En teoría de grupos , el teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico . [1] Más específicamente, G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico cuyos elementos son las permutaciones del conjunto subyacente de G. Explícitamente,
También se puede entender que el homomorfismo surge de la acción de traducción hacia la izquierda de G en el conjunto subyacente G. [2]
Cuando G es finito, también lo es. La prueba del teorema de Cayley en este caso muestra que si G es un grupo finito de orden n , entonces G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico estándar . Pero , para algunos , G también podría ser isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico más pequeño ; por ejemplo, el grupo de orden 6 no solo es isomorfo a un subgrupo de , sino también (trivialmente) isomorfo a un subgrupo de . [3] El problema de encontrar el grupo simétrico de orden mínimo en el que se integra un grupo dado G es bastante difícil. [4] [5]
Alperin y Bell señalan que "en general, el hecho de que los grupos finitos estén incrustados en grupos simétricos no ha influido en los métodos utilizados para estudiar los grupos finitos". [6]
Cuando G es infinito, es infinito, pero el teorema de Cayley aún se aplica.
Si bien parece bastante elemental, en ese momento no existían las definiciones modernas, y cuando Cayley introdujo lo que ahora se llaman grupos , no quedó inmediatamente claro que esto fuera equivalente a los grupos previamente conocidos, que ahora se llaman grupos de permutación . El teorema de Cayley unifica los dos.
Aunque Burnside [7] atribuye el teorema a Jordan , [8] Eric Nummela [9] sostiene que el nombre estándar, "Teorema de Cayley", es de hecho apropiado. Cayley, en su artículo original de 1854, [10] demostró que la correspondencia en el teorema es uno a uno, pero no logró demostrar explícitamente que era un homomorfismo (y por tanto una incrustación). Sin embargo, Nummela señala que Cayley dio a conocer este resultado a la comunidad matemática en ese momento, adelantándose así a Jordan unos 16 años.
El teorema fue publicado posteriormente por Walther Dyck en 1882 [11] y se atribuye a Dyck en la primera edición del libro de Burnside. [12]
Una permutación de un conjunto A es una función biyectiva de A a A. El conjunto de todas las permutaciones de A forma un grupo bajo composición de funciones , llamado grupo simétrico en A , y escrito como . [13] En particular, tomar A como el conjunto subyacente de un grupo G produce un grupo simétrico denotado .
Si g es cualquier elemento de un grupo G con operación ∗, considere la función f g : G → G , definida por f g ( x ) = g ∗ x . Por la existencia de inversas, esta función también tiene una inversa, . Entonces la multiplicación por g actúa como una función biyectiva . Por lo tanto, f g es una permutación de G y también lo es un miembro de Sym( G ).
El conjunto K = { f g : g ∈ G } es un subgrupo de Sym( G ) que es isomorfo a G . La forma más rápida de establecer esto es considerar la función T : G → Sym( G ) con T ( g ) = f g para cada g en G . T es un homomorfismo de grupo porque (usando · para denotar composición en Sym( G )):
para todo x en G , y por tanto:
El homomorfismo T es inyectivo ya que T ( g ) = id G (el elemento identidad de Sym( G )) implica que g ∗ x = x para todo x en G , y tomando x como el elemento identidad e de G se obtiene g = g ∗ e = e , es decir, el núcleo es trivial. Alternativamente, T también es inyectiva ya que g ∗ x = g ′ ∗ x implica que g = g ′ (porque todo grupo es cancelativo ).
Por tanto, G es isomorfo a la imagen de T , que es el subgrupo K.
A T a veces se le llama la representación regular de G.
Un entorno alternativo utiliza el lenguaje de las acciones grupales . Consideramos que el grupo actúa sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda, es decir , que tiene una representación de permutación, digamos .
La representación es fiel si es inyectiva, es decir, si el núcleo de es trivial. Suponer . Entonces, . Por tanto, es trivial. El resultado se deduce mediante el uso del primer teorema de isomorfismo , del cual obtenemos .
El elemento de identidad del grupo corresponde a la permutación de identidad. Todos los demás elementos del grupo corresponden a trastornos : permutaciones que no dejan ningún elemento sin cambios. Dado que esto también se aplica a potencias de un elemento de grupo, inferiores al orden de ese elemento, cada elemento corresponde a una permutación que consta de ciclos todos de la misma longitud: esta longitud es el orden de ese elemento. Los elementos de cada ciclo forman una clase lateral derecha del subgrupo generado por el elemento.
con suma módulo 2; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (12) (ver notación de ciclo ). Por ejemplo, 0 +1 = 1 y 1+1 = 0, tal y como lo harían bajo una permutación.
con suma módulo 3; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (123) y el elemento de grupo 2 a la permutación (132). Por ejemplo, 1 + 1 = 2 corresponde a (123)(123) = (132).
con suma módulo 4; los elementos corresponden a e, (1234), (13)(24), (1432).
Los elementos del grupo de cuatro Klein {e, a, b, c} corresponden a e, (12)(34), (13)(24) y (14)(23).
S 3 ( grupo diédrico de orden 6 ) es el grupo de todas las permutaciones de 3 objetos, pero también un grupo de permutaciones de los 6 elementos del grupo, y este último es como se realiza mediante su representación regular.
Teorema: Sea G un grupo y H un subgrupo. Sea el conjunto de clases laterales izquierdas de H en G. Sea N el núcleo normal de H en G , definido como la intersección de los conjugados de H en G. Entonces el grupo cociente es isomorfo a un subgrupo de .
El caso especial es el teorema original de Cayley.
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