Teorema del buen orden

Principio teórico en matemáticas que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado.

En matemáticas , el teorema del buen orden , también conocido como teorema de Zermelo , establece que todo conjunto puede estar bien ordenado . Un conjunto X está bien ordenado según un orden total estricto si cada subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo bajo el orden. El teorema del buen orden junto con el lema de Zorn son los enunciados matemáticos más importantes que son equivalentes al axioma de elección (a menudo llamado AC, ver también Axioma de elección § Equivalentes ). ^{[1] [2]} Ernst Zermelo introdujo el axioma de elección como un "principio lógico inobjetable" para demostrar el teorema del buen orden. ^[3] Se puede concluir del teorema del bien ordenamiento que todo conjunto es susceptible a la inducción transfinita , que los matemáticos consideran una técnica poderosa. ^[3] Una consecuencia famosa del teorema es la paradoja de Banach-Tarski .

Historia

Georg Cantor consideraba que el teorema del buen orden era un "principio fundamental del pensamiento". ^[4] Sin embargo, se considera difícil o incluso imposible visualizar un buen ordenamiento de ; tal visualización tendría que incorporar el axioma de elección. ^[5] En 1904, Gyula Kőnig afirmó haber demostrado que tal ordenamiento no puede existir. Unas semanas más tarde, Felix Hausdorff encontró un error en la prueba. ^[6] Sin embargo, resultó que en lógica de primer orden el teorema del bien ordenamiento es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido son suficientes para demostrar el bien- teorema de orden y, a la inversa, los axiomas de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección pero con el teorema de buen orden incluido son suficientes para demostrar el axioma de elección. (Lo mismo se aplica al lema de Zorn .) Sin embargo, en lógica de segundo orden , el teorema del buen orden es estrictamente más fuerte que el axioma de elección: del teorema del bien orden se puede deducir el axioma de elección, pero del axioma de elección no se puede deducir el teorema del buen ordenamiento. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Hay un chiste muy conocido sobre las tres afirmaciones y su relativa susceptibilidad a la intuición:

El axioma de elección es obviamente verdadero, el principio de buen ordenamiento obviamente falso, y ¿quién puede decir algo sobre el lema de Zorn ? ^[8]

Prueba del axioma de elección

El teorema del buen orden se deriva del axioma de elección de la siguiente manera. ^[9]

Sea el conjunto que estamos tratando de ordenar bien y sea una función de elección para la familia de subconjuntos no vacíos de . Para cada ordinal , defina un elemento que esté estableciendo si este complemento no está vacío, o déjelo sin definir si lo está. Es decir, se elige del conjunto de elementos a los que aún no se les ha asignado un lugar en el orden (o no están definidos si se ha enumerado con éxito la totalidad de). Entonces el orden definido por si y solo si (en el buen orden habitual de los ordinales) es un buen orden como se desea, de tipo de orden de tipo de orden . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{\alpha }\ =\ f(A\smallsetminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \})}$ ${\displaystyle A\smallsetminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \}}$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{\alpha }<a_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sup\{\alpha \mid a_{\alpha }{\text{ is defined}}\}}$

Prueba del axioma de elección

El axioma de elección se puede demostrar a partir del teorema del buen orden de la siguiente manera.

Para crear una función de elección para una colección de conjuntos no vacíos, tome la unión de los conjuntos y llámela . Existe un buen ordenamiento de ; Sea tal orden. La función que a cada conjunto de asocia el elemento más pequeño de , según lo ordenado por (la restricción a de) , es una función de elección para la colección . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$

Un punto esencial de esta prueba es que implica sólo una única elección arbitraria, la de ; aplicar el teorema del buen orden a cada miembro de por separado no funcionaría, ya que el teorema solo afirma la existencia de un buen orden, y elegir un buen orden para cada uno requeriría tantas opciones como simplemente elegir un elemento de cada uno . En particular, si contiene un número incontable de conjuntos, no se permite tomar un número incontable de opciones según los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

Notas

1. Kuczma, Marek (2009). Una introducción a la teoría de las ecuaciones y desigualdades funcionales. Berlín: Springer. pag. 14.ISBN _ 978-3-7643-8748-8.
2. Hazewinkel, Michiel (2001). Enciclopedia de Matemáticas: Suplemento. Berlín: Springer. pag. 458.ISBN _ 1-4020-0198-3.
3. Thierry, Vialar (1945). Manual de Matemáticas. Norderstedt: Springer. pag. 23.ISBN _ 978-2-95-519901-5.
4. Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 21, págs.
5. Sheppard, Barnaby (2014). La lógica del infinito. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 174.ISBN _ 978-1-1070-5831-6.
6. Plotkin, JM (2005), "Introducción al" concepto de poder en la teoría de conjuntos "", Hausdorff sobre conjuntos ordenados, Historia de las Matemáticas, vol. 25, Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 23–30, ISBN 9780821890516
7. Shapiro, Stewart (1991). Fundamentos sin fundacionalismo: un caso a favor de la lógica de segundo orden . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853391-8.
8. Krantz, Steven G. (2002), "El axioma de elección", en Krantz, Steven G. (ed.), Manual de lógica y técnicas de prueba para la informática , Birkhäuser Boston, págs. 121-126, doi :10.1007 /978-1-4612-0115-1_9, ISBN 9781461201151
9. Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos (Edición Tercer Milenio) . Saltador . pag. 48.ISBN _ 978-3-540-44085-7.

enlaces externos

• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/wellord2.html