf {D_{2}} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=D_{1,\perp }-D_{2,\perp }=\sigma _{\text{f}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Historia

El primer uso conocido del término data del año 1864, en el artículo de James Clerk Maxwell A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field . Maxwell introdujo el término D , capacidad específica de inducción eléctrica, en una forma diferente de las notaciones modernas y familiares. ^[2]

Fue Oliver Heaviside quien reformuló las complicadas ecuaciones de Maxwell a la forma moderna. No fue hasta 1884 que Heaviside, al mismo tiempo que Willard Gibbs y Heinrich Hertz, agruparon las ecuaciones en un conjunto distinto. Este grupo de cuatro ecuaciones se conocía como ecuaciones de Hertz-Heaviside y ecuaciones de Maxwell-Hertz, y en ocasiones todavía se conoce como ecuaciones de Maxwell-Heaviside; por lo tanto, probablemente fue Heaviside quien le dio a D el significado actual que tiene ahora.

Ejemplo: campo de desplazamiento en un condensador

Un condensador de placas paralelas. Utilizando una caja imaginaria, es posible utilizar la ley de Gauss para explicar la relación entre el desplazamiento eléctrico y la carga libre.

Considere un capacitor de placas paralelas infinitas donde el espacio entre las placas está vacío o contiene un medio aislante neutro. En ambos casos, las cargas libres se encuentran únicamente en las placas metálicas del condensador. Dado que las líneas de flujo D terminan en cargas libres, y hay el mismo número de cargas uniformemente distribuidas de signo opuesto en ambas placas, entonces todas las líneas de flujo simplemente deben atravesar el capacitor de un lado al otro. En unidades SI , la densidad de carga en las placas es proporcional al valor del campo D entre las placas. Esto se deriva directamente de la ley de Gauss , integrando sobre una pequeña caja rectangular situada a horcajadas sobre una placa del condensador:

${\displaystyle \scriptstyle _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q_{\text{free}}}$

En los lados de la caja, d A es perpendicular al campo, por lo que la integral sobre esta sección es cero, al igual que la integral en la cara que está fuera del capacitor donde D es cero. Por lo tanto, la única superficie que contribuye a la integral es la superficie de la caja dentro del capacitor y, por lo tanto,

$${\displaystyle |\mathbf {D} |A=|Q_{\text{free}}|,}$$

A ${\displaystyle Q_{\text{free}}/A=\rho _{\text{f}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon \mathbf {E} }$

$${\displaystyle V=|\mathbf {E} |d={\frac {|\mathbf {D} |d}{\varepsilon }}={\frac {|Q_{\text{free}}|d}{\varepsilon A}}}$$

d

La introducción del dieléctrico aumenta ε en un factor y la diferencia de voltaje entre las placas será menor en este factor o la carga debe ser mayor. La cancelación parcial de campos en el dieléctrico permite que una mayor cantidad de carga libre permanezca en las dos placas del capacitor por unidad de caída de potencial de lo que sería posible si las placas estuvieran separadas por vacío. ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$

Si la distancia d entre las placas de un capacitor de placas paralelas finitas es mucho menor que sus dimensiones laterales podemos aproximarla usando el caso infinito y obtener su capacitancia como

$${\displaystyle C={\frac {Q_{\text{free}}}{V}}\approx {\frac {Q_{\text{free}}}{|\mathbf {E} |d}}={\frac {A}{d}}\varepsilon ,}$$

Ver también

• Historia de las ecuaciones de Maxwell § El término ecuaciones de Maxwell
• Densidad de polarización
• Susceptibilidad eléctrica
• Campo magnético
• Momento dipolar eléctrico

Referencias

1. David Griffiths. Introducción a la electrodinámica (3ª edición de 1999).
2. Una teoría dinámica del campo electromagnético PARTE V. - TEORÍA DE LOS CONDENSADORES, página 494 ^{[ cita completa necesaria ]}