En matemáticas , en el área de análisis estadístico , el bispectro es una estadística utilizada para buscar interacciones no lineales.
La transformada de Fourier del cumulante de segundo orden , es decir, la función de autocorrelación , es el espectro de potencia tradicional .
La transformada de Fourier de C 3 ( t 1 , t 2 ) (función generadora de cumulante de tercer orden ) se denomina biespectro o densidad biespectral .
La aplicación del teorema de convolución permite un cálculo rápido del biespectro: , donde denota la transformada de Fourier de la señal y su conjugado.
El biespectro y la bicoherencia pueden aplicarse al caso de interacciones no lineales de un espectro continuo de ondas que se propagan en una dimensión. [1]
Se han realizado mediciones biespectrales para el monitoreo de señales EEG . [2] También se demostró que los biespectros caracterizan las diferencias entre familias de instrumentos musicales. [3]
En sismología , las señales rara vez tienen una duración adecuada para realizar estimaciones biespectrales sensatas a partir de promedios de tiempo. [ cita requerida ]
El análisis biespectral describe las observaciones realizadas en dos longitudes de onda. Los científicos suelen utilizarlo para analizar la composición elemental de una atmósfera planetaria analizando la cantidad de luz reflejada y recibida a través de varios filtros de color . Al combinar y eliminar dos filtros, se puede obtener mucha información con solo dos filtros. A través de la interpolación computarizada moderna , se puede crear un tercer filtro virtual para recrear fotografías en color real que, si bien no son particularmente útiles para el análisis científico, son populares para su exhibición pública en libros de texto y campañas de recaudación de fondos. [ cita requerida ]
El análisis biespectral también se puede utilizar para analizar las interacciones entre los patrones de olas y las mareas en la Tierra. [4]
Se aplica una forma de análisis biespectral llamada índice biespectral a las formas de onda del EEG para monitorear la profundidad de la anestesia. [5]
La bifase (fase del poliespectro) se puede utilizar para la detección de acoplamientos de fase, [6] reducción de ruido en el análisis de señales polarmónicas (particularmente, de voz [7] ).
El bispectro refleja el presupuesto energético de las interacciones, ya que puede interpretarse como una covarianza definida entre las partes suministradoras y receptoras de energía de las ondas involucradas en una interacción no lineal. [8] Por otro lado, se ha demostrado que la bicoherencia es el coeficiente de correlación correspondiente. [8] Así como la correlación no puede demostrar suficientemente la presencia de causalidad, el espectro y la bicoherencia tampoco pueden fundamentar suficientemente la existencia de una interacción no lineal.
Los bispectros pertenecen a la categoría de espectros de orden superior o poliespectros y proporcionan información complementaria al espectro de potencia. El poliespectro de tercer orden (biespectro) es el más fácil de calcular y, por lo tanto, el más popular.
Una estadística definida de forma análoga es la coherencia biespectral o bicoherencia .
La transformada de Fourier de C4 (t1, t2, t3) (función generadora de cumulante de cuarto orden) se denomina triespecho o densidad triespectral .
El triespectro T(f1,f2,f3) pertenece a la categoría de espectros de orden superior, o poliespectros, y proporciona información complementaria al espectro de potencia. El triespectro es una construcción tridimensional. Las simetrías del triespectro permiten definir un conjunto de soporte muy reducido, contenido dentro de los siguientes vértices, donde 1 es la frecuencia de Nyquist . (0,0,0) (1/2,1/2,-1/2) (1/3,1/3,0) (1/2,0,0) (1/4,1/4,1/4). El plano que contiene los puntos (1/6,1/6,1/6) (1/4,1/4,0) (1/2,0,0) divide este volumen en una región interna y otra externa. Una señal estacionaria tendrá una intensidad cero (estadísticamente) en la región externa. El soporte del triespectro se divide en regiones por el plano identificado anteriormente y por el plano (f1,f2). Cada región tiene diferentes requisitos en términos del ancho de banda de señal requerido para valores distintos de cero.
De la misma manera que el bispectro identifica contribuciones a la asimetría de una señal en función de los triples de frecuencia, el trispectro identifica contribuciones a la curtosis de una señal en función de los cuaternarios de frecuencia.
El trispectro se ha utilizado para investigar los dominios de aplicabilidad de la estimación de la fase de curtosis máxima utilizada en la deconvolución de datos sísmicos para encontrar la estructura de capas.
