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Transformación binomial

En combinatoria , la transformada binomial es una transformación de secuencia (es decir, una transformada de una secuencia ) que calcula sus diferencias hacia adelante . Está estrechamente relacionada con la transformada de Euler , que es el resultado de aplicar la transformada binomial a la secuencia asociada con su función generadora ordinaria .

Definición

La transformada binomial , T , de una secuencia, { a n }, es la secuencia { s n } definida por

Formalmente, se puede escribir

para la transformación, donde T es un operador de dimensión infinita con elementos de matriz T nk . La transformación es una involución , es decir,

o, utilizando la notación de índice,

¿Dónde está el delta de Kronecker ? La serie original se puede recuperar mediante

La transformada binomial de una secuencia es simplemente la n- ésima diferencia hacia adelante de la secuencia, donde las diferencias impares tienen un signo negativo, es decir:

donde Δ es el operador de diferencia hacia adelante .

Algunos autores definen la transformada binomial con un signo extra, para que no sea autoinversa:

cuya inversa es

En este caso, la primera transformación se denomina transformación binomial inversa y la segunda es simplemente transformación binomial . Este es un uso estándar, por ejemplo, en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros .

Ejemplo

Ambas versiones de la transformada binomial aparecen en las tablas de diferencias. Considere la siguiente tabla de diferencias:

Cada línea es la diferencia de la línea anterior. (El n -ésimo número en la m -ésima línea es a m , n = 3 n −2 (2 m +1 n 2 + 2 m (1+6 m ) n + 2 m -1 9 m 2 ), y la ecuación diferencial a m +1, n = a m , n +1 - a m , n se cumple.)

La línea superior leída de izquierda a derecha es { a n } = 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ... La diagonal con el mismo punto de inicio 0 es { t n } = 0, 1, 8, 36, 128, 400, ... { t n } es la transformada binomial no involutiva de { a n }.

La línea superior leída de derecha a izquierda es { b n } = 1485, 324, 63, 10, 1, 0, ... La diagonal cruzada con el mismo punto de inicio 1485 es { s n } = 1485, 1161, 900, 692, 528, 400, ... { s n } es la transformada binomial involutiva de { b n }.

Función generadora ordinaria

La transformada conecta las funciones generadoras asociadas con la serie. Para la función generadora ordinaria , sea

y

entonces

Transformada de Euler

La relación entre las funciones generadoras ordinarias se denomina a veces transformada de Euler . Suele presentarse de dos formas diferentes. En una forma, se utiliza para acelerar la convergencia de una serie alternada . Es decir, se tiene la identidad

que se obtiene sustituyendo x = 1/2 en la última fórmula anterior. Los términos del lado derecho suelen volverse mucho más pequeños, mucho más rápido, lo que permite una suma numérica rápida.

La transformada de Euler se puede generalizar (Borisov B. y Shkodrov V., 2007):

donde p = 0, 1, 2,…

La transformada de Euler también se aplica con frecuencia a la integral hipergeométrica de Euler . En este caso, la transformada de Euler adopta la forma:

[Véase [1] para generalizaciones a otras series hipergeométricas.]

La transformación binomial, y su variación como la transformación de Euler, se destaca por su conexión con la representación de fracción continua de un número. Sea la representación de fracción continua

entonces

y

Función generadora exponencial

Para la función generadora exponencial , sea

y

entonces

La transformada de Borel convertirá la función generadora ordinaria en la función generadora exponencial.


Convolución binomial

Sean y , secuencias de números complejos. Su convolución binomial está definida por

Esta convolución se puede encontrar en el libro de RL Graham, DE Knuth y O. Patashnik: Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley (1989). Es fácil ver que la convolución binomial es asociativa y conmutativa, y la secuencia definida por y para sirve como identidad bajo la convolución binomial. Además, es fácil ver que las secuencias con poseen una inversa. Por lo tanto, el conjunto de secuencias con forma un grupo abeliano bajo la convolución binomial.

La convolución binomial surge naturalmente del producto de las funciones generadoras exponenciales. De hecho,


La transformada binomial se puede escribir en términos de convolución binomial. Sea y para todo . Entonces

La fórmula

Puede interpretarse como una fórmula de tipo inversión de Möbius.

ya que es la inversa de bajo la convolución binomial.


También existe otra convolución binomial en la literatura matemática. La convolución binomial de funciones aritméticas se define como

donde es la factorización canónica de un entero positivo y es el coeficiente binomial. Esta convolución aparece en el libro de PJ McCarthy (1986) y fue estudiada más a fondo por L. Toth y P. Haukkanen (2009).

Representación integral

Cuando la secuencia se puede interpolar mediante una función analítica compleja , entonces la transformada binomial de la secuencia se puede representar mediante una integral de Nörlund-Rice en la función de interpolación.

Generalizaciones

Prodinger ofrece una transformación relacionada, de tipo modular : dejar

da

donde U y B son las funciones generadoras ordinarias asociadas con las series y , respectivamente.

La transformada k -binomial ascendente a veces se define como

La transformada k -binomial descendente es

.

Ambos son homomorfismos del núcleo de la transformada de Hankel de una serie .

En el caso en que la transformada binomial se define como

Sea esto igual a la función

Si se crea una nueva tabla de diferencias hacia adelante y se toman los primeros elementos de cada fila de esta tabla para formar una nueva secuencia , entonces la segunda transformada binomial de la secuencia original es,

Si el mismo proceso se repite k veces, entonces se deduce que,

Su inversa es,

Esto se puede generalizar como:

¿Dónde está el operador de desplazamiento ?

Su inversa es

Véase también

Referencias

  1. ^ Miller, Allen R.; Paris, RB (2010). "Transformaciones de tipo Euler para la función hipergeométrica generalizada". Z. Angew. Matemáticas. Física . 62 (1): 31–45. doi :10.1007/s00033-010-0085-0. S2CID  30484300.

Enlaces externos