Distribución de Bernoulli

Distribución de probabilidad que modela un lanzamiento de moneda que no tiene por qué ser justo

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Bernoulli , llamada así en honor al matemático suizo Jacob Bernoulli , ^[1] es la distribución de probabilidad discreta de una variable aleatoria que toma el valor 1 con probabilidad y el valor 0 con probabilidad . De manera menos formal, se puede considerar como un modelo para el conjunto de posibles resultados de cualquier experimento que plantee una pregunta de sí o no . Estas preguntas conducen a resultados con valores booleanos : un solo bit cuyo valor es éxito/ sí / verdadero / uno con probabilidad p y fracaso/no/ falso / cero con probabilidad q . Se puede utilizar para representar un lanzamiento de moneda (posiblemente sesgado) donde 1 y 0 representarían "cara" y "cruz", respectivamente, y p sería la probabilidad de que la moneda caiga en cara (o viceversa, donde 1 representaría cruz). y p sería la probabilidad de que salga cruz). En particular, las monedas injustas tendrían ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q=1-p}$ ${\displaystyle p\neq 1/2.}$

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial en el que se realiza una única prueba (por lo que n sería 1 para dicha distribución binomial). También es un caso especial de la distribución de dos puntos , para la cual los resultados posibles no necesitan ser 0 y 1. ^[2]

Propiedades

Si es una variable aleatoria con distribución de Bernoulli, entonces: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}$

La función de masa de probabilidad de esta distribución, sobre posibles resultados k , es ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}$^[3]

Esto también se puede expresar como

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}$

o como

${\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.}$

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con ^[4] ${\displaystyle n=1.}$

La curtosis llega al infinito para valores altos y bajos de pero las distribuciones de dos puntos, incluida la distribución de Bernoulli, tienen un exceso de curtosis menor , es decir, −2, que cualquier otra distribución de probabilidad. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p=1/2}$

Las distribuciones de Bernoulli forman una familia exponencial . ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

El estimador de máxima verosimilitud basado en una muestra aleatoria es la media muestral . ${\displaystyle p}$

La función de distribución de masa de probabilidad de un experimento de Bernoulli junto con su correspondiente función de distribución acumulativa.

Significar

El valor esperado de una variable aleatoria de Bernoulli es ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=p}$

Esto se debe al hecho de que para una variable aleatoria distribuida de Bernoulli con y encontramos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Pr(X=1)=p}$ ${\displaystyle \Pr(X=0)=q}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}$^[3]

Diferencia

La varianza de una distribución de Bernoulli es ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}$

Primero encontramos

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]}$

De esto se sigue

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}$^[3]

Con este resultado es fácil demostrar que, para cualquier distribución de Bernoulli, su varianza tendrá un valor dentro de . ${\displaystyle [0,1/4]}$

Oblicuidad

La asimetría es . Cuando tomamos la variable aleatoria distribuida estandarizada de Bernoulli encontramos que esta variable aleatoria alcanza con probabilidad y alcanza con probabilidad . Así obtenemos ${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$ ${\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}}$ ${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}}$

Momentos superiores y cumulantes

Los momentos crudos son todos iguales debido al hecho de que y . ${\displaystyle 1^{k}=1}$ ${\displaystyle 0^{k}=0}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].}$

El momento central de orden está dado por ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}$

Los primeros seis momentos centrales son

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}}$

Los momentos centrales superiores se pueden expresar de manera más compacta en términos de y ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Los primeros seis acumulantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Distribuciones relacionadas

• Si son variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente ( iid ), todos los ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito  p , entonces su suma se distribuye según una distribución binomial con parámetros n y p : ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)}$( Distribución binomial ). ^[3]

La distribución de Bernoulli se escribe simplemente como ${\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}$ ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• La distribución categórica es la generalización de la distribución de Bernoulli para variables con cualquier número constante de valores discretos.
• La distribución Beta es la prioritaria conjugada de la distribución de Bernoulli. ^[5]
• La distribución geométrica modela el número de ensayos de Bernoulli idénticos e independientes necesarios para lograr un éxito.
• Si , entonces tiene una distribución Rademacher . ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$ ${\textstyle 2Y-1}$

Ver también

• Proceso de Bernoulli , un proceso aleatorio que consta de una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes
• muestreo de Bernoulli
• Función de entropía binaria
• Diagrama de decisión binaria

Referencias

1. Uspensky, James Víctor (1937). Introducción a la probabilidad matemática . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 45. OCLC  996937.
2. Dekking, Frederik; Kraaikamp, ​​Cornelis; Lopuhaä, Hendrik; Meester, Ludolf (9 de octubre de 2010). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística (1 ed.). Springer Londres. págs. 43–48. ISBN 9781849969529.
3. Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introducción a la probabilidad . Tsitsiklis, John N. , Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC  51441829.
4. McCullagh, Pedro ; Nelder, John (1989). Modelos lineales generalizados, segunda edición . Boca Ratón: Chapman y Hall/CRC. Sección 4.2.2. ISBN 0-412-31760-5.
5. Orloff, Jeremy; Bloom, Jonatán. "Antes conjugados: Beta y normal" (PDF) . math.mit.edu . Consultado el 20 de octubre de 2023 .

Otras lecturas

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Distribuciones discretas univariadas (2ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-54897-9.
• Peatman, John G. (1963). Introducción a la Estadística Aplicada . Nueva York: Harper & Row. págs. 162-171.

enlaces externos

• "Distribución binomial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Distribución Bernoulli". MundoMatemático .
• Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariadas.