Código estabilizador

Código de corrección de errores cuánticos

En computación cuántica y comunicación cuántica , un código estabilizador es una clase de códigos cuánticos para realizar correcciones de errores cuánticos . El código tórico y, en general, los códigos de superficie ^[1] son ​​tipos de códigos estabilizadores que se consideran muy importantes para la realización práctica del procesamiento de información cuántica.

Antecedentes conceptuales

Los códigos de corrección de errores cuánticos restauran un estado cuántico ruidoso y descoherente a un estado cuántico puro. Un código estabilizador de corrección de errores cuánticos añade cúbits ancilla a los cúbits que queremos proteger. Un circuito de codificación unitario rota el estado global en un subespacio de un espacio de Hilbert más grande . Este estado codificado altamente enredado corrige los errores locales ruidosos. Un código de corrección de errores cuánticos hace que la computación cuántica y la comunicación cuántica sean prácticas al proporcionar una forma para que un emisor y un receptor simulen un canal de cúbits sin ruido dado un canal de cúbits ruidoso cuyo ruido se ajusta a un modelo de error particular. Los primeros códigos de corrección de errores cuánticos son sorprendentemente similares a los códigos de bloque clásicos en su funcionamiento y rendimiento.

La teoría del estabilizador de la corrección cuántica de errores permite importar algunos códigos binarios o cuaternarios clásicos para utilizarlos como código cuántico. Sin embargo, al importar el código clásico, debe satisfacer la restricción de contención dual (o autoortogonalidad). Los investigadores han encontrado muchos ejemplos de códigos clásicos que satisfacen esta restricción, pero la mayoría de los códigos clásicos no. No obstante, sigue siendo útil importar códigos clásicos de esta manera (aunque vea cómo el formalismo del estabilizador asistido por entrelazamiento supera esta dificultad).

Antecedentes matemáticos

El formalismo estabilizador aprovecha elementos del grupo de Pauli para formular códigos de corrección de errores cuánticos. El conjunto consta de los operadores de Pauli : ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi =\left\{I,X,Y,Z\right\}}$

${\displaystyle I\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ X\equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\ Y\equiv {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\ Z\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Los operadores anteriores actúan sobre un único cúbit , un estado representado por un vector en un espacio de Hilbert bidimensional . Los operadores en tienen valores propios y conmutan o anticonmutan . El conjunto consta de productos tensoriales de operadores de Pauli : ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Pi ^{n}=\left\{{\begin{array}{c}e^{i\phi }A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}:\forall j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}A_{j}\in \Pi ,\ \ \phi \in \left\{0,\pi /2,\pi ,3\pi /2\right\}\end{array}}\right\}.}$

Elementos de la acción sobre un registro cuántico de qubits. Omitimos ocasionalmente los símbolos de producto tensorial en lo que sigue para que ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}.}$

El grupo de Pauli -fold juega un papel importante tanto para el circuito de codificación como para el procedimiento de corrección de errores de un código estabilizador cuántico sobre qubits. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Definición

Definamos un código estabilizador de corrección de errores cuánticos para codificar qubits lógicos en qubits físicos. La tasa de dicho código es . Su estabilizador es un subgrupo abeliano del grupo de Pauli de pliegues . no contiene el operador . El espacio propio simultáneo de los operadores constituye el espacio de códigos . El espacio de códigos tiene dimensión de modo que podemos codificar qubits en él. El estabilizador tiene una representación mínima en términos de generadores independientes ${\displaystyle \left[n,k\right]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle -I^{\otimes n}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle \left\{g_{1},\ldots ,g_{n-k}\ |\ \forall i\in \left\{1,\ldots ,n-k\right\},\ g_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}.}$

Los generadores son independientes en el sentido de que ninguno de ellos es producto de otros dos (hasta una fase global ). Los operadores funcionan de la misma manera que una matriz de verificación de paridad para un código de bloque lineal clásico . ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-k}}$

Condiciones de corrección de errores del estabilizador

Una de las nociones fundamentales de la teoría de corrección de errores cuánticos es que basta con corregir un conjunto de errores discretos con apoyo en el grupo de Pauli . Supongamos que los errores que afectan a un estado cuántico codificado son un subconjunto del grupo de Pauli : ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.}$

Como y son ambos subconjuntos de , un error que afecta a un estado cuántico codificado conmuta o anticonmuta con cualquier elemento particular en . El error es corregible si anticonmuta con un elemento en . Un error de anticonmutación es detectable midiendo cada elemento en y calculando un síndrome que identifica . El síndrome es un vector binario con longitud cuyos elementos identifican si el error conmuta o anticonmuta con cada . Un error que conmuta con cada elemento en es corregible si y solo si está en . Corrompe el estado codificado si conmuta con cada elemento de pero no se encuentra en . Por lo tanto, resumimos de forma compacta las condiciones de corrección de errores del estabilizador: un código estabilizador puede corregir cualquier error en si ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\notin {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}$

o

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}}$

donde es el centralizador de (es decir, el subgrupo de elementos que conmutan con todos los miembros de , también conocido como el conmutador). ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Ejemplo sencillo de un código estabilizador

Un ejemplo simple de un código estabilizador es un código estabilizador de tres cúbits. Codifica cúbits lógicos en cúbits físicos y protege contra un error de inversión de un solo bit en el conjunto . Esto no protege contra otros errores de Pauli, como errores de inversión de fase en el conjunto . o . Este tiene una distancia de código . Su estabilizador consta de operadores de Pauli: ${\displaystyle \left[[3,1,3\right]]}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \left\{X_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Z_{i}\right\}}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle n-k=2}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}g_{1}&=&Z&Z&I\\g_{2}&=&I&Z&Z\\\end{array}}}$

Si no hay errores de inversión de bits, ni de operadores ni de conmutación, el síndrome es +1,+1 y no se detectan errores. ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$

Si hay un error de inversión de bits en el primer cúbit codificado, el operador realizará una conmutación inversa y una conmutación inversa, el síndrome es -1, +1 y se detecta el error. Si hay un error de inversión de bits en el segundo cúbit codificado, el operador realizará una conmutación inversa y una conmutación inversa, el síndrome es -1, -1 y se detecta el error. Si hay un error de inversión de bits en el tercer cúbit codificado, el operador realizará una conmutación inversa y una conmutación inversa, el síndrome es +1, -1 y se detecta el error. ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$

Ejemplo de un código estabilizador

Un ejemplo de código estabilizador es el código estabilizador de cinco cúbits. Codifica los cúbits lógicos en cúbits físicos y protege contra un error arbitrario de un solo cúbit. Tiene una distancia de código . Su estabilizador consta de operadores de Pauli: ${\displaystyle \left[[5,1,3\right]]}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle n-k=4}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\end{array}}}$

Los operadores anteriores conmutan. Por lo tanto, el espacio de códigos es el espacio propio +1 simultáneo de los operadores anteriores. Supongamos que se produce un error de un solo cúbit en el registro cuántico codificado. Un error de un solo cúbit está en el conjunto donde denota un error de Pauli en un cúbit . Es sencillo verificar que cualquier error arbitrario de un solo cúbit tiene un síndrome único. El receptor corrige cualquier error de un solo cúbit identificando el síndrome a través de una medición de paridad y aplicando una operación correctiva. ${\displaystyle \left\{X_{i},Y_{i},Z_{i}\right\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Relación entre el grupo de Pauli y los vectores binarios

Existe una aplicación sencilla pero útil entre los elementos de y el espacio vectorial binario . Esta aplicación simplifica la teoría de corrección de errores cuánticos. Representa códigos cuánticos con vectores binarios y operaciones binarias en lugar de con operadores de Pauli y operaciones matriciales respectivamente. ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

Primero damos la correspondencia para el caso de un qubit. Supongamos que hay un conjunto de clases de equivalencia de un operador que tienen la misma fase : ${\displaystyle \left[A\right]}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left[A\right]=\left\{\beta A\ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}$

Sea el conjunto de operadores de Pauli libres de fase donde . Defina la función como ${\displaystyle \left[\Pi \right]}$ ${\displaystyle \left[\Pi \right]=\left\{\left[A\right]\ |\ A\in \Pi \right\}}$ ${\displaystyle N:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \Pi }$

${\displaystyle 00\to I,\,\,01\to X,\,\,11\to Y,\,\,10\to Z}$

Supongamos . Utilicemos la abreviatura y donde , , , . Por ejemplo, supongamos . Entonces . La función induce un isomorfismo porque la suma de vectores en es equivalente a la multiplicación de operadores de Pauli hasta una fase global: ${\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$ ${\displaystyle u=\left(z|x\right)}$ ${\displaystyle v=\left(z^{\prime }|x^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle u=\left(0|1\right)}$ ${\displaystyle N\left(u\right)=X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left[N\right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \left[\Pi \right]}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left[N\left(u+v\right)\right]=\left[N\left(u\right)\right]\left[N\left(v\right)\right].}$

Sea el producto simpléctico entre dos elementos : ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle u\odot v\equiv zx^{\prime }-xz^{\prime }.}$

El producto simpléctico da las relaciones de conmutación de los elementos de : ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle N\left(u\right)N\left(v\right)=\left(-1\right)^{\left(u\odot v\right)}N\left(v\right)N\left(u\right).}$

El producto simpléctico y la aplicación proporcionan así una forma útil de expresar las relaciones de Pauli en términos de álgebra binaria . La extensión de las definiciones anteriores y la aplicación a múltiples cúbits es sencilla. Sea un elemento arbitrario de . De manera similar, podemos definir el grupo de Pauli de cúbits libres de fase donde ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]=\left\{\left[\mathbf {A} \right]\ |\ \mathbf {A} \in \Pi ^{n}\right\}}$

${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]=\left\{\beta \mathbf {A} \ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}$

La operación de grupo para la clase de equivalencia anterior es la siguiente: ${\displaystyle \ast }$

${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\ast \left[\mathbf {B} \right]\equiv \left[A_{1}\right]\ast \left[B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}\right]\ast \left[B_{n}\right]=\left[A_{1}B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}B_{n}\right]=\left[\mathbf {AB} \right].}$

La clase de equivalencia forma un grupo conmutativo bajo la operación . Consideremos el espacio vectorial de dimensión . ${\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}=\left\{\left(\mathbf {z,x} \right):\mathbf {z} ,\mathbf {x} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{n}\right\}.}$

Forma el grupo conmutativo con operación definida como suma binaria de vectores. Empleamos la notación para representar cualquier vector respectivamente. Cada vector y tiene elementos y respectivamente con representaciones similares para y . El producto simpléctico de y es ${\displaystyle (\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n},+)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(\mathbf {z} |\mathbf {x} \right),\mathbf {v} =\left(\mathbf {z} ^{\prime }|\mathbf {x} ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime }-x_{i}z_{i}^{\prime },}$

o

${\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i},}$

donde y . Definamos un mapa de la siguiente manera: ${\displaystyle u_{i}=\left(z_{i}|x_{i}\right)}$ ${\displaystyle v_{i}=\left(z_{i}^{\prime }|x_{i}^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {N} :\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \Pi ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\equiv N\left(u_{1}\right)\otimes \cdots \otimes N\left(u_{n}\right).}$

Dejar

${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\equiv X^{x_{1}}\otimes \cdots \otimes X^{x_{n}},\,\,\,\,\,\,\,\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\equiv Z^{z_{1}}\otimes \cdots \otimes Z^{z_{n}},}$

de modo que y pertenecen a la misma clase de equivalencia : ${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)}$

${\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]=\left[\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\right].}$

El mapa es un isomorfismo por la misma razón dada en el caso anterior: ${\displaystyle \left[\mathbf {N} \right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \left[\Pi ^{n}\right]}$

${\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u+v} \right)\right]=\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\right],}$

donde . El producto simpléctico captura las relaciones de conmutación de cualquier operador y : ${\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)}$

${\displaystyle \mathbf {N\left(\mathbf {u} \right)N} \left(\mathbf {v} \right)=\left(-1\right)^{\left(\mathbf {u} \odot \mathbf {v} \right)}\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right).}$

La representación binaria y el álgebra simpléctica anteriores son útiles para hacer más explícita la relación entre la corrección de error lineal clásica y la corrección de error cuántico.

Al comparar los códigos de corrección de errores cuánticos en este lenguaje con los espacios vectoriales simplécticos , podemos ver lo siguiente: un subespacio simpléctico corresponde a una suma directa de álgebras de Pauli (es decir, qubits codificados), mientras que un subespacio isótropo corresponde a un conjunto de estabilizadores.

Referencias

1. "¿Qué es el "código de superficie" en el contexto de la corrección de errores cuánticos?". Intercambio de pila de computación cuántica . Consultado el 12 de enero de 2024 .

• D. Gottesman, "Códigos estabilizadores y corrección de errores cuánticos", quant-ph/9705052, tesis doctoral de Caltech. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
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• Calderbank, AR; Shor, Peter W. (1996-08-01). "Existen buenos códigos de corrección de errores cuánticos". Physical Review A . 54 (2). American Physical Society (APS): 1098–1105. arXiv : quant-ph/9512032 . Bibcode :1996PhRvA..54.1098C. doi :10.1103/physreva.54.1098. ISSN  1050-2947. PMID  9913578. S2CID  11524969.
• Steane, AM (29 de julio de 1996). "Códigos de corrección de errores en la teoría cuántica". Physical Review Letters . 77 (5). American Physical Society (APS): 793–797. Bibcode :1996PhRvL..77..793S. doi :10.1103/physrevlett.77.793. ISSN  0031-9007. PMID  10062908.
• A. Calderbank, E. Rains, P. Shor y N. Sloane, “Corrección de errores cuánticos mediante códigos sobre GF(4)”, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, págs. 1369–1387, 1998. Disponible en https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006