bobina de helmholtz

Dispositivo de dos bobinas circulares que crea un campo magnético homogéneo.

Una bobina de Helmholtz

Dibujo esquemático de la bobina de Helmholtz

Una bobina de Helmholtz es un dispositivo para producir una región de campo magnético casi uniforme , que lleva el nombre del físico alemán Hermann von Helmholtz . Consta de dos electroimanes colocados en el mismo eje, que transportan una corriente eléctrica igual en la misma dirección. Además de crear campos magnéticos, las bobinas de Helmholtz también se utilizan en aparatos científicos para cancelar campos magnéticos externos, como el campo magnético de la Tierra.

Cuando el par de dos electromagnéticos de una bobina de Helmholtz transporta una corriente eléctrica igual en dirección opuesta, se conoce como bobina anti-Helmholtz , que crea una región de gradiente de campo magnético casi uniforme , y se utiliza para crear trampas magnéticas para la física atómica. experimentos.

Un haz de rayos catódicos en un tubo de vacío doblado formando un círculo mediante una bobina de Helmholtz.

Descripción

Un par de Helmholtz consta de dos bobinas magnéticas circulares idénticas que se colocan simétricamente a lo largo de un eje común, una a cada lado del área experimental, y separadas por una distancia igual al radio de la bobina. Cada bobina transporta una corriente eléctrica igual en la misma dirección. ^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R}$

La configuración , que es lo que define un par de Helmholtz, minimiza la falta de uniformidad del campo en el centro de las bobinas, en el sentido de la configuración ^[2] (lo que significa que la primera derivada distinta de cero es como se explica a continuación), pero deja aproximadamente un 7% de variación. en la intensidad del campo entre el centro y los planos de las bobinas. Un valor ligeramente mayor de reduce la diferencia de campo entre el centro y los planos de las bobinas, a expensas de empeorar la uniformidad del campo en la región cercana al centro, medida por . ^[3] ${\displaystyle h=R}$ ${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{4}B/\partial x^{4}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}}$

Cuando un par de bobinas de Helmholtz transportan una corriente eléctrica igual en dirección opuesta, crean una región de gradiente de campo magnético casi uniforme. Esto se conoce como bobina anti-Helmholtz y se utiliza para crear trampas magnéticas para experimentos de física atómica.

En algunas aplicaciones, se utiliza una bobina de Helmholtz para cancelar el campo magnético de la Tierra , produciendo una región con una intensidad del campo magnético mucho más cercana a cero. ^[4]

Matemáticas

Líneas de campo magnético en un plano que biseca los bucles de corriente. Tenga en cuenta que el campo es aproximadamente uniforme entre el par de bobinas. (En esta imagen las bobinas están colocadas una al lado de la otra: el eje es horizontal).

Inducción de campo magnético a lo largo del eje que cruza el centro de las bobinas; z  = 0 es el punto en el medio de la distancia entre bobinas

Contornos que muestran la magnitud del campo magnético cerca de un par de bobinas, con una bobina arriba y la otra abajo. Dentro del "pulpo" central, el campo está dentro del 1% de su valor central B ₀ . Los ocho contornos son para magnitudes de campo de 0,5  B ₀ , 0,8  B ₀ , 0,9  B ₀ , 0,95  B ₀ , 0,99  B ₀ , 1,01  B ₀ , 1,05  B ₀ y 1,1  B ₀ .

El cálculo del campo magnético exacto en cualquier punto del espacio es matemáticamente complejo e implica el estudio de funciones de Bessel . Las cosas son más simples a lo largo del eje del par de bobinas, y es conveniente pensar en la expansión en serie de Taylor de la intensidad del campo como una función de , la distancia desde el punto central del par de bobinas a lo largo del eje. Por simetría, los términos de orden impar en la expansión son cero. Al disponer las bobinas de modo que el origen sea un punto de inflexión para la intensidad del campo debido a cada bobina por separado, se puede garantizar que el término de orden también sea cero y, por tanto, el término principal no constante sea de orden . El punto de inflexión de una bobina simple se encuentra a lo largo del eje de la bobina a una distancia de su centro. Por tanto, las ubicaciones de las dos bobinas son . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle R/2}$ ${\displaystyle x=\pm R/2}$

El cálculo que se detalla a continuación proporciona el valor exacto del campo magnético en el punto central. Si el radio es R , el número de vueltas en cada bobina es n y la corriente a través de las bobinas es I , entonces el campo magnético B en el punto medio entre las bobinas estará dado por

${\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}},}$

donde es la permeabilidad del espacio libre ( ) . ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}}$

Derivación

Comience con la fórmula para el campo en el eje debido a un bucle de un solo cable que a su vez se deriva de la ley de Biot-Savart : ^[5]

${\displaystyle B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}=\xi (x){\frac {\mu _{0}I}{2R}}.}$

Aquí

${\displaystyle \mu _{0}\;}$= la constante de permeabilidad = ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}$

${\displaystyle I\;}$= corriente de la bobina, en amperios ,

${\displaystyle R\;}$= radio de la bobina, en metros,

${\displaystyle x\;}$= distancia de la bobina, sobre el eje, al punto, en metros,

${\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2}]^{-3/2}\;}$es el coeficiente adimensional y dependiente de la distancia.

Las bobinas de Helmholtz constan de n vueltas de alambre, por lo que la corriente equivalente en una bobina de una vuelta es n veces la corriente I en la bobina de n vueltas. Sustituyendo nI por I en la fórmula anterior se obtiene el campo para una bobina de n vueltas:

${\displaystyle B_{1}(x)=\xi (x){\frac {\mu _{0}nI}{2R}}.}$

Para , el coeficiente de distancia se puede expandir en series de Taylor como: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2})]^{-3/2}\;}$

${\displaystyle \xi (x)=1-{\frac {3}{2}}(x/R)^{2}+{\mathcal {O}}((x/R)^{4}).}$

En un par de Helmholtz, las dos bobinas están ubicadas en , por lo que la intensidad del campo B en cualquiera sería: ${\displaystyle x=\pm R/2}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}+[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}$

Los puntos cerca del centro (a medio camino entre las dos bobinas) tienen y la serie de Taylor de es: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x-R/2)+\xi (x+R/2)}$

${\displaystyle (16{\sqrt {5}})/25-(x/R)^{4}(2304{\sqrt {5}})/3125+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})\approx 1.43-1.65(x/R)^{4}+{\mathcal {O}}((x/R)^{6})}$.

En un par anti-Helmholtz, la intensidad del campo B en cualquier caso sería: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}-[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}$

Los puntos cerca del centro (a medio camino entre las dos bobinas) tienen y la serie de Taylor es: ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle \xi (x-R/2)-\xi (x+R/2)}$

${\displaystyle (x/R)(96{\sqrt {5}})/125-(x/R)^{3}(512{\sqrt {5}})/625+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})\approx 1.72(x/R)-1.83(x/R)^{3}+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})}$.

Campo magnético variable en el tiempo

La mayoría de las bobinas de Helmholtz utilizan corriente continua (continua) para producir un campo magnético estático. Muchas aplicaciones y experimentos requieren un campo magnético variable en el tiempo. Estas aplicaciones incluyen pruebas de susceptibilidad a campos magnéticos, experimentos científicos y estudios biomédicos (la interacción entre el campo magnético y el tejido vivo). Los campos magnéticos requeridos suelen ser pulsantes o de onda sinusoidal continua. El rango de frecuencia del campo magnético puede ser desde cerca de CC (0 Hz) hasta muchos kilohercios o incluso megahercios (MHz). Se necesita un controlador de bobina de Helmholtz de CA para generar el campo magnético variable en el tiempo requerido. El controlador del amplificador de forma de onda debe poder generar una corriente alterna alta para producir el campo magnético.

Tensión y corriente del controlador.

${\displaystyle I=\left({\frac {5}{4}}\right)^{3/2}\left({\frac {BR}{\mu _{0}n}}\right)}$

Utilice la ecuación anterior en la sección de matemáticas para calcular la corriente de la bobina para un campo magnético deseado , B.

¿Dónde está la permeabilidad del espacio libre o ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}$

${\displaystyle I\;}$= corriente de la bobina, en amperios,

${\displaystyle R\;}$= radio de la bobina, en metros,

n = número de vueltas en cada bobina.

Uso de un generador de funciones y un controlador amplificador de forma de onda de alta corriente para generar un campo magnético Helmholtz de alta frecuencia

Luego calcule el voltaje requerido del amplificador del controlador de bobina de Helmholtz: ^[6]

${\displaystyle V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}}$

dónde

• I es la corriente máxima,
• ω es la frecuencia angular o ω = 2 πf ,
• L ₁ y L ₂ son las inductancias de las dos bobinas de Helmholtz, y
• R ₁ y R ₂ son las resistencias de las dos bobinas.

Serie de alta frecuencia resonante

Generar un campo magnético estático es relativamente fácil; la intensidad del campo es proporcional a la corriente. Generar un campo magnético de alta frecuencia es más desafiante. Las bobinas son inductores y su impedancia aumenta proporcionalmente con la frecuencia. Para proporcionar la misma intensidad de campo al doble de la frecuencia se requiere el doble de voltaje en la bobina. En lugar de accionar directamente la bobina con un alto voltaje, se puede usar un circuito resonante en serie para proporcionar el alto voltaje. ^[7] Se agrega un capacitor en serie en serie con las bobinas. La capacitancia se elige para hacer resonar la bobina a la frecuencia deseada. Sólo queda la resistencia parásita de las bobinas. Este método sólo funciona en frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia; Para generar el campo a otras frecuencias se requieren condensadores diferentes. La frecuencia resonante de la bobina de Helmholtz, , y el valor del capacitor, C, se indican a continuación. ^[6] ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\left(L_{1}+L_{2}\right)C}}}}}$

${\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi f_{0}\right)^{2}\left(L_{1}+L_{2}\right)}}}$

bobinas maxwell

Bobinas de Helmholtz (aros) en tres ejes perpendiculares utilizadas para cancelar el campo magnético de la Tierra dentro del tanque de vacío en un experimento con haz de electrones de 1957.

Para mejorar la uniformidad del campo en el espacio interior de las bobinas, se pueden agregar bobinas adicionales alrededor del exterior. James Clerk Maxwell demostró en 1873 que una tercera bobina de mayor diámetro ubicada a medio camino entre las dos bobinas de Helmholtz con la distancia de la bobina aumentada desde el radio de la bobina hasta puede reducir la variación del campo en el eje a cero hasta la sexta derivada de la posición. A esto a veces se le llama bobina Maxwell . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}R}$

Ver también

• Solenoide
• conjunto de halbach
• Una botella magnética tiene la misma estructura que las bobinas de Helmholtz, pero con los imanes más separados para que el campo se expanda en el medio, atrapando partículas cargadas con las líneas de campo divergentes. Si se invierte una bobina, se produce una trampa de cúspide , que también atrapa partículas cargadas. ^[8]
• Las bobinas de Helmholtz fueron diseñadas y construidas para el laboratorio de pruebas de compuestos electromagnéticos del Laboratorio de Investigación del Ejército en 1993, para probar materiales compuestos en campos magnéticos de baja frecuencia. ^[9]

Referencias

1. Ramsden, Eduardo (2006). Sensores de efecto Hall: teoría y aplicaciones (2ª ed.). Ámsterdam: Elsevier/Newnes. pag. 195.ISBN​ 978-0-75067934-3.
2. Bobina Helmholtz en unidades CGS Archivado el 24 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
3. Electromagnetismo
4. "Magnetómetro de campo terrestre: bobina de Helmholtz" por Richard Wotiz 2004 Archivado el 28 de junio de 2007 en archive.today
5. "Campo magnético de un bucle de corriente".
6. Yang, KC. "Las bobinas de Helmholtz de alta frecuencia generan campos magnéticos". EDN . Consultado el 27 de enero de 2016 .
7. "Bobina electromagnética resonante de alta frecuencia". www.accelinstruments.com . Consultado el 25 de febrero de 2016 .
8. "ロ グ イ ン - Grupo ASACUSA MUSASHI".
9. J, DeTroye, David; J, Chase, Ronald (noviembre de 1994). "El cálculo y medición de los campos de las bobinas de Helmholtz". Archivado desde el original el 2 de junio de 2018. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )CS1 maint: multiple names: authors list (link)

enlaces externos

• Campo en el eje de una bobina de Helmholtz ideal
• Campo axial de un par de bobinas de Helmholtz reales
• Helmholtz-Coil Fields de Franz Kraft, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Kevin Kuns (2007) Cálculo del campo magnético dentro de la cámara de plasma, utiliza integrales elípticas y sus derivadas para calcular campos fuera del eje, de PBworks .
• DeTroye, David J.; Chase, Ronald J. (noviembre de 1994), The Calculation and Measurement of Helmholtz Coil Fields (PDF) , Army Research Laboratory, ARL-TN-35, archivado (PDF) desde el original el 18 de abril de 2013.
• Campos magnéticos de bobinas Archivado el 30 de abril de 2015 en la Wayback Machine.
• http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzCoils/