Estabilidad BIBO

Cuando las salidas de un sistema están limitadas para cada entrada limitada

En el procesamiento de señales , específicamente en la teoría de control , la estabilidad de entrada limitada y salida limitada ( BIBO ) es una forma de estabilidad para señales y sistemas que reciben entradas. Si un sistema es estable BIBO, entonces la salida estará limitada para cada entrada al sistema que esté limitada.

Una señal está acotada si existe un valor finito tal que la magnitud de la señal nunca excede , es decir ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle B}$

Para señales de tiempo discreto : ${\displaystyle \exists B\forall n(\ |y[n]|\leq B)\quad n\in \mathbb {Z} }$

Para señales de tiempo continuo : ${\displaystyle \exists B\forall t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\in \mathbb {R} }$

Condición del dominio del tiempo para sistemas lineales invariantes en el tiempo

Condición necesaria y suficiente de tiempo continuo

Para un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de tiempo continuo , la condición para la estabilidad de BIBO es que la respuesta al impulso , , sea absolutamente integrable , es decir, exista su norma L 1 . ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Condición suficiente de tiempo discreto

Para un sistema LTI de tiempo discreto , la condición para la estabilidad BIBO es que la respuesta al impulso sea absolutamente sumable , es decir, que exista su norma . ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Prueba de suficiencia

Dado un sistema LTI de tiempo discreto con respuesta al impulso, la relación entre la entrada y la salida es ${\displaystyle \ h[n]}$ ${\displaystyle \ x[n]}$ ${\displaystyle \ y[n]}$

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$

donde denota convolución . Luego se sigue por la definición de convolución ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]}$

Sea el valor máximo de , es decir, la -norma . ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ |x[n]|}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|}$

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}$(por la desigualdad triangular )

${\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}}$

Si es absolutamente sumable, entonces y ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$

Así que si es absolutamente sumable y está acotado, entonces también está acotado porque . ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \left|x[n]\right|}$ ${\displaystyle \left|y[n]\right|}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

La prueba del tiempo continuo sigue los mismos argumentos.

Condición del dominio de la frecuencia para sistemas lineales invariantes en el tiempo

Señales de tiempo continuo

Para un sistema racional y de tiempo continuo , la condición para la estabilidad es que la región de convergencia (ROC) de la transformada de Laplace incluya el eje imaginario . Cuando el sistema es causal , la ROC es la región abierta a la derecha de una línea vertical cuya abscisa es la parte real del "polo más grande", o el polo que tiene la parte real más grande de cualquier polo en el sistema. La parte real del polo más grande que define la ROC se llama abscisa de convergencia . Por lo tanto, todos los polos del sistema deben estar en la mitad izquierda estricta del plano s para la estabilidad BIBO.

Esta condición de estabilidad se puede derivar de la condición del dominio del tiempo anterior de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}}$

donde y ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}$

La región de convergencia debe por tanto incluir el eje imaginario .

Señales de tiempo discreto

Para un sistema de tiempo racional y discreto , la condición para la estabilidad es que la región de convergencia (ROC) de la transformada z incluya el círculo unitario . Cuando el sistema es causal , la ROC es la región abierta fuera de un círculo cuyo radio es la magnitud del polo con mayor magnitud. Por lo tanto, todos los polos del sistema deben estar dentro del círculo unitario en el plano z para la estabilidad BIBO.

Esta condición de estabilidad se puede derivar de manera similar a la derivación de tiempo continuo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}}$

donde y . ${\displaystyle z=re^{j\omega }}$ ${\displaystyle r=|z|=1}$

Por tanto, la región de convergencia debe incluir el círculo unitario .

Véase también

• Teoría de sistemas LTI
• Filtro de respuesta de impulso finito (FIR)
• Filtro de respuesta de impulso infinito (IIR)
• El complot de Nyquist
• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Diagrama de Bode
• Margen de fase
• Método del lugar de las raíces
• Estabilidad de entrada a estado

Lectura adicional

• Gordon E. Carlson Análisis de sistemas lineales y de señales con Matlab , segunda edición, Wiley, 1998, ISBN  0-471-12465-6
• John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis Principios de procesamiento de señales digitales, algoritmos y aplicaciones , tercera edición, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4 
• D. Ronald Fannin, William H. Tranter y Rodger E. Ziemer Señales y sistemas continuos y discretos cuarta edición, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X 
• Prueba de las condiciones necesarias para la estabilidad de BIBO.
• Christophe Basso Diseño de bucles de control para fuentes de alimentación lineales y conmutadas: guía tutorial , primera edición, Artech House, 2012, 978-1608075577
• Michael Unser (2020). "Una nota sobre la estabilidad de BIBO". IEEE Transactions on Signal Processing . 68 : 5904–5913. arXiv : 2005.14428 . Código Bibliográfico :2020ITSP...68.5904U. doi :10.1109/TSP.2020.3025029.

Referencias