Bethe ansatz

En física , el ansatz de Bethe es un ansatz para encontrar las funciones de onda exactas de ciertos modelos cuánticos de muchos cuerpos , más comúnmente para modelos reticulares unidimensionales. Fue utilizado por primera vez por Hans Bethe en 1931 para encontrar los valores propios y vectores propios exactos del modelo isotrópico antiferromagnético (XXX) unidimensional de Heisenberg . ^[1]

Desde entonces, el método se ha extendido a otras cadenas de espín y modelos reticulares estadísticos .

Los "problemas de Bethe Ansatz" fueron uno de los temas que figuraban en la sección "Para aprender" del pizarrón de Richard Feynman en el momento de su muerte. ^[2]

Discusión

En el marco de la mecánica cuántica de muchos cuerpos , los modelos resolubles por el ansatz de Bethe se pueden contrastar con los modelos de fermiones libres. Se puede decir que la dinámica de un modelo libre es reducible a un solo cuerpo: la función de onda de muchos cuerpos para fermiones ( bosones ) es el producto antisimetrizado (simetrizado) de las funciones de onda de un cuerpo. Los modelos resolubles por el ansatz de Bethe no son libres: el sector de dos cuerpos tiene una matriz de dispersión no trivial , que en general depende de los momentos.

Por otra parte, la dinámica de los modelos resolubles mediante el ansatz de Bethe es reducible a dos cuerpos: la matriz de dispersión de muchos cuerpos es un producto de matrices de dispersión de dos cuerpos. Las colisiones de muchos cuerpos ocurren como una secuencia de colisiones de dos cuerpos y la función de onda de muchos cuerpos se puede representar en una forma que contenga solo elementos de funciones de onda de dos cuerpos. La matriz de dispersión de muchos cuerpos es igual al producto de matrices de dispersión por pares.

La forma genérica del ansatz de Bethe (coordenadas) para una función de onda de muchos cuerpos es

${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in {\mathfrak {S}}_{M}}(-1)^{[P]}\exp \left(i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})\right)}$

donde es el número de partículas, su posición, es el conjunto de todas las permutaciones de los números enteros , es la paridad de la permutación que toma valores positivos o negativos, es el (cuasi-)momento de la -ésima partícula, es la función de desplazamiento de fase de dispersión y es la función de signo . Esta forma es universal (al menos para sistemas no anidados), y las funciones de momento y dispersión dependen del modelo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j_{a},a=1,\cdots M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle 1,\cdots ,M}$ ${\displaystyle (-1)^{[P]}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$

La ecuación de Yang-Baxter garantiza la consistencia de la construcción. El principio de exclusión de Pauli es válido para los modelos que se pueden resolver mediante el ansatz de Bethe, incluso para los modelos de bosones interactuantes .

El estado fundamental es una esfera de Fermi . Las condiciones de contorno periódicas conducen a las ecuaciones de Bethe ansatz o simplemente ecuaciones de Bethe. En forma logarítmica, las ecuaciones de Bethe ansatz pueden generarse mediante la acción de Yang . El cuadrado de la norma de la función de onda de Bethe es igual al determinante del hessiano de la acción de Yang. ^[3]

Una generalización sustancial es el método de dispersión inversa cuántica , o ansatz algebraico de Bethe, que proporciona un ansatz para el álgebra de operadores subyacente que "ha permitido resolver una amplia clase de ecuaciones de evolución no lineal". ^[4]

Las soluciones exactas del llamado modelo sd (por PB Wiegmann ^[5] en 1980 e independientemente por N. Andrei, ^[6] también en 1980) y el modelo de Anderson (por PB Wiegmann ^[7] en 1981, y por N. Kawakami y A. Okiji ^[8] en 1981) también se basan en el ansatz de Bethe. Existen generalizaciones multicanal de estos dos modelos también susceptibles de soluciones exactas (por N. Andrei y C. Destri ^[9] y por CJ Bolech y N. Andrei ^{[10] ). Recientemente, varios modelos resolubles por el ansatz de Bethe se realizaron experimentalmente en estados sólidos y redes ópticas. Jean-Sébastien Caux y} Alexei Tsvelik desempeñaron un papel importante en la descripción teórica de estos experimentos . ^{[ cita requerida ]}

Terminología

Existen muchos métodos similares que se conocen bajo el nombre de Bethe ansatz.

• Método de Bethe algebraico. ^[11] El método de dispersión inversa cuántica es el método de solución por método de Bethe algebraico, y ambos son prácticamente sinónimos.
• Ejemplo analítico de Bethe
• Coordenada Bethe ansatz ( Hans Bethe  1931)
• Bethe funcional ansatz ^{[12] [13]}
• Ansatz Bethe anidado
• Bethe ansatz termodinámica (CN Yang y CP Yang 1969)

Ejemplos

Cadena antiferromagnética de Heisenberg

La cadena antiferromagnética de Heisenberg está definida por el hamiltoniano (asumiendo condiciones de contorno periódicas)

${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.}$

Este modelo se puede resolver utilizando el ansatz de Bethe (coordenadas). La función de desplazamiento de fase de dispersión es , con en la que el momento se ha reparametrizado convenientemente como en términos de la rapidez Las condiciones de contorno (aquí, periódicas) imponen las ecuaciones de Bethe ${\displaystyle \phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})}$ ${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}}$ ${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda }$ ${\displaystyle \lambda .}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\right]^{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1,...,M}$

o más convenientemente en forma logarítmica

${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}}$

donde los números cuánticos son enteros distintos mitad impares para pares, enteros para impares (con módulo definido ). ${\displaystyle I_{j}}$ ${\displaystyle N-M}$ ${\displaystyle N-M}$ ${\displaystyle I_{j}}$ ${\displaystyle (N)}$

Aplicabilidad

Los siguientes sistemas se pueden resolver utilizando el ansatz de Bethe

• Modelo de impurezas de Anderson
• Modelo Gaudin
• Cadena de espín de Heisenberg XXX y XXZ para espín arbitrario ${\displaystyle s}$
• Modelo de Hubbard
• Modelo Kondo
• Modelo de Lieb-Liniger
• Modelo de seis vértices y modelo de ocho vértices (a través de la cadena de espín de Heisenberg)

Cronología

• 1928: Werner Heisenberg publica su modelo . ^[14]
• 1930: Felix Bloch propone un ansatz simplificado en exceso que calcula incorrectamente el número de soluciones de la ecuación de Schrödinger para la cadena de Heisenberg. ^[15]
• 1931: Hans Bethe propone el ansatz correcto y demuestra cuidadosamente que produce el número correcto de funciones propias. ^[1]
• 1938: Lamek Hulthén  [de] obtiene la energía exacta del estado fundamental del modelo de Heisenberg. ^[16]
• 1958: Raymond Lee Orbach utiliza el modelo de Bethe para resolver el modelo de Heisenberg con interacciones anisotrópicas. ^[17]
• 1962: J. des Cloizeaux y JJ Pearson obtienen el espectro correcto del antiferroimán de Heisenberg (relación de dispersión de espinón), ^[18] mostrando que difiere de las predicciones de la teoría de ondas de espín de Anderson ^[19] (el prefactor constante es diferente).
• 1963: Elliott H. Lieb y Werner Liniger proporcionan la solución exacta del gas de Bose en interacción con la función δ unidimensional ^[20] (ahora conocido como el modelo de Lieb-Liniger ). Lieb estudia el espectro y define dos tipos básicos de excitaciones. ^[21]
• 1964: Robert B. Griffiths obtiene la curva de magnetización del modelo de Heisenberg a temperatura cero. ^[22]
• 1966: CN Yang y CP Yang prueban rigurosamente que el estado fundamental de la cadena de Heisenberg está dado por el ansatz de Bethe. ^[23] Estudian propiedades y aplicaciones en ^[24] y. ^[25]
• 1967: CN Yang generaliza la solución de Lieb y Liniger del gas de Bose que interactúa con la función δ a una simetría de permutación arbitraria de la función de onda, dando origen al ansatz de Bethe anidado. ^[26]
• 1968: Elliott H. Lieb y FY Wu resuelven el modelo 1d de Hubbard. ^[27]
• 1969: CN Yang y CP Yang obtienen la termodinámica del modelo de Lieb-Liniger, ^[28] proporcionando la base del modelo termodinámico de Bethe (TBA).

Referencias

1. Bethe, H. (marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette". Zeitschrift für Physik . 71 (3–4): 205–226. doi :10.1007/BF01341708. S2CID  124225487.
2. "La pizarra de Richard Feynman en el momento de su muerte | Archivos de Caltech". digital.archives.caltech.edu . Consultado el 29 de julio de 2023 .
3. Korepin, Vladimir E. (1982). "Cálculo de normas de funciones de onda de Bethe". Communications in Mathematical Physics . 86 (3): 391–418. Bibcode :1982CMaPh..86..391K. doi :10.1007/BF01212176. ISSN  0010-3616. S2CID  122250890.
4. Korepin, VE; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (6 de marzo de 1997). Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación. Cambridge University Press. ISBN 9780521586467.
5. Wiegmann, PB (1980). «Solución exacta del modelo de intercambio sd en T = 0» (PDF) . JETP Letters . 31 (7): 364. Archivado desde el original (PDF) el 2019-05-17 . Consultado el 2019-05-17 .
6. Andrei, N. (1980). "Diagonalización del hamiltoniano de Kondo". Physical Review Letters . 45 (5): 379–382. Código Bibliográfico :1980PhRvL..45..379A. doi :10.1103/PhysRevLett.45.379. ISSN  0031-9007.
7. Wiegmann, PB (1980). "Hacia una solución exacta del modelo de Anderson". Physics Letters A . 80 (2–3): 163–167. Bibcode :1980PhLA...80..163W. doi :10.1016/0375-9601(80)90212-1. ISSN  0375-9601.
8. Kawakami, Norio; Okiji, Ayao (1981). "Expresión exacta de la energía del estado fundamental para el modelo simétrico de Anderson". Physics Letters A . 86 (9): 483–486. Bibcode :1981PhLA...86..483K. doi :10.1016/0375-9601(81)90663-0. ISSN  0375-9601.
9. Andrei, N.; Destri, C. (1984). "Solución del problema multicanal de Kondo". Physical Review Letters . 52 (5): 364–367. Código Bibliográfico :1984PhRvL..52..364A. doi :10.1103/PhysRevLett.52.364. ISSN  0031-9007.
10. Bolech, CJ; Andrei, N. (2002). "Solución del modelo de impureza de Anderson de dos canales: implicaciones para el fermión pesado UBe13". Physical Review Letters . 88 (23): 237206. arXiv : cond-mat/0204392 . Código Bibliográfico :2002PhRvL..88w7206B. doi :10.1103/PhysRevLett.88.237206. ISSN  0031-9007. PMID  12059396. S2CID  15180985.
11. Faddeev, Ludwig (1992). "Cómo funciona el Ansatz Bethe algebraico para un modelo integrable". arXiv : hep-th/9211111 .
12. Sklyanin, EK (1985). "La cadena cuántica de Toda". Ecuaciones no lineales en la teoría clásica y cuántica de campos . Lecture Notes in Physics. 226 : 196–233. Bibcode :1985LNP...226..196S. doi :10.1007/3-540-15213-X_80. ISBN: 978-3-540-15213-2.
13. Sklyanin, EK (octubre de 1990). "Bethe Ansatz funcional". Sistemas integrables y superintegrables : 8–33. doi :10.1142/9789812797179_0002. ISBN 978-981-02-0316-0.
14. Heisenberg, W. (septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 49 (9–10): 619–636. Código bibliográfico : 1928ZPhy...49..619H. doi :10.1007/BF01328601. S2CID  122524239.
15. Bloch, F. (marzo de 1930). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 61 (3–4): 206–219. Código Bib : 1930ZPhy...61..206B. doi :10.1007/BF01339661. S2CID  120459635.
16. Hulthén, Lamek (1938). "Über das Austauschproblem eines Kristalles". Estera de Arkiv. Astron. Física . 26A : 1.
17. Orbach, R. (15 de octubre de 1958). "Cadena antiferromagnética lineal con acoplamiento anisotrópico". Physical Review . 112 (2): 309–316. Código Bibliográfico :1958PhRv..112..309O. doi :10.1103/PhysRev.112.309.
18. des Cloizeaux, Jacques; Pearson, JJ (1 de diciembre de 1962). "Espectro de onda de espín de la cadena lineal antiferromagnética". Physical Review . 128 (5): 2131–2135. Código Bibliográfico :1962PhRv..128.2131D. doi :10.1103/PhysRev.128.2131.
19. Anderson, PW (1 de junio de 1952). "Una teoría cuántica aproximada del estado fundamental antiferromagnético". Physical Review . 86 (5): 694–701. Bibcode :1952PhRv...86..694A. doi :10.1103/PhysRev.86.694.
20. Lieb, Elliott H.; Liniger, Werner (15 de mayo de 1963). "Análisis exacto de un gas de Bose en interacción. I. La solución general y el estado fundamental". Physical Review . 130 (4): 1605–1616. Código Bibliográfico :1963PhRv..130.1605L. doi :10.1103/PhysRev.130.1605.
21. Lieb, Elliott H. (15 de mayo de 1963). "Análisis exacto de un gas de Bose en interacción. II. El espectro de excitación". Physical Review . 130 (4): 1616–1624. Código Bibliográfico :1963PhRv..130.1616L. doi :10.1103/PhysRev.130.1616.
22. Griffiths, Robert B. (3 de febrero de 1964). "Curva de magnetización a temperatura cero para la cadena lineal antiferromagnética de Heisenberg". Physical Review . 133 (3A): A768–A775. Código Bibliográfico :1964PhRv..133..768G. doi :10.1103/PhysRev.133.A768.
23. Yang, CN; Yang, CP (7 de octubre de 1966). "Cadena unidimensional de interacciones espín-espín anisotrópicas. I. Prueba de la hipótesis de Bethe para el estado fundamental en un sistema finito". Physical Review . 150 (1): 321–327. Bibcode :1966PhRv..150..321Y. doi :10.1103/PhysRev.150.321.
24. Yang, CN; Yang, CP (7 de octubre de 1966). "Cadena unidimensional de interacciones espín-espín anisotrópicas. II. Propiedades de la energía del estado fundamental por sitio reticular para un sistema infinito". Physical Review . 150 (1): 327–339. Bibcode :1966PhRv..150..327Y. doi :10.1103/PhysRev.150.327.
25. Yang, CN; Yang, CP (4 de noviembre de 1966). "Cadena unidimensional de interacciones espín-espín anisotrópicas. III. Aplicaciones". Physical Review . 151 (1): 258–264. Bibcode :1966PhRv..151..258Y. doi :10.1103/PhysRev.151.258.
26. Yang, CN (4 de diciembre de 1967). "Algunos resultados exactos para el problema de muchos cuerpos en una dimensión con interacción de función delta repulsiva". Physical Review Letters . 19 (23): 1312–1315. Código Bibliográfico :1967PhRvL..19.1312Y. doi :10.1103/PhysRevLett.19.1312.
27. Lieb, Elliott H.; Wu, FY (17 de junio de 1968). "Ausencia de transición de Mott en una solución exacta del modelo de banda única de corto alcance en una dimensión". Physical Review Letters . 20 (25): 1445–1448. Código Bibliográfico :1968PhRvL..20.1445L. doi :10.1103/PhysRevLett.20.1445.
28. Yang, CN; Yang, CP (julio de 1969). "Termodinámica de un sistema unidimensional de bosones con interacción de función delta repulsiva". Journal of Mathematical Physics . 10 (7): 1115–1122. Bibcode :1969JMP....10.1115Y. doi :10.1063/1.1664947.

Enlaces externos

• Introducción a Bethe Ansatz