Medición de paridad

Circuito cuántico que muestra medición de paridad.

La medición de paridad (también conocida como medición de operador ) es un procedimiento en la ciencia de la información cuántica que se utiliza para la detección de errores en qubits cuánticos. Una medición de paridad verifica la igualdad de dos qubits para devolver una respuesta verdadera o falsa, que se puede utilizar para determinar si es necesario realizar una corrección. ^[1] Se pueden realizar mediciones adicionales para un sistema de más de dos qubits. Debido a que la medición de paridad no mide el estado de bits singulares, sino que obtiene información sobre el estado completo, se considera un ejemplo de una medición conjunta. Las mediciones conjuntas no tienen la consecuencia de destruir el estado original de un qubit como lo hacen las mediciones cuánticas normales. ^[2] Matemáticamente hablando, las mediciones de paridad se utilizan para proyectar un estado en un estado propio de un operador y para adquirir su valor propio . ^{[ cita requerida ]}

La medición de la paridad es un concepto esencial de la corrección de errores cuánticos . A partir de la medición de la paridad, se puede aplicar una operación unitaria adecuada para corregir el error sin conocer el estado inicial del cúbit. ^[3]

Paridad y comprobación de paridad

Un qubit es un sistema de dos niveles, y cuando medimos un qubit, podemos tener como resultado 1 o 0. Uno corresponde a paridad impar y cero corresponde a paridad par. Esto es lo que es una comprobación de paridad. Esta idea se puede generalizar más allá de los qubits individuales. Esto se puede generalizar más allá de un solo qubit y es útil en QEC. La idea de las comprobaciones de paridad en QEC es tener solo información de paridad de múltiples qubits de datos sobre un qubit (auxiliar) sin revelar ninguna otra información. Cualquier unitario se puede utilizar para la comprobación de paridad. Si queremos tener la información de paridad de un observable cuántico válido U, necesitamos aplicar las puertas U controladas entre el qubit ancillar y los qubits de datos secuencialmente. Por ejemplo, para realizar mediciones de verificación de paridad en la base X, necesitamos aplicar puertas CNOT entre el qubit ancillar y los qubits de datos secuencialmente, ya que la puerta controlada en este caso es una puerta CNOT (CX). ^[4]

El estado único del cúbit auxiliar se utiliza entonces para determinar si los cúbits son par o impar. Cuando los cúbits de los estados de entrada son iguales, se medirá una paridad par, lo que indica que no se ha producido ningún error. Cuando los cúbits son desiguales, se medirá una paridad impar, lo que indica un único error de inversión de bit. ^[5]

Con más de dos cúbits, se pueden realizar mediciones de paridad adicionales para determinar si los cúbits tienen el mismo valor y, en caso contrario, para encontrar cuál es el valor atípico. Por ejemplo, en un sistema de tres cúbits, se puede realizar primero una medición de paridad en el primer y segundo cúbits, y luego en el primero y tercer cúbits. En concreto, se mide para determinar si se ha producido un error en los dos primeros cúbits y, a continuación, para determinar si se ha producido un error en el primero y tercer cúbits. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle Z\otimes Z\otimes I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\otimes I\otimes Z}$ ${\displaystyle X}$

En un circuito, se prepara un qubit auxiliar en el estado. Durante la medición, se realiza una compuerta CNOT en el bit auxiliar que depende del primer qubit que se está verificando, seguida de una segunda compuerta CNOT que se realiza en el bit auxiliar que depende del segundo qubit que se está verificando. Si estos qubits son iguales, las compuertas CNOT dobles revertirán el qubit auxiliar a su estado inicial, lo que indica paridad par. Si estos qubits no son iguales, las compuertas CNOT dobles alterarán el qubit auxiliar al estado opuesto , lo que indica paridad impar. ^[1] Al observar los qubits auxiliares, se puede realizar una corrección correspondiente. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Alternativamente, la medición de la paridad puede considerarse como una proyección de un estado de cúbit en un estado propio de un operador y para obtener su valor propio. Para la medición, la comprobación del cúbit auxiliar en la base devolverá el valor propio de la medición. Si el valor propio aquí se mide como +1, esto indica paridad par de los bits sin error. Si el valor propio se mide como -1, esto indica paridad impar de los bits con un error de inversión de bits. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle Z\otimes Z\otimes I}$ ${\displaystyle |0\rangle \pm \ |1\rangle }$

Ejemplo

Alice, una emisora, quiere transmitir un qubit a Bob, un receptor. El estado de cualquier qubit que Alice quisiera enviar se puede escribir como donde y son coeficientes. Alice codifica esto en tres qubits, de modo que el estado inicial que transmite es . Después del ruido en el canal, el estado de los tres qubits se puede ver en la siguiente tabla con la probabilidad correspondiente: ^[1] ${\displaystyle a\ |0\rangle +b\ |1\rangle }$ ${\displaystyle a\ }$ ${\displaystyle b\ }$ ${\displaystyle a\ |000\rangle +b\ |111\rangle }$

Se puede realizar una medición de paridad en el estado alterado, con dos qubits auxiliares almacenando la medición. Primero, se verifica la paridad del primer y segundo qubits. Si son iguales, se almacena a en el primer qubit auxiliar. Si no son iguales, se almacena a en el primer qubit auxiliar. La misma acción se realiza comparando el primer y tercer qubits, y la verificación se almacena en el segundo qubit auxiliar. Es importante tener en cuenta que en realidad no necesitamos saber el estado del qubit de entrada y podemos realizar las operaciones CNOT que indican la paridad sin este conocimiento. Los qubits auxiliares son los que indican qué bit se ha alterado y la operación de corrección se puede realizar según sea necesario. ^[1] ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$

Medición de paridad en la corrección de errores cuánticos

Una forma sencilla de visualizar esto es en el circuito anterior. Primero, el estado de entrada se codifica en 3 bits y se realizan comprobaciones de paridad con posterior corrección de errores basada en los resultados de los cúbits ancillarios en la parte inferior. Finalmente, se realiza la decodificación para volver a la misma base del estado de entrada. ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Matriz de comprobación de paridad

También se puede construir una matriz de comprobación de paridad para un circuito cuántico utilizando estos principios. Para un mensaje x codificado como Gx , donde G corresponde a la matriz generadora , Hx = 0, donde H es la matriz de paridad que contiene 0 y 1 para una situación en la que no hay ningún error. Sin embargo, si se produce un error en un componente, se puede utilizar el patrón de los errores para encontrar qué bit es incorrecto. ^[3]

Tipos de medidas de paridad

Existen dos tipos de medición de paridad: la indirecta y la directa. Las mediciones de paridad indirecta coinciden con la forma típica en que pensamos en la medición de paridad, como se describió anteriormente, midiendo un cúbit auxiliar para determinar la paridad de los bits de entrada. Las mediciones de paridad directa difieren del tipo anterior en que se mide un modo común con las paridades acopladas a los cúbits, sin la necesidad de un cúbit auxiliar. Si bien las mediciones de paridad indirecta pueden poner a prueba la capacidad experimental, las mediciones directas pueden interferir con la fidelidad de los estados iniciales. ^[6]

Ejemplo

Por ejemplo, dado un operador hermítico y unitario (cuyos valores propios son ) y un estado , el circuito de la parte superior derecha realiza una medición de paridad en . Después de la primera compuerta Hadamard , el estado del circuito es ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |\psi \rangle +|1\rangle |\psi \rangle )}$

Después de aplicar la puerta U controlada , el estado del circuito evoluciona a

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |\psi \rangle +|1\rangle U|\psi \rangle )}$

Después de aplicar la segunda puerta de Hadamard, el estado del circuito pasa a ser

${\displaystyle {\frac {1}{2}}|0\rangle (|\psi \rangle +U|\psi \rangle )+{\frac {1}{2}}|1\rangle (|\psi \rangle -U|\psi \rangle )}$

Si el estado del cúbit superior después de la medición es , entonces ; que es el estado propio de . Si el estado del cúbit superior es , entonces ; que es el estado propio de . ^[5] ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle =|\psi \rangle +U|\psi \rangle }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle =|\psi \rangle -U|\psi \rangle }$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle U}$

Experimentos y aplicaciones

En los experimentos, las mediciones de paridad no solo son un mecanismo para la corrección de errores cuánticos, sino que también pueden ayudar a combatir condiciones no ideales. Dada la posibilidad existente de errores de inversión de bits, existe una probabilidad adicional de errores como resultado de fugas. Este fenómeno se debe a que los cúbits de alta energía no utilizados se excitan. Se ha demostrado en cúbits transmon superconductores que las mediciones de paridad se pueden aplicar repetidamente durante la corrección de errores cuánticos para eliminar los errores de fuga. ^[7] Las mediciones de paridad repetitivas se pueden utilizar para estabilizar un estado entrelazado y evitar errores de fuga (lo que normalmente no es posible con la corrección de errores cuánticos típica), pero el primer grupo en lograrlo lo hizo en 2020. Realizando comprobaciones de intercalación XX y ZZ, que en última instancia pueden determinar si se produce un error de inversión X (bit), Y (iXZ) o Z (fase). Los resultados de estas mediciones de paridad de los cúbits ancillarios se utilizan con modelos ocultos de Markov para completar la detección y corrección de fugas. ^[8]

Referencias

1. Steane, Andrew M. (2006). Un tutorial sobre corrección de errores cuánticos. Computadoras cuánticas, algoritmos y caos , 1-32. https://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/ErrorCorrectionSteane06.pdf
2. Thekkadath, Guillaume (2017). Medidas conjuntas de propiedades complementarias de sistemas cuánticos (tesis). Universidad de Ottawa. doi :10.20381/ruor-20949.
3. Nielsen, Michael A. (2010). Computación cuántica e información cuántica . Isaac L. Chuang (edición del décimo aniversario). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3.OCLC 665137861  .
4. Üstün, Gözde; Morello, Andrea; Devitt, Simon (2023), Conjunto de puertas de verificación de paridad de un solo paso para corrección de errores cuánticos , arXiv : 2306.08849
5. Devitt, Simon J.; Nemoto, Kae; Munro, William J. (2013). "Corrección de errores cuánticos para principiantes". Informes sobre el progreso en física . 76 (7): 076001. arXiv : 0905.2794 . Bibcode :2013RPPh...76g6001D. doi :10.1088/0034-4885/76/7/076001. PMID  23787909. S2CID  206021660.
6. Royer, Baptiste; Puri, Shruti; Blais, Alexandre (2018-11-02). "Medición de paridad de cúbits mediante control paramétrico en QED de circuitos". Science Advances . 4 (11): eaau1695. arXiv : 1802.10112 . Bibcode :2018SciA....4.1695R. doi : 10.1126/sciadv.aau1695 . ISSN  2375-2548. PMC 6269160 . PMID  30515454. 
7. McEwen, M.; Kafri, D.; Chen, Z.; Atalaya, J.; Satzinger, KJ; Quintana, C.; Klimov, PV; Sank, D.; Gidney, C.; Fowler, AG; Arute, F.; Arya, K.; Buckley, B.; Burkett, B.; Bushnell, N. (19 de marzo de 2021). "Eliminación de errores correlacionados inducidos por fugas en la corrección de errores cuánticos superconductores". Nature Communications . 12 (1): 1761. arXiv : 2102.06131 . Código Bibliográfico :2021NatCo..12.1761M. doi :10.1038/s41467-021-21982-y. ISSN  2041-1723. PMC 7979694 . Número de modelo:  PMID33741936. 
8. Bultink, CC; O'Brien, TE; Vollmer, R.; Muthusubramanian, N.; Beekman, MW; Rol, MA; Fu, X.; Tarasinski, B.; Ostroukh, V.; Varbanov, B.; Bruno, A.; DiCarlo, L. (20 de marzo de 2020). "Protección del entrelazamiento cuántico contra fugas y errores de cúbits mediante mediciones de paridad repetitivas". Science Advances . 6 (12): eaay3050. arXiv : 1905.12731 . Bibcode :2020SciA....6.3050B. doi : 10.1126/sciadv.aay3050 . ISSN  2375-2548. PMC 7083610 . PMID  32219159.