En geometría , el pequeño cuboctaedro es un poliedro estrellado uniforme , indexado como U 13. Tiene 20 caras (8 triángulos , 6 cuadrados y 6 octógonos ), 48 aristas y 24 vértices. [1] Su figura de vértice es un cuadrilátero cruzado .
El cúbico-octaedro pequeño es una facetación del rombi-octaedro . Sus caras cuadradas y sus caras octogonales son paralelas a las de un cubo , mientras que sus caras triangulares son paralelas a las de un octaedro : de ahí el nombre de cúbico-octaedro . El sufijo pequeño sirve para distinguirlo del cúbico-octaedro grande , que también tiene caras en las direcciones antes mencionadas. [2]
Comparte su disposición de vértices con el hexaedro truncado estrellado . Además, comparte su disposición de aristas con el rombicuboctaedro (que tiene las caras triangulares y las 6 caras cuadradas en común) y con el pequeño rombihexaedro (que tiene las caras octogonales en común).
Como sugiere la característica de Euler, el pequeño cubicuboctaedro es un poliedro toroidal de género 3 (topológicamente es una superficie de género 3), y por lo tanto puede interpretarse como una inmersión (poliédrica) de una superficie poliédrica de género 3, en el complemento de sus 24 vértices, en el 3-espacio. (Un vecindario de cualquier vértice es topológicamente un cono en una figura de 8, lo que no puede ocurrir en una inmersión. Nótese que la referencia de Richter pasa por alto este hecho). El poliedro subyacente (ignorando las autointersecciones) define un mosaico uniforme de esta superficie, y por lo tanto el pequeño cubicuboctaedro es un poliedro uniforme. En el lenguaje de los politopos abstractos , el pequeño cubicuboctaedro es una realización fiel de este poliedro toroidal abstracto, lo que significa que es un poliedro no degenerado y que tienen el mismo grupo de simetría. De hecho, cada automorfismo de la superficie de género abstracto 3 con este mosaico se realiza mediante una isometría del espacio euclidiano.
Las superficies de género superior (género 2 o mayor) admiten una métrica de curvatura constante negativa (por el teorema de uniformización ), y la cobertura universal de la superficie de Riemann resultante es el plano hiperbólico . La teselación correspondiente del plano hiperbólico tiene figura de vértice 3.8.4.8 (triángulo, octógono, cuadrado, octógono). Si a la superficie se le da la métrica apropiada de curvatura = −1, la función de cobertura es una isometría local y, por lo tanto, la figura de vértice abstracta es la misma. Esta teselación puede denotarse con el símbolo de Wythoff 3 4 | 4, y se representa a la derecha.
Alternativamente y de manera más sutil, al cortar cada cara cuadrada en 2 triángulos y cada cara octagonal en 6 triángulos, el pequeño cubicuboctaedro puede interpretarse como una coloración no regular del mosaico combinatoriamente regular (no solo uniforme ) de la superficie de género 3 por 56 triángulos equiláteros, que se encuentran en 24 vértices, cada uno con grado 7. [3] Este mosaico regular es significativo ya que es un mosaico del cuartico de Klein , la superficie de género 3 con la métrica más simétrica (los automorfismos de este mosaico son iguales a las isometrías de la superficie), y el grupo de automorfismos que preserva la orientación de esta superficie es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7), equivalentemente GL(3,2) (el grupo de orden 168 de todas las isometrías que preservan la orientación). Nótese que el pequeño cubicuboctaedro no es una realización de este poliedro abstracto, ya que solo tiene 24 simetrías que preservan la orientación (no todo automorfismo abstracto se realiza mediante una isometría euclidiana); las isometrías del pequeño cubicuboctaedro preservan no solo la teselación triangular, sino también la coloración y, por lo tanto, son un subgrupo propio del grupo de isometrías completo.
El teselado correspondiente del plano hiperbólico (la cobertura universal) es el teselado triangular de orden 7. El grupo de automorfismos del cuártico de Klein se puede aumentar (mediante una simetría que no se realiza mediante una simetría del poliedro, es decir, "intercambiando los dos puntos finales de las aristas que bisecan los cuadrados y octaedros") para producir el grupo de Mathieu M 24 . [4]