Código de corrección de errores de cinco qubits

Circuito cuántico que mide estabilizadores en el código de corrección de errores de cinco qubits

El código de corrección de errores de cinco qubits es el código de corrección de errores cuánticos más pequeño que puede proteger un qubit lógico de cualquier error arbitrario de un solo qubit. ^[1] En este código, se utilizan 5 qubits físicos para codificar el qubit lógico. ^[2] Como y son matrices de Pauli y la matriz de identidad , los generadores de este código son . Sus operadores lógicos son y . ^[3] Una vez que se codifica el qubit lógico, los errores en los qubits físicos se pueden detectar mediante mediciones del estabilizador. Una tabla de búsqueda que asigna los resultados de las mediciones del estabilizador a los tipos y ubicaciones de los errores le brinda al sistema de control de la computadora cuántica suficiente información para corregir los errores. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \langle XZZXI,IXZZX,XIXZZ,ZXIXZ\rangle }$ ${\displaystyle {\bar {X}}=XXXXX}$ ${\displaystyle {\bar {Z}}=ZZZZZ}$

Medidas

${\displaystyle {\bar {Z}}}$Circuito de medición de paridad

Las mediciones de estabilizadores son mediciones de paridad que miden los estabilizadores de los cúbits físicos. ^[5] Por ejemplo, para medir el primer estabilizador ( ), se realiza una medición de paridad del primer cúbit, del segundo, del tercero, del cuarto y del quinto. Como hay cuatro estabilizadores, se utilizarán 4 ancillas para medirlos. Los primeros 4 cúbits de la imagen de arriba son las ancillas. Los bits resultantes de las ancillas son el síndrome; que codifica el tipo de error que ocurrió y su ubicación. ${\displaystyle XZZXI}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Un qubit lógico se puede medir en la base computacional realizando una medición de paridad en . Si el ancilla medido es , el qubit lógico es . Si el ancilla medido es , el qubit lógico es . ^[6] ${\displaystyle {\bar {Z}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |1_{\rm {L}}\rangle }$

Corrección de errores

Es posible calcular todos los errores de un solo qubit que pueden ocurrir y cómo corregirlos. Esto se hace calculando qué errores conmutan con los estabilizadores. ^[4] Por ejemplo, si hay un error en el primer qubit y no hay errores en los otros ( ), conmuta con el primer estabilizador . Esto significa que si ocurre un error X en el primer qubit, el primer qubit ancillar será 0. El segundo qubit ancillar: , el tercero: y el cuarto . Entonces, si ocurre un error X en el primer qubit, el síndrome será ; que se muestra en la tabla a continuación, a la derecha de . Se realizan cálculos similares para todos los demás errores posibles para completar la tabla. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}=XIIII}$ ${\displaystyle [XIIII,XZZXI]=0}$ ${\displaystyle [XIIII,IXZZX]=0}$ ${\displaystyle [XIIII,XIXZZ]=0}$ ${\displaystyle [XIIII,ZXIXZ]\neq 0}$ ${\displaystyle 0001}$ ${\displaystyle X_{1}}$

Para corregir un error, se realiza la misma operación en el cúbit físico en función de su síndrome. Si el síndrome es , se aplica una compuerta al primer cúbit para revertir el error. ${\displaystyle 0001}$ ${\displaystyle X}$

Codificación

El primer paso para ejecutar la computación cuántica con corrección de errores es codificar el estado inicial de la computadora transformando los cúbits físicos en palabras de código lógicas. Las palabras de código lógicas para el código de cinco cúbits son

${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|00000\rangle +|10010\rangle +|01001\rangle +|10100\rangle +|01010\rangle -|11011\rangle -|00110\rangle -|11000\rangle \\-&|11101\rangle -|00011\rangle -|11110\rangle -|01111\rangle -|10001\rangle -|01100\rangle -|10111\rangle +|00101\rangle ],\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|1_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|11111\rangle +|01101\rangle +|10110\rangle +|01011\rangle +|10101\rangle -|00100\rangle -|11001\rangle -|00111\rangle \\-&|00010\rangle -|11100\rangle -|00001\rangle -|10000\rangle -|01110\rangle -|10011\rangle -|01000\rangle +|11010\rangle ].\end{aligned}}}$

Las mediciones del estabilizador seguidas de una medición se pueden utilizar para codificar un cúbit lógico en 5 cúbits físicos. ^[7] Para preparar , realice mediciones del estabilizador y aplique la corrección de errores. Después de la corrección de errores, se garantiza que el estado lógico sea una palabra de código lógica. Si el resultado de la medición es , el estado lógico es . Si el resultado es , el estado lógico es y la aplicación lo transformará en . ${\displaystyle {\bar {Z}}}$ ${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$ ${\displaystyle {\bar {Z}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$

Referencias

1. Gottesman, Daniel (2009). "Introducción a la corrección de errores cuánticos y a la computación cuántica tolerante a fallos". arXiv : 0904.2557 [quant-ph].
2. Knill, E.; Laflamme, R.; Martínez, R.; Negrevergne, C. (2001). "Evaluación comparativa de computadoras cuánticas: el código de corrección de errores de cinco qubits". Phys. Rev. Lett . 86 (25). American Physical Society: 5811–5814. arXiv : quant-ph/0101034 . Bibcode :2001PhRvL..86.5811K. doi :10.1103/PhysRevLett.86.5811. PMID  11415364. S2CID  119440555.
3. D. Gottesman (1997). "Códigos estabilizadores y corrección de errores cuánticos". arXiv : quant-ph/9705052 .
4. Roffe, Joschka (2019). "Corrección de errores cuánticos: una guía introductoria". Física contemporánea . 60 (3). Taylor & Francis: 226–245. arXiv : 1907.11157 . Código Bibliográfico :2019ConPh..60..226R. doi :10.1080/00107514.2019.1667078. S2CID  198893630.
5. Devitt, Simon J; Munro, William J; Nemoto, Kae (2013). "Corrección de errores cuánticos para principiantes". Informes sobre el progreso en física . 76 (7): 076001. arXiv : 0905.2794 . Bibcode :2013RPPh...76g6001D. doi :10.1088/0034-4885/76/7/076001. PMID  23787909. S2CID  206021660.
6. Ryan-Anderson, C.; Bohnet, JG; Lee, K.; Gresh, D.; Hankin, A.; Gaebler, JP; Francois, D.; Chernoguzov, A.; Lucchetti, D.; Brown, NC; Gatterman, TM; Halit, SK; Gilmore, K.; Gerber, J.; Neyenhuis, B.; Hayes, D.; Stutz, RP (2021). "Realización de corrección de errores cuánticos tolerantes a fallos en tiempo real". Physical Review X . 11 (4): 041058. arXiv : 2107.07505 . Código Bibliográfico :2021PhRvX..11d1058R. doi :10.1103/PhysRevX.11.041058. S2CID  235899062.
7. Gong, Ming; Yuan, Xiao; Wang, Shiyu; Wu, Yulín; Zhao, Youwei; Zha, Chen; Li, Shaowei; Zhang, Zhen; Zhao, Qi; Liu, Yunchao; Liang, Futian; Lin, Jin; Xu, Yu; Deng, H.; Rong, Hao; Lu, él; Benjamín, S.; Peng, Cheng-Zhi; Mamá, Xiongfeng; Chen, Yu-Ao; Zhu, Xiaobo; Pan, Jian-Wei (2021). "Exploración experimental de código de corrección de errores cuánticos de cinco qubits con qubits superconductores". Revista Nacional de Ciencias . 9 (1): nwab011. arXiv : 1907.04507 . doi :10.1093/nsr/nwab011. PMC 8776549 . PMID  35070323.