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Bicoherencia

En matemáticas y análisis estadístico , la bicoherencia (también conocida como coherencia biespectral ) es una versión normalizada al cuadrado del biespectro . La bicoherencia toma valores acotados entre 0 y 1, lo que la convierte en una medida conveniente para cuantificar el grado de acoplamiento de fase en una señal. El prefijo bi- en biespectro y bicoherencia no se refiere a dos series de tiempo xt, yt sino a dos frecuencias de una sola señal.

El biespectro es una estadística que se utiliza para buscar interacciones no lineales. La transformada de Fourier del cumulante de segundo orden , es decir, la función de autocorrelación , es el espectro de potencia tradicional . La transformada de Fourier de C 3 (t 1 ,t 2 ) ( acumulante de tercer orden ) se llama biespectro o densidad biespectral . Caen en la categoría de espectros de orden superior o poliespectros y proporcionan información complementaria al espectro de potencia. El poliespectro de tercer orden (biespectro) es el más fácil de calcular y, por tanto, el más popular.

La diferencia con la medición de la coherencia (el análisis de coherencia es un método ampliamente utilizado para estudiar las correlaciones en el dominio de la frecuencia, entre dos señales medidas simultáneamente) es la necesidad de realizar mediciones tanto de entrada como de salida estimando dos autoespectros y un espectro cruzado. Por otro lado, la bicoherencia es una autocantidad, es decir, puede calcularse a partir de una única señal. La función de coherencia proporciona una cuantificación de las desviaciones de la linealidad en el sistema que se encuentra entre los sensores de medición de entrada y salida. La bicoherencia mide la proporción de la energía de la señal en cualquier bifrecuencia que esté acoplada cuadráticamente en fase. Generalmente se normaliza en un rango similar al coeficiente de correlación y la coherencia clásica (segundo orden). También se utilizó para evaluar la profundidad de la anestesia y ampliamente en física del plasma (transferencia de energía no lineal) y también para la detección de ondas gravitacionales .

El biespectro y la bicoherencia se pueden aplicar al caso de interacciones no lineales de un espectro continuo de ondas que se propagan en una dimensión. [1]

Se han realizado mediciones de bicoherencia para la monitorización de señales EEG durante el sueño , la vigilia y las convulsiones . [ cita necesaria ]

Definición

El biespectro se define como el triple producto.

donde es el biespectro evaluado en frecuencias y , es la transformada de Fourier de la señal y denota el conjugado complejo. La transformada de Fourier es una cantidad compleja, al igual que el biespectro. De la multiplicación compleja, la magnitud del biespectro es igual al producto de las magnitudes de cada una de las componentes de frecuencia, y la fase del biespectro es la suma de las fases de cada una de las componentes de frecuencia.

Supongamos que los tres componentes de Fourier , y estuvieran perfectamente sincronizados en fase. Entonces, si la transformada de Fourier se calculó varias veces a partir de diferentes partes de la serie temporal, el biespectro siempre tendrá el mismo valor. Si sumamos todos los biespectros, se sumarán sin cancelarse. Por otro lado, supongamos que las fases de cada una de estas frecuencias fueran aleatorias. Entonces, el biespectro tendrá la misma magnitud (suponiendo que la magnitud de los componentes de frecuencia sea la misma) pero la fase estará orientada aleatoriamente. La suma de todos los biespectros dará como resultado la cancelación, debido a la orientación de fase aleatoria, por lo que la suma de los biespectros tendrá una magnitud pequeña. La detección del acoplamiento de fases requiere la suma de varias muestras independientes; esta es la primera motivación para definir la bicoherencia. En segundo lugar, el biespectro no está normalizado, porque todavía depende de las magnitudes de cada una de las componentes de frecuencia. La bicoherencia incluye un factor de normalización que elimina la dependencia de la magnitud.

Existe cierta inconsistencia con la definición de la constante de normalización de bicoherencia. Algunas de las definiciones que se han utilizado son

que fue proporcionada en Sigl y Chamoun 1994, pero no parece estar correctamente normalizada. Alternativamente, la física del plasma normalmente utiliza

donde los corchetes angulares indican el promedio. Tenga en cuenta que esto es lo mismo que usar una suma, porque el numerador y el denominador son iguales. Esta definición proviene directamente de Nagashima 2006 y también se hace referencia a ella en He 2009 y Maccarone 2005.

Finalmente, una de las definiciones más intuitivas proviene de Hagihira 2001 y Hayashi 2007, que es

El numerador contiene la magnitud del biespectro sumada en todos los segmentos de la serie temporal. Esta cantidad es grande si hay acoplamiento de fases y se acerca a 0 en el límite de fases aleatorias. El denominador, que normaliza el biespectro, se obtiene calculando el biespectro después de establecer todas las fases en 0. Esto corresponde al caso en el que hay un acoplamiento de fases perfecto, porque todas las muestras tienen fase cero. Por tanto, la bicoherencia tiene un valor entre 0 (fases aleatorias) y 1 (acoplamiento de fases total).

Una interpretación física

Entre las tres normalizaciones anteriores, la segunda puede interpretarse como un coeficiente de correlación definido entre las partes proveedoras y receptoras de energía en una interacción no lineal de segundo orden, mientras que se ha demostrado que el biespectro es la covarianza correspondiente. [2] Por lo tanto, así como la correlación no puede demostrar suficientemente la presencia de causalidad, un pico de bicoherencia significativo tampoco puede fundamentar suficientemente la existencia de una interacción no lineal.

Ver también

Referencias

  1. ^ http://www.iop.org/EJ/abstract/0741-3335/30/5/005 [ enlace muerto ]
  2. ^ Él, Maosheng; Forbes, Jeffrey M. (7 de diciembre de 2022). "Se observa la segunda generación armónica de la onda de Rossby en la atmósfera media". Comunicaciones de la naturaleza . 13 (1): 7544. doi : 10.1038/s41467-022-35142-3. ISSN  2041-1723. PMC  9729661 . PMID  36476614.