Bicoherencia

Medida del acoplamiento de fase en una señal

En matemáticas y análisis estadístico , la bicoherencia (también conocida como coherencia biespectral ) es una versión normalizada al cuadrado del bispectro . La bicoherencia toma valores acotados entre 0 y 1, lo que la convierte en una medida conveniente para cuantificar el grado de acoplamiento de fase en una señal. El prefijo bi- en bispectro y bicoherencia no se refiere a dos series temporales x _t , y _t sino a dos frecuencias de una sola señal.

El bispectro es una estadística que se utiliza para buscar interacciones no lineales. La transformada de Fourier del cumulante de segundo orden , es decir, la función de autocorrelación , es el espectro de potencia tradicional . La transformada de Fourier de C ₃ (t ₁ ,t _{2 ) (} cumulante de tercer orden ) se denomina bispectro o densidad biespectral . Pertenecen a la categoría de espectros de orden superior o poliespectros y proporcionan información complementaria al espectro de potencia. El poliespectro de tercer orden (biespectro) es el más fácil de calcular y, por lo tanto, el más popular.

La diferencia con la medición de la coherencia (el análisis de coherencia es un método ampliamente utilizado para estudiar las correlaciones en el dominio de la frecuencia, entre dos señales medidas simultáneamente) es la necesidad de mediciones tanto de entrada como de salida mediante la estimación de dos autoespectros y un espectro cruzado. Por otro lado, la bicoherencia es una autocantidad, es decir, se puede calcular a partir de una sola señal. La función de coherencia proporciona una cuantificación de las desviaciones de la linealidad en el sistema que se encuentra entre los sensores de medición de entrada y salida. La bicoherencia mide la proporción de la energía de la señal en cualquier bifrecuencia que está acoplada en fase cuadrática. Por lo general, se normaliza en el rango similar al coeficiente de correlación y la coherencia clásica (de segundo orden). También se utilizó para la evaluación de la profundidad de la anestesia y ampliamente en la física del plasma (transferencia de energía no lineal) y también para la detección de ondas gravitacionales .

El biespectro y la bicoherencia pueden aplicarse al caso de interacciones no lineales de un espectro continuo de ondas que se propagan en una dimensión. ^[1]

Se han realizado mediciones de bicoherencia para el monitoreo de señales EEG durante el sueño , la vigilia y las convulsiones . ^{[ cita requerida ]}

Definición

El bispectro se define como el triple producto

${\displaystyle B(f_{1},f_{2})=F(f_{1})F(f_{2})F^{*}(f_{1}+f_{2})}$

donde es el bispectro evaluado en las frecuencias y , es la transformada de Fourier de la señal y denota el conjugado complejo. La transformada de Fourier es una cantidad compleja, y también lo es el bispectro. A partir de la multiplicación compleja, la magnitud del bispectro es igual al producto de las magnitudes de cada uno de los componentes de frecuencia, y la fase del bispectro es la suma de las fases de cada uno de los componentes de frecuencia. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ^{*}}$

Supongamos que los tres componentes de Fourier , y estuvieran perfectamente bloqueados en fase. Entonces, si la transformada de Fourier se calculara varias veces a partir de diferentes partes de la serie temporal, el bispectro siempre tendrá el mismo valor. Si sumamos todos los bispectros, se sumarán sin cancelarse. Por otro lado, supongamos que las fases de cada una de estas frecuencias fueran aleatorias. Entonces, el bispectro tendrá la misma magnitud (asumiendo que la magnitud de los componentes de frecuencia es la misma) pero la fase estará orientada aleatoriamente. Sumar todos los bispectros dará como resultado la cancelación, debido a la orientación aleatoria de la fase, y por lo tanto la suma de los bispectros tendrá una magnitud pequeña. Detectar el acoplamiento de fase requiere la suma sobre una cantidad de muestras independientes; esta es la primera motivación para definir la bicoherencia. En segundo lugar, el bispectro no está normalizado, porque aún depende de las magnitudes de cada uno de los componentes de frecuencia. La bicoherencia incluye un factor de normalización que elimina la dependencia de la magnitud. ${\displaystyle F(f_{1})}$ ${\displaystyle F(f_{2})}$ ${\displaystyle F(f_{1}+f_{2})}$

Existe cierta inconsistencia con la definición de la constante de normalización de bicoherencia. Algunas de las definiciones que se han utilizado son:

${\displaystyle b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sqrt {\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})|^{2}|F_{n}(f_{2})|^{2}|F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}}}}}$

que se proporcionó en Sigl y Chamoun 1994, pero no parece estar correctamente normalizado. Alternativamente, la física del plasma generalmente utiliza

${\displaystyle b^{2}(f_{1},f_{2})={\frac {|\langle F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\rangle |^{2}}{\langle |F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})|^{2}\rangle \langle |F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}\rangle }}}$

donde los corchetes angulares indican un promedio. Nótese que esto es lo mismo que usar una suma, porque es lo mismo en el numerador y en el denominador. Esta definición proviene directamente de Nagashima 2006 y también se menciona en He 2009 y Maccarone 2005. ${\displaystyle n}$

Finalmente, una de las definiciones más intuitivas proviene de Hagihira 2001 y Hayashi 2007, que es

${\displaystyle b(f_{1},f_{2})={\frac {\left|\sum \limits _{n}F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|}}}$

El numerador contiene la magnitud del bispectro sumado a todos los segmentos de la serie temporal. Esta cantidad es grande si hay acoplamiento de fases y se aproxima a 0 en el límite de fases aleatorias. El denominador, que normaliza el bispectro, se obtiene calculando el bispectro después de poner todas las fases a 0. Esto corresponde al caso en el que hay un acoplamiento de fases perfecto, porque todas las muestras tienen fase cero. Por lo tanto, la bicoherencia tiene un valor entre 0 (fases aleatorias) y 1 (acoplamiento de fases total).

Una interpretación física

Entre las tres normalizaciones anteriores, la segunda puede interpretarse como un coeficiente de correlación definido entre las partes proveedoras y receptoras de energía en una interacción no lineal de segundo orden, mientras que se ha demostrado que el bispectro es la covarianza correspondiente. ^[2] Por lo tanto, así como la correlación no puede demostrar suficientemente la presencia de causalidad, un pico de bicoherencia significativo tampoco puede fundamentar suficientemente la existencia de una interacción no lineal.

Véase también

• Coherencia (procesamiento de señales)

Referencias

1. http://www.iop.org/EJ/abstract/0741-3335/30/5/005 ^{[ enlace roto ]}
2. He, Maosheng; Forbes, Jeffrey M. (7 de diciembre de 2022). "Generación armónica del segundo orden de ondas de Rossby observada en la atmósfera media". Nature Communications . 13 (1): 7544. doi :10.1038/s41467-022-35142-3. ISSN  2041-1723. PMC  9729661 . PMID  36476614.

• Hagihira, S., Takashina, M., Mori, T., Mashimo, T. y Yoshiya, I. (2001). Cuestiones prácticas en el análisis biespectral de señales electroencefalográficas. Anesthesia & Analgesia, 93(4), 966-970. Recuperado de http://www.anesthesia-analgesia.org/content/93/4/966.abstract
• Hayashi, K., Tsuda, N., Sawa, T. y Hagihira, S. (2007). La ketamina aumenta la frecuencia del pico de bicoherencia electroencefalográfica en el área del huso alfa inducido con propofol. British Journal of Anaesthesia, 99(3), 389-95. doi:10.1093/bja/aem175
• Nagashima, Y., Itoh, K., Itoh, S.-I., Hoshino, K., Fujisawa, A., Ejiri, A., Takase, Y., et al. (2006). Observación de bicoherencia coherente y bifase en fluctuaciones potenciales alrededor de la frecuencia del modo acústico geodésico en JFT-2M. Plasma Physics and Controlled Fusion, 48(5A), A377-A386. doi:10.1088/0741-3335/48/5A/S38
• He, H. (2009). La bicoherencia canónica - Parte I: Definición, estimación multicono y estadísticas. Procesamiento de señales, IEEE Transactions, 57(4), 1273-1284. Recuperado de https://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=4749274
• Maccarone, TJ y Schnittman, JD (2004). La bicoherencia como diagnóstico para modelos de oscilaciones cuasiperiódicas de alta frecuencia. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 357(1), 12-16. doi:10.1111/j.1365-2966.2004.08615.x
• Mendel JM. "Tutorial sobre estadísticas de orden superior (espectros) en procesamiento de señales y teoría de sistemas: resultados teóricos y algunas aplicaciones". Actas del IEEE , 79 , 3, 278-305
• MJ Hinich, "Prueba de gaussianidad y linealidad de una serie de tiempo estacionaria", Journal of Time Series Analysis 3 (3), 1982 pp 169–176.
• HOSA - Caja de herramientas de análisis espectral de orden superior. (shareware para computadoras personales tipo Microsoft Windows).
• Sigl, JC y NG Chamoun. 1994. Introducción al análisis biespectral para el electroencefalograma. Journal of Clinical Monitoring 10:392-404.
• TH Bullock, JZ Achimowicz et al. , "Bicoherencia del EEG intracraneal en vigilia, sueño y convulsiones", Journal of Clinical Neurophysiology and EEG, 1997, vol. 231, págs. 130-142.
• JL Shils, M. Litt, BE Skolnick, MM Stecker, "Análisis biespectral de interacciones visuales en humanos", Electroencefalografía y neurofisiología clínica, 1996;98:113-125.