La desigualdad de Hadamard

Teorema

En matemáticas , la desigualdad de Hadamard (también conocida como teorema de Hadamard sobre determinantes ^[1] ) es un resultado publicado por primera vez por Jacques Hadamard en 1893. ^[2] Es un límite del determinante de una matriz cuyas entradas son números complejos en términos de las longitudes de sus vectores columna. En términos geométricos , cuando se restringe a números reales , acota el volumen en el espacio euclidiano de n dimensiones marcado por n vectores v _i para 1 ≤ i ≤ n en términos de las longitudes de estos vectores || v _i  ||.

Específicamente, la desigualdad de Hadamard establece que si N es la matriz que tiene columnas ^[3] v _i , entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Si los n vectores son distintos de cero, la igualdad en la desigualdad de Hadamard se logra si y solo si los vectores son ortogonales .

Formas alternativas y corolarios

Un corolario es que si las entradas de una matriz N de n por n están limitadas por B , entonces | N _ij  | ≤ B para todos los i y j , entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.}$

En particular, si las entradas de N son +1 y −1 solamente, entonces ^[4]

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.}$

En combinatoria , las matrices N para las que se cumple la igualdad, es decir, aquellas con columnas ortogonales, se denominan matrices de Hadamard .

De manera más general, supongamos que N es una matriz compleja de orden n , cuyos elementos están acotados por | N _ij  | ≤ 1, para cada i , j entre 1 y n . Entonces la desigualdad de Hadamard establece que

${\displaystyle |\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}.}$

La igualdad en este límite se alcanza para una matriz real N si y sólo si N es una matriz de Hadamard.

Una matriz semidefinida positiva P se puede escribir como N ^* N , donde N ^* denota la transpuesta conjugada de N (ver Descomposición de una matriz semidefinida ). Entonces

${\displaystyle \det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}.}$

Por lo tanto, el determinante de una matriz definida positiva es menor o igual que el producto de sus elementos diagonales. A veces, esto también se conoce como desigualdad de Hadamard. ^{[2] [5]}

Prueba

El resultado es trivial si la matriz N es singular , por lo que supongamos que las columnas de N son linealmente independientes . Al dividir cada columna por su longitud, se puede ver que el resultado es equivalente al caso especial en el que cada columna tiene una longitud de 1, en otras palabras, si e _i son vectores unitarios y M es la matriz que tiene a los e _i como columnas, entonces

y la igualdad se logra si y sólo si los vectores son un conjunto ortogonal . El resultado general es el siguiente:

${\displaystyle \left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Para demostrar (1) , considere P = M ^* M donde M ^* es la transpuesta conjugada de M , y sean los valores propios de P λ ₁ , λ ₂ , … λ _n . Como la longitud de cada columna de M es 1, cada entrada en la diagonal de P es 1, por lo que la traza de P es n . Aplicando la desigualdad de medias aritméticas y geométricas ,

${\displaystyle \det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,}$

entonces

${\displaystyle \left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.}$

Si hay igualdad entonces cada una de las λ _i deben ser todas iguales y su suma es n , por lo que todas deben ser 1. La matriz P es hermítica , por lo tanto diagonalizable , por lo que es la matriz identidad —en otras palabras las columnas de M son un conjunto ortonormal y las columnas de N son un conjunto ortogonal. ^[6] Se pueden encontrar muchas otras pruebas en la literatura.

Véase también

• Desigualdad de Fischer

Notas

1. "Teorema de Hadamard - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 15 de junio de 2020 .
2. Maz'ya y Shaposhnikova
3. El resultado se expresa a veces en términos de vectores de fila. La equivalencia se ve al aplicar la transposición.
4. polvo
5. Różański, Michał; Witula, romano; Hetmaniok, Edyta (2017). "Versiones más sutiles de la desigualdad de Hadamard". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 532 : 500–511. doi : 10.1016/j.laa.2017.07.003 .
6. La prueba sigue, con modificaciones menores, la segunda prueba dada en Maz'ya y Shaposhnikova.

Referencias

• Maz'ya, Vladimir; Shaposhnikova, TO (1999). Jacques Hadamard: un matemático universal . AMS. págs. 383 y siguientes. ISBN 0-8218-1923-2.
• Garling, DJH (2007). Desigualdades: un viaje al análisis lineal . Cambridge. pág. 233. ISBN 978-0-521-69973-0.
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Análisis funcional . Dover. pag. 176.ISBN​ 0-486-66289-6.
• Weisstein, Eric W. "La desigualdad de Hadamard". MathWorld .

Lectura adicional

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Desigualdades . Springer. pág. 64.