La base de la proporción áurea es un sistema de numeración posicional no entero que utiliza la proporción áurea (el número irracional 1 + √ 5/2 ≈ 1.61803399 simbolizado por la letra griega φ ) como su base . A veces se lo conoce como base-φ , base de proporción áurea , base phi o, coloquialmente, finario . Cualquier número real no negativo se puede representar como un numeral de base φ utilizando solo los dígitos 0 y 1, y evitando la secuencia de dígitos "11"; esto se llama forma estándar . Un numeral de base φ que incluye la secuencia de dígitos "11" siempre se puede reescribir en forma estándar, utilizando las propiedades algebraicas de la base φ, en particular que φ 1 + φ 0 = φ 2 . Por ejemplo, 11 φ = 100 φ .
A pesar de utilizar una base numérica irracional , al utilizar la forma estándar, todos los números enteros no negativos tienen una representación única como una expansión de base φ terminal (finita). El conjunto de números que poseen una representación de base φ finita es el anillo Z [ 1 + √ 5/2] ; juega el mismo papel en estos sistemas numéricos que los racionales diádicos en los números binarios , brindando la posibilidad de multiplicar .
Otros números tienen representaciones estándar en base φ, y los números racionales tienen representaciones recurrentes. Estas representaciones son únicas, excepto que los números con una expansión terminal también tienen una expansión no terminal. Por ejemplo, 1 = 0,1010101… en base φ, así como 1 = 0,99999… en base 10 .
En el siguiente ejemplo de conversión de forma no estándar a forma estándar, se utiliza la notación 1 para representar el dígito con signo -1.
211.0 1 φ no es un numeral base φ estándar, ya que contiene un "11" y además un "2" y un " 1 " = −1, que no son "0" o "1".
Para poner un número en forma estándar, podemos usar las siguientes sustituciones: , , , . Las sustituciones se pueden aplicar en cualquier orden que queramos, ya que el resultado será el mismo. A continuación, las sustituciones aplicadas al número de la línea anterior están a la derecha, el número resultante a la izquierda.
Cualquier número positivo con una representación de base φ terminal no estándar se puede estandarizar de forma única de esta manera. Si llegamos a un punto en el que todos los dígitos son "0" o "1", excepto el primer dígito que es negativo , entonces el número es negativo. (La excepción a esto es cuando el primer dígito es negativo uno y los dos dígitos siguientes son uno, como 1 111.001=1.001). Esto se puede convertir al negativo de una representación de base φ negando cada dígito, estandarizando el resultado y luego marcándolo como negativo. Por ejemplo, use un signo menos o algún otro significado para denotar números negativos.
Podemos considerar nuestro entero como el (único) dígito de un numeral base φ no estándar y estandarizarlo, o hacer lo siguiente:
1 × 1 = 1, φ × φ = 1 + φ y 1/φ = −1 + φ. Por lo tanto, podemos calcular
y
Entonces, usando sólo valores enteros, podemos sumar, restar y multiplicar números de la forma ( a + b φ), e incluso representar potencias enteras positivas y negativas de φ.
( a + b φ) > ( c + d φ) si y solo si 2( a − c ) − ( d − b ) > ( d − b ) × √ 5 . Si un lado es negativo y el otro positivo, la comparación es trivial. De lo contrario, elevamos al cuadrado ambos lados para obtener una comparación entera, invirtiendo la dirección de comparación si ambos lados fueran negativos. Al elevar al cuadrado ambos lados, el √ 5 se reemplaza por el entero 5.
Entonces, usando sólo valores enteros, también podemos comparar números de la forma ( a + b φ).
El procedimiento anterior nunca dará como resultado la secuencia "11", ya que 11 φ = 100 φ , por lo que obtener un "11" significaría que nos perdimos un "1" antes de la secuencia "11".
Comience, por ejemplo, con un entero = 5, siendo el resultado hasta ahora...00000.00000... φ
La potencia más alta de φ ≤ 5 es φ 3 = 1 + 2φ ≈ 4,236067977
Restando esto de 5, tenemos 5 − (1 + 2φ) = 4 − 2φ ≈ 0,763932023..., siendo el resultado hasta ahora 1000,00000... φ
La mayor potencia de φ ≤ 4 − 2φ ≈ 0,763932023... es φ −1 = −1 + 1φ ≈ 0,618033989...
Restando esto de 4 − 2φ ≈ 0,763932023..., tenemos 4 − 2φ − (−1 + 1φ) = 5 − 3φ ≈ 0,145898034..., siendo el resultado hasta ahora 1000,10000... φ
La mayor potencia de φ ≤ 5 − 3φ ≈ 0,145898034... es φ −4 = 5 − 3φ ≈ 0,145898034...
Restando esto de 5 − 3φ ≈ 0,145898034..., tenemos 5 − 3φ − (5 − 3φ) = 0 + 0φ = 0, siendo el resultado final 1000,1001 φ .
Al igual que en cualquier sistema de base n, los números con una representación terminal tienen una representación recurrente alternativa. En base 10, esto se basa en la observación de que 0,999...=1 . En base φ, el numeral 0,1010101... puede verse como igual a 1 de varias maneras:
Esta no unicidad es una característica del sistema de numeración, ya que tanto 1,0000 como 0,101010... están en forma estándar.
En general, el 1 final de cualquier número en base φ se puede reemplazar con un 01 recurrente sin cambiar el valor de ese número.
Todo número racional no negativo puede representarse como una expansión recurrente en base φ, al igual que cualquier elemento no negativo del cuerpo Q [ √ 5 ] = Q + √ 5 Q , el cuerpo generado por los números racionales y √ 5 . Por el contrario, cualquier expansión recurrente (o terminal) en base φ es un elemento no negativo de Q [ √ 5 ]. Para los decimales periódicos, la parte recurrente se ha subrayado:
La justificación de que un racional da una expansión recurrente es análoga a la prueba equivalente para un sistema de numeración de base n ( n = 2,3,4,...). Esencialmente, en la división larga de base φ solo hay un número finito de posibles residuos, por lo que una vez debe haber un patrón recurrente. Por ejemplo, con 1/2 = 1/10,01 φ = 100 φ/1001 φLa división larga se ve así (tenga en cuenta que la resta de base φ puede ser difícil de seguir al principio):
.0 1 0 0 1 ________________________ 1 0 0 1 ) 1 0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 operación: 10000 = 1100 = 1011 ------- entonces 10000 − 1001 = 1011 − 1001 = 10 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ------- etc.
Lo inverso también es cierto, en el sentido de que un número con una representación recurrente de base φ es un elemento del campo Q [ √ 5 ]. Esto se desprende de la observación de que una representación recurrente con período k implica una serie geométrica con razón φ −k , que sumará un elemento de Q [ √ 5 ].
Las representaciones en base φ de algunos números interesantes:
Es posible adaptar todos los algoritmos estándar de aritmética de base 10 a la aritmética de base φ. Existen dos enfoques para ello:
Para sumar dos números de base φ, suma cada par de dígitos, sin acarreo, y luego convierte el numeral a la forma estándar. Para restar , resta cada par de dígitos sin acarreo (el acarreo es una cantidad negativa) y luego convierte el numeral a la forma estándar. Para multiplicar , multiplica de la manera típica de base 10, sin acarreo, luego convierte el numeral a la forma estándar.
Por ejemplo,
Un enfoque más "nativo" consiste en evitar tener que sumar los dígitos 1+1 o restar 0 – 1. Esto se hace reorganizando los operandos en una forma no estándar para que estas combinaciones no se produzcan. Por ejemplo,
La resta que se ve aquí utiliza una forma modificada del algoritmo de "comercio" estándar para la resta.
Ningún número racional no entero puede representarse como un número finito de base φ. En otras palabras, todos los números finitamente representables de base φ son enteros o (más probablemente) irracionales en un cuerpo cuadrático Q [ √ 5 ]. Debido a que la división larga tiene solo un número finito de posibles residuos, una división de dos enteros (u otros números con representación finita de base φ) tendrá una expansión recurrente, como se demostró anteriormente.
La codificación de Fibonacci es un sistema de numeración estrechamente relacionado que se utiliza para los números enteros. En este sistema, solo se utilizan los dígitos 0 y 1 y los valores de posición de los dígitos son los números de Fibonacci . Al igual que con la base φ, la secuencia de dígitos "11" se evita reordenando a una forma estándar, utilizando la relación de recurrencia de Fibonacci F k +1 = F k + F k −1 . Por ejemplo,
Es posible combinar la aritmética de base φ con las secuencias de números enteros de Fibonacci . La suma de los números de una secuencia de números enteros de Fibonacci general que corresponden a los dígitos distintos de cero en el número de base φ es la multiplicación del número de base φ por el elemento en la posición cero de la secuencia. Por ejemplo:
