Base ortogonal

En matemáticas , en particular en álgebra lineal , una base ortogonal para un espacio de producto interno es una base cuyos vectores son mutuamente ortogonales . Si los vectores de una base ortogonal se normalizan , la base resultante es una base ortonormal . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Como coordenadas

Cualquier base ortogonal puede utilizarse para definir un sistema de coordenadas ortogonales. Las bases ortogonales (no necesariamente ortonormales) son importantes debido a su apariencia a partir de coordenadas ortogonales curvilíneas en espacios euclidianos , así como en variedades riemannianas y pseudo-riemannianas . ${\displaystyle V.}$

En el análisis funcional

En el análisis funcional , una base ortogonal es cualquier base obtenida a partir de una base ortonormal (o base de Hilbert) utilizando la multiplicación por escalares distintos de cero .

Extensiones

Forma bilineal simétrica

El concepto de base ortogonal es aplicable a un espacio vectorial (sobre cualquier cuerpo ) dotado de una forma bilineal simétrica ⁠ ⁠ , donde la ortogonalidad de dos vectores y significa ⁠ ⁠ . Para una base ortogonal ⁠ ⁠ : donde es una forma cuadrática asociada con (en un espacio de producto interno, ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ $${\displaystyle \langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :}$ ${\displaystyle q(v)=\langle v,v\rangle }$ ${\displaystyle q(v)=\Vert v\Vert ^{2}}$

Por lo tanto, para una base ortogonal ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ , donde y son componentes de y en la base. $${\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _{k}q(e_{k})v_{k}w_{k},}$$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Forma cuadrática

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a un espacio vectorial sobre cualquier cuerpo de característica distinta de 2 dotado de una forma cuadrática ⁠ ⁠ ${\displaystyle q(v)}$ . Partiendo de la observación de que, cuando la característica del cuerpo subyacente no es 2, la forma bilineal simétrica asociada permite definir los vectores y como ortogonales respecto de cuando ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q(v+w)-q(v)-q(w)=0}$

Véase también

• Base (álgebra lineal)  : conjunto de vectores utilizados para definir coordenadas
• Base ortonormal  – Base lineal específica (matemáticas)
• Marco ortonormal  : espacio euclidiano sin distancias ni ángulos
• Base Schauder  – Herramienta computacional
• Conjunto total  : subconjunto de un espacio vectorial topológico cuyo espacio lineal es densoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (cuarta edición corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . pag. 6.ISBN​ 3-540-06009-X.Zbl 0292.10016  .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Base ortogonal". MundoMatemático .