El sistema dinámico de Hadamard.

Sistema dinámico caótico, una especie de "billar"

En física y matemáticas , el sistema dinámico de Hadamard (también llamado billar de Hadamard o modelo de Hadamard-Gutzwiller ^[1] ) es un sistema dinámico caótico , un tipo de billar dinámico . Introducido por Jacques Hadamard en 1898, ^[2] y estudiado por Martin Gutzwiller en la década de 1980, ^{[3] [4]} es el primer sistema dinámico que ha demostrado ser caótico .

El sistema considera el movimiento de una partícula libre ( sin fricción ) sobre la superficie de Bolza , es decir, una superficie bidimensional de género dos (un donut con dos agujeros) y curvatura negativa constante ; esta es una superficie compacta de Riemann . Hadamard pudo demostrar que la trayectoria de cada partícula se aleja una de otra: que todas las trayectorias tienen un exponente de Lyapunov positivo .

Frank Steiner sostiene que el estudio de Hadamard debería considerarse el primer examen de un sistema dinámico caótico, y que Hadamard debería considerarse el primer descubridor del caos. ^[5] Señala que el estudio fue ampliamente difundido y considera el impacto de las ideas en el pensamiento de Albert Einstein y Ernst Mach .

El sistema es particularmente importante porque en 1963, Yakov Sinai , al estudiar los billares del Sinaí como modelo del conjunto clásico de un gas de Boltzmann-Gibbs, pudo demostrar que el movimiento de los átomos en el gas sigue las trayectorias en el Hadamard. sistema dinámico.

Exposición

El movimiento estudiado es el de una partícula libre que se desliza sin fricción sobre la superficie, es decir, una que tiene el patrón hamiltoniano.

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)}$

donde m es la masa de la partícula, son las coordenadas de la variedad, son los momentos conjugados : ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}}$

y

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}(q)dq^{i}dq^{j}\,}$

es el tensor métrico en la variedad. Debido a que este es el hamiltoniano de partículas libres, la solución de las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi simplemente viene dada por las geodésicas de la variedad.

Hadamard pudo demostrar que todas las geodésicas son inestables, ya que todas divergen exponencialmente entre sí, como ocurre con el exponente de Lyapunov positivo. ${\displaystyle e^{\lambda t}}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}}$

siendo E la energía de una trayectoria, y siendo la curvatura negativa constante de la superficie. ${\displaystyle K=-1/R^{2}}$

Referencias

1. Aurich, R.; Sieber, M.; Steiner, F. (1 de agosto de 1988). "Caos cuántico del modelo Hadamard-Gutzwiller" (PDF) . Cartas de revisión física . 61 (5): 483–487. Código bibliográfico : 1988PhRvL..61..483A. doi :10.1103/PhysRevLett.61.483. PMID  10039347.
2. Hadamard, J. (1898). "Les superficies à courbures opposées et leurs lignes géodésiques". J. Matemáticas. Pures Appl . 4 : 27–73.
3. Gutzwiller, MC (21 de julio de 1980). "Cuantización clásica de un hamiltoniano con comportamiento ergódico". Cartas de revisión física . 45 (3): 150-153. Código Bib : 1980PhRvL..45..150G. doi :10.1103/PhysRevLett.45.150.
4. Gutzwiller, MC (1985). "La geometría del caos cuántico". Escritura física . T9 : 184-192. Código bibliográfico : 1985PhST....9..184G. doi :10.1088/0031-8949/1985/T9/030.
5. Steiner, Frank (1994). "Caos cuántico". En Ansorge, R. (ed.). Schlaglichter der Forschung: Zum 75. Jahrestag der Universität Hamburg 1994 . Berlín: Reimer. págs. 542–564. arXiv : chao-dyn/9402001 . Código bibliográfico : 1994chao.dyn..2001S. ISBN 978-3-496-02540-5.