Estabilidad de entrada a estado

La estabilidad de entrada a estado (ISS) ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} es un concepto de estabilidad ampliamente utilizado para estudiar la estabilidad de sistemas de control no lineales con entradas externas. En términos generales, un sistema de control es ISS si es globalmente asintóticamente estable en ausencia de entradas externas y si sus trayectorias están limitadas por una función del tamaño de la entrada para todos los tiempos suficientemente grandes. La importancia de la ISS se debe al hecho de que el concepto ha cerrado la brecha entre los métodos de entrada-salida y de espacio de estados , ampliamente utilizados dentro de la comunidad de sistemas de control.

La ISS unificó las teorías de estabilidad de entrada-salida y de Lyapunov y revolucionó nuestra visión sobre la estabilización de sistemas no lineales, el diseño de observadores no lineales robustos , la estabilidad de sistemas de control interconectados no lineales, la teoría de detectabilidad no lineal y el control adaptativo supervisor. Esto convirtió a la ISS en el paradigma de estabilidad dominante en la teoría de control no lineal, con aplicaciones tan diversas como la robótica, la mecatrónica, la biología de sistemas, la ingeniería eléctrica y aeroespacial, por nombrar algunas.

El concepto de ISS fue introducido para sistemas descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias por Eduardo Sontag en 1989. ^[7]

Desde entonces, el concepto se ha utilizado con éxito para muchas otras clases de sistemas de control, incluidos sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales parciales, sistemas retardados, sistemas híbridos, etc. ^[5]

Definición

Consideremos un sistema invariante en el tiempo de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

donde es una entrada externa esencialmente acotada y medible según Lebesgue y es una función continua de Lipschitz con respecto al primer argumento y uniformemente con respecto al segundo. Esto garantiza que existe una única solución absolutamente continua del sistema ( 1 ). ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

Para definir ISS y propiedades relacionadas, utilizamos las siguientes clases de funciones de comparación . Denotamos por el conjunto de funciones continuas crecientes con y el conjunto de funciones continuas estrictamente decrecientes con . Luego podemos denotar como funciones donde para todos y para todos . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \gamma (0)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\gamma (r)=0}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0}$

El sistema ( 1 ) se denomina globalmente asintóticamente estable en cero (0-GAS) si el sistema correspondiente con entrada cero

es globalmente asintóticamente estable , es decir, existe tal que para todos los valores iniciales y todos los tiempos la siguiente estimación es válida para soluciones de ( SinEntradas ) ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

El sistema ( 1 ) se denomina estable de entrada a estado (ISS) si existen funciones y de modo que para todos los valores iniciales , todas las entradas admisibles y todos los tiempos se cumple la siguiente desigualdad ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

La función en la desigualdad anterior se llama ganancia . ${\displaystyle \gamma }$

Es evidente que un sistema ISS es estable en términos de 0-GAS y BIBO (si igualamos la salida al estado del sistema). La implicación inversa en general no es cierta.

También se puede demostrar que si , entonces . ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|u(t)|=0}$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|x(t)|=0}$

Caracterizaciones de la propiedad de estabilidad de entrada a estado

Para comprender la ISS, sus reformulaciones en términos de otras propiedades de estabilidad son de gran importancia.

El sistema ( 1 ) se llama globalmente estable (GS) si existen tales que , y se cumple que ${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$ ${\displaystyle \forall t\geq 0}$

El sistema ( 1 ) satisface la propiedad de ganancia asintótica (AG) si existe : , se cumple que ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para un lado derecho suficientemente regular ^[8] ${\displaystyle f}$

1. ( 1 ) es ISS

2. ( 1 ) es GS y tiene la propiedad AG

3. ( 1 ) es 0-GAS y tiene la propiedad AG

La prueba de este resultado, así como muchas otras caracterizaciones de la ISS, se pueden encontrar en los artículos ^[8] y ^[9] . Otras caracterizaciones de la ISS que son válidas bajo restricciones muy leves sobre la regularidad del lado derecho y que son aplicables a sistemas de dimensión infinita más generales, se han mostrado en ^{[10] .} ${\displaystyle f}$

Funciones de la Estación Espacial Internacional-Lyapunov

Una herramienta importante para la verificación de la ISS son las funciones ISS-Lyapunov.

Una función suave se denomina función ISS-Lyapunov para ( 1 ), si , y una función definida positiva , tal que: ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

y se cumple: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$

La función se llama ganancia de Lyapunov . ${\displaystyle \chi }$

Si un sistema ( 1 ) no tiene entradas (es decir, ), entonces la última implicación se reduce a la condición ${\displaystyle u\equiv 0}$

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$

lo que nos dice que es una función de Lyapunov "clásica" . ${\displaystyle V}$

Un resultado importante debido a E. Sontag e Y. Wang es que un sistema ( 1 ) es ISS si y sólo si existe una función ISS-Lyapunov suave para él. ^[9]

Ejemplos

Considere un sistema

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$

Defina una función ISS-Lyapunov candidata mediante ${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$

Elija una ganancia de Lyapunov por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$.

Entonces obtenemos que se cumple ${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$

Esto demuestra que es una función ISS-Lyapunov para un sistema considerado con la ganancia de Lyapunov . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \chi }$

Interconexiones de los sistemas de la ISS

Una de las principales características del marco ISS es la posibilidad de estudiar las propiedades de estabilidad de las interconexiones de sistemas estables de entrada a estado.

Consideremos el sistema dado por

Aquí , y son Lipschitz continuos en uniformemente con respecto a las entradas del subsistema -ésimo. ${\displaystyle u\in L_{\infty }(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle x_{i}(t)\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Para el subsistema -ésimo de ( WholeSys ), la definición de una función ISS-Lyapunov se puede escribir de la siguiente manera. ${\displaystyle i}$

Una función suave es una función ISS-Lyapunov (ISS-LF) para el -ésimo subsistema de ( WholeSys ), si existen funciones , , , , y una función definida positiva , tales que: ${\displaystyle V_{i}:\mathbb {R} ^{p_{i}}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \psi _{i1},\psi _{i2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi _{ij},\chi _{i}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle \chi _{ii}:=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \psi _{i1}(|x_{i}|)\leq V_{i}(x_{i})\leq \psi _{i2}(|x_{i}|),\quad \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$

y se mantiene ${\displaystyle \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle V_{i}(x_{i})\geq \max\{\max _{j=1}^{n}\chi _{ij}(V_{j}(x_{j})),\chi _{i}(|u|)\}\ \Rightarrow \ \nabla V_{i}(x_{i})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\leq -\alpha _{i}(V_{i}(x_{i})).}$

Interconexiones en cascada

Las interconexiones en cascada son un tipo especial de interconexión, donde la dinámica del subsistema -ésimo no depende de los estados de los subsistemas . Formalmente, la interconexión en cascada se puede escribir como ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1,\ldots ,i-1}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{i},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.}$

Si todos los subsistemas del sistema anterior son ISS, entonces toda la interconexión en cascada también es ISS. ^{[7] [4]}

A diferencia de las cascadas de sistemas ISS, la interconexión en cascada de sistemas 0-GAS en general no es 0-GAS. El siguiente ejemplo ilustra este hecho. Consideremos un sistema dado por

Ambos subsistemas de este sistema son 0-GAS, pero para estados iniciales suficientemente grandes y durante un cierto tiempo finito se cumple para , es decir, el sistema ( Ex_GAS ) exhibe un tiempo de escape finito y, por lo tanto, no es 0-GAS. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle x(t)\to \infty }$ ${\displaystyle t\to t^{*}}$

Interconexiones de retroalimentación

La estructura de interconexión de los subsistemas se caracteriza por las ganancias internas de Lyapunov . La cuestión de si la interconexión ( WholeSys ) es ISS depende de las propiedades del operador de ganancia definido por ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{n}}$

${\displaystyle \Gamma (s):=\left(\max _{j=1}^{n}\chi _{1j}(s_{j}),\ldots ,\max _{j=1}^{n}\chi _{nj}(s_{j})\right),\ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}.}$

El siguiente teorema de pequeña ganancia establece una condición suficiente para la ISS de la interconexión de sistemas ISS. Sea una función ISS-Lyapunov para el -ésimo subsistema de ( WholeSys ) con ganancias correspondientes , . Si la condición de pequeña ganancia no lineal ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

se cumple, entonces toda la interconexión es ISS. ^{[11] [12]}

La condición de pequeña ganancia ( SGC ) se cumple si y solo si para cada ciclo en (es decir, para todos , donde ) y para todos se cumple ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (k_{1},...,k_{p})\in \{1,...,n\}^{p}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{p}}$ ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle \gamma _{k_{1}k_{2}}\circ \gamma _{k_{2}k_{3}}\circ \ldots \circ \gamma _{k_{p-1}k_{p}}(s)<s.}$

La condición de pequeña ganancia en esta forma también se llama condición de pequeña ganancia cíclica.

Conceptos relacionados con la estabilidad

Estación Espacial Internacional Integral (ISS)

El sistema ( 1 ) se denomina estable de entrada a estado integral (ISS) si existen funciones y de manera que para todos los valores iniciales , todas las entradas admisibles y todos los tiempos se cumple la siguiente desigualdad ${\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

A diferencia de los sistemas ISS, si un sistema es ISS integral, sus trayectorias pueden ser ilimitadas incluso para entradas acotadas. Para ver esto, supongamos para todos y tomemos . Entonces, la estimación ( 3 ) toma la forma ${\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle u\equiv c=const}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}$

y el lado derecho crece hasta el infinito como . ${\displaystyle t\to \infty }$

Al igual que en el marco de la ISS, los métodos de Lyapunov juegan un papel central en la teoría de la ISS.

Una función suave se denomina función iISS-Lyapunov para ( 1 ), si , y una función definida positiva , tal que: ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

y se cumple: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|)+\gamma (|u|).}$

Un resultado importante debido a D. Angeli, E. Sontag e Y. Wang es que el sistema ( 1 ) es ISS integral si y sólo si existe una función iISS-Lyapunov para él.

Nótese que en la fórmula anterior se supone que solo es positiva definida . Se puede demostrar fácilmente, ^[13] que si es una función iISS-Lyapunov con , entonces es en realidad una función ISS-Lyapunov para un sistema ( 1 ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle V}$

Esto demuestra, en particular, que todo sistema ISS es ISS integral. La implicación inversa no es cierta, como lo demuestra el siguiente ejemplo. Consideremos el sistema

${\displaystyle {\dot {x}}=-\arctan {x}+u.}$

Este sistema no es ISS, ya que para entradas suficientemente grandes las trayectorias no están acotadas. Sin embargo, es ISS integral con una función iISS-Lyapunov definida por ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(x)=x\arctan {x}.}$

Estación Espacial Internacional Local (LISS)

Las versiones locales de la propiedad ISS también desempeñan un papel importante. Un sistema ( 1 ) se denomina ISS local (LISS) si existen una constante y funciones ${\displaystyle \rho >0}$

${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$y de modo que para todos , todas las entradas admisibles y todos los tiempos se cumple que ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }$ ${\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Una observación interesante es que 0-GAS implica LISS. ^[14]

Otras nociones de estabilidad

Se han introducido muchas otras nociones relacionadas con la estabilidad de la ISS: ISS incremental, estabilidad dinámica de entrada a estado (ISDS), ^[15] estabilidad práctica de entrada a estado (ISpS), estabilidad de entrada a salida (IOS) ^[16], etc.

ISS de sistemas de retardo temporal

Consideremos el sistema de retardo temporal invariante en el tiempo

Aquí se muestra el estado del sistema ( TDS ) en el momento y se satisfacen ciertos supuestos para garantizar la existencia y unicidad de las soluciones del sistema ( TDS ) . ${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$ ${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$

El sistema ( TDS ) es ISS si y sólo si existen funciones y tales que para cada , cada entrada admisible y para todos , se cumple que ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$ ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$

En la teoría de la ISS para sistemas con retardo temporal se han propuesto dos condiciones suficientes de tipo Lyapunov diferentes: a través de las funciones Lyapunov-Razumikhin de la ISS ^[17] y mediante las funcionales Lyapunov-Krasovskii de la ISS. ^[18] Para teoremas de Lyapunov inversos para sistemas con retardo temporal, consulte. ^[19]

ISS de otras clases de sistemas

La estabilidad de entrada a estado de los sistemas basados ​​en ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en el tiempo es una teoría bastante desarrollada, véase una monografía reciente. ^[6] Sin embargo, la teoría ISS de otras clases de sistemas también se está investigando para sistemas EDO variables en el tiempo ^[20] y sistemas híbridos . ^{[21] [22]} En el último tiempo también se han propuesto ciertas generalizaciones de los conceptos ISS a sistemas de dimensión infinita. ^{[23] [24] [3] [25]}

Seminarios y recursos en línea sobre la ISS

1. Seminario en línea: Estabilidad de entrada a estado y sus aplicaciones

2. Canal de YouTube sobre la ISS

Referencias

1. Eduardo D. Sontag. Teoría del control matemático: sistemas de dimensión finita. Springer-Verlag, Londres, 1998
2. Hassan K. Khalil. Sistemas no lineales. Prentice Hall, 2002.
3. Iasson Karafyllis y Zhong-Ping Jiang. Estabilidad y estabilización de sistemas no lineales. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag London Ltd., Londres, 2011.
4. Eduardo D. Sontag. Entrada a la estabilidad del estado: conceptos básicos y resultados. En Nonlinear and optimal control theory, volumen 1932 de Lecture Notes in Math., páginas 163–220, Berlín, 2008. Springer
5. A. Mironchenko, Ch. Prieur. Estabilidad de entrada a estado de sistemas de dimensión infinita: resultados recientes y preguntas abiertas. SIAM Review, 62(3):529–614, 2020.
6. Estabilidad de entrada a estado. Ingeniería de comunicaciones y control. 2023. doi :10.1007/978-3-031-14674-9. ISBN 978-3-031-14673-2.
7. Eduardo D. Sontag. La estabilización suave implica factorización coprima. IEEE Trans. Autom. Control, 34(4):435–443, 1989.
8. Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Nuevas caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado. IEEE Trans. Autom. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
9. Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Sobre caracterizaciones de la propiedad de estabilidad de entrada a estado Archivado el 3 de julio de 2013 en Wayback Machine . Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.
10. Andrii Mironchenko y Fabian Wirth. Caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado para sistemas de dimensión infinita. IEEE Trans. Autom. Control, 63(6): 1602-1617, 2018.
11. Zhong-Ping Jiang, Iven MY Mareels y Yuan Wang . Una formulación de Lyapunov del teorema de pequeña ganancia no lineal para sistemas ISS interconectados. Automatica J. IFAC, 32(8):1211–1215, 1996.
12. Sergey Dashkovskiy, Björn S. Rüffer y Fabian R. Wirth. Una función de Lyapunov de la ISS para redes de sistemas de la ISS. En Actas del 17.º Simposio Internacional sobre Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS), Kioto, Japón, 24-28 de julio de 2006, páginas 77-82, 2006
13. Véase la Observación 2.4. en Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Sobre las caracterizaciones de la propiedad de estabilidad de entrada a estado. Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995
14. Lema I.1, p.1285 en Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Nuevas caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado. IEEE Trans. Autom. Control, 41(9):1283–1294, 1996
15. Lars Grüne. Estabilidad dinámica de entrada a estado y su caracterización mediante la función de Lyapunov. IEEE Trans. Autom. Control, 47(9):1499–1504, 2002.
16. Z.-P. Jiang, AR Teel y L. Praly. Teorema de pequeña ganancia para sistemas y aplicaciones de la ISS. Math. Control Signals Systems, 7(2):95–120, 1994.
17. Andrew R. Teel. Conexiones entre los teoremas de tipo Razumikhin y el teorema de pequeña ganancia no lineal de la ISS. IEEE Trans. Autom. Control, 43(7):960–964, 1998.
18. P. Pepe y Z.-P. Jiang. Una metodología de Lyapunov-Krasovskii para ISS e iISS de sistemas de retardo temporal. Systems Control Lett., 55(12):1006–1014, 2006.
19. Iasson Karafyllis. Teoremas de Lyapunov para sistemas descritos por ecuaciones diferenciales funcionales retardadas. Análisis no lineal: teoría, métodos y aplicaciones, 64(3):590 – 617, 2006.
20. Yuandan Lin, Yuan Wang y Daizhan Cheng. Sobre estabilidad de entrada a estado no uniforme y semiuniforme para sistemas que varían con el tiempo. En el Congreso Mundial de la IFAC, Praga, 2005.
21. Chaohong Cai y Andrew R. Teel. Caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado para sistemas híbridos. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009.
22. D. Nesic y AR Teel. Un teorema de pequeña ganancia basado en Lyapunov para sistemas híbridos de la Estación Espacial Internacional. En Actas de la 47.ª Conferencia IEEE sobre Decisiones y Control, Cancún, México, 9-11 de diciembre de 2008, páginas 3380–3385, 2008.
23. Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann y Eugene P. Ryan. Sistemas de retroalimentación de dimensión infinita: el criterio del círculo y la estabilidad de entrada a estado. Commun. Inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.
24. Dashkovskiy, Sergey; Mironchenko, Andrii (2013). "Estabilidad de entrada a estado de sistemas de control de dimensión infinita". Matemáticas de control, señales y sistemas . 25 : 1–35. doi :10.1007/s00498-012-0090-2.
25. F. Mazenc y C. Prieur. Funciones de Lyapunov estrictas para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas semilineales. Mathematical Control and Related Fields, 1:231–250, junio de 2011.