Ecuación de equilibrio poblacional

Las ecuaciones de balance de población (PBE) se han introducido en varias ramas de la ciencia moderna, principalmente en Ingeniería química , ^[1] para describir la evolución de una población de partículas. Esto incluye temas como cristalización , ^[2] lixiviación (metalurgia) , ^{[3] [4]} extracción líquido-líquido , dispersiones gas-líquido como la electrólisis del agua , ^[5] reacciones líquido-líquido, conminución, ingeniería de aerosoles, biología (donde las entidades separadas son células en función de su tamaño o proteínas intracelulares ^[6] ), polimerización , etc. Se puede decir que las ecuaciones de balance de población se derivan como una extensión de la ecuación de coagulación de Smoluchowski que describe solo la coalescencia de partículas. Las PBE, de forma más general, definen cómo las poblaciones de entidades separadas se desarrollan en propiedades específicas a lo largo del tiempo. Son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales integro-que dan el comportamiento del campo medio de una población de partículas a partir del análisis del comportamiento de una sola partícula en condiciones locales. ^[7] Los sistemas particulados se caracterizan por el nacimiento y la muerte de partículas. Por ejemplo, considere el proceso de precipitación (formación de un sólido a partir de una solución líquida) que tiene los subprocesos nucleación , aglomeración , rotura, etc., que dan como resultado el aumento o la disminución del número de partículas de un radio particular (suponiendo que se forman partículas esféricas). El balance de población no es más que un balance del número de partículas de un estado particular (en este ejemplo, tamaño ).

Formulación de PBE

Consideremos el número promedio de partículas con propiedades de partícula denotadas por un vector de estado de partícula ( x , r ) (donde x corresponde a propiedades de partícula como tamaño, densidad, etc. también conocidas como coordenadas internas y r corresponde a la posición espacial o coordenadas externas) dispersas en una fase continua definida por un vector de fase Y( r , t) (que nuevamente es una función de todos los vectores que denotan las propiedades de fase en varias ubicaciones) se denota por f( x , r , t). Por lo tanto, da las características de la partícula en los dominios de propiedad y espacio. Sea h( x , r , Y , t) la tasa de nacimiento de partículas por unidad de volumen del espacio de estado de partículas, por lo que la conservación del número se puede escribir como ^[7]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,f(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,t)=\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,h(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,\mathbf {Y} ,t)}$

Esta es una forma generalizada de PBE. ^[7]

Solución a PBE

Los métodos de Monte Carlo ^[8] , ^[9], los métodos de discretización ^[10] y los métodos de momento ^{[8] [9] [11] [12] [13] [14]} se utilizan principalmente para resolver estas ecuaciones . La elección depende de la aplicación y la infraestructura informática. ^[1]

Referencias

1. Totis, Niccolò; Nieto, César; Küper, Armin; Vargas-García, César; Singh, Abhyudai; Waldherr, Steffen (abril de 2021). "Un enfoque basado en la población para estudiar los efectos de las tasas de crecimiento y división en la dinámica de las estadísticas del tamaño celular". IEEE Control Systems Letters . 5 (2): 725–730. doi :10.1109/LCSYS.2020.3005069. ISSN  2475-1456. S2CID  220606401.
2. Hulburt, HM; Katz, S. (agosto de 1964). "Algunos problemas en la tecnología de partículas". Chemical Engineering Science . 19 (8): 555–574. doi :10.1016/0009-2509(64)85047-8.
3. Bortot Coelho, Fabricio Eduardo; Balarini, Julio Cézar; Araújo, Estêvão Magno Rodrigues; Miranda, Tânia Lúcia Santos; Peres, Antonio Eduardo Clark; Martins, Alfonso Henriques; Salum, Adriane (junio de 2020). "Un enfoque de equilibrio poblacional para predecir el desempeño de reactores de lixiviación continua: validación del modelo en una planta piloto utilizando un concentrado de zinc tostado". Hidrometalurgia . 194 : 105301. Código bibliográfico : 2020HydMe.19405301B. doi :10.1016/j.hidromet.2020.105301. S2CID  216301270.
4. Coelho, Fabricio Eduardo Bortot; Balarini, Julio Cézar; Araújo, Estêvão Magno Rodrigues; Miranda, Tânia Lúcia Santos; Peres, Antonio Eduardo Clark; Martins, Alfonso Henriques; Salum, Adriane (enero de 2018). "Lixiviación de concentrado de zinc tostado: modelación y validación del equilibrio poblacional". Hidrometalurgia . 175 : 208–217. Código Bib : 2018HydMe.175..208C. doi :10.1016/j.hidromet.2017.11.013.
5. Bisang JM, Colli AN (2022). "Distribución de corriente y potencial en reactores electroquímicos bifásicos (con evolución de gas) mediante el método de volumen finito". Revista de la Sociedad Electroquímica . 169 (3): 034524. Código Bibliográfico :2022JElS..169c4524C. doi :10.1149/1945-7111/ac5d90. S2CID  247463029.
6. Alhuthali, Sakhr; Fadda, Sarah; Goey, Cher H.; Kontoravdi, Cleo (1 de enero de 2017). "Modelo de equilibrio poblacional multietapa para comprender la dinámica del cultivo de células CHO en lotes alimentados". En Espuña, Antonio; Graells, Moisès; Puigjaner, Luis (eds.). 27.º Simposio Europeo sobre Ingeniería de Procesos Asistida por Ordenador . 27.º Simposio Europeo sobre Ingeniería de Procesos Asistida por Ordenador. Vol. 40. Elsevier. pp. 2821–2826. doi :10.1016/B978-0-444-63965-3.50472-4. ISBN 9780444639653. {{cite book}}: |work=ignorado ( ayuda )
7. Ramkrishna, D.: Balances de población: teoría y aplicaciones a sistemas de partículas en ingeniería , Academic Press, 2000
8. Hashemian, N.; Armaou, A. (2016). "Simulación, reducción de modelos y estimación de estado de un proceso de coagulación de dos componentes". AIChE Journal . 62 (5): 1557–1567. doi :10.1002/aic.15146.
9. Hashemian, N.; Ghanaatpishe, M.; Armaou, A. (2016). "Desarrollo de un modelo de orden reducido para procesos de granulación de dos componentes mediante polinomios de Laguerre". Conferencia Americana de Control (ACC) de 2016. págs. 3668–3673. doi :10.1109/ACC.2016.7525483. ISBN 978-1-4673-8682-1.S2CID 7505525  .
10. Lehnigk, Ronald; Bainbridge, William; Liao, Yixiang; Lucas, Dirk; Niemi, Timo; Peltola, Juho; Schlegel, Fabian (2022). "Un marco de modelado de equilibrio de población de código abierto para la simulación de flujos multifásicos polidispersos". AIChE Journal . 68 (3). doi : 10.1002/aic.17539 . S2CID  245082193.
11. Descripción de la dinámica de los aerosoles mediante el método de cuadratura de momentos, Robert McGrawa, Aerosol Science and Technology, Volumen 27, Número 2, 1997, páginas 255-265
12. Yu, M., Lin, J. y Chan, T. (2008). Un nuevo método de momento para resolver la ecuación de coagulación de partículas en movimiento browniano. Aerosol Sci. Technol., 42(9):705–713.
13. Marchisio, DL y Fox, RO (2005). Solución de ecuaciones de equilibrio de población utilizando el método de cuadratura directa de momentos. J. Aerosol Sci., 36(1):43–73.
14. Andalibi, M. Reza; Kumar, Abhishek; Srinivasan, Bhuvanesh; Bowen, Paul; Scrivener, Karen; Ludwig, Christian; Testino, Andrea (2018). "Sobre el mecanismo de mesoescala de la precipitación sintética de silicato de calcio e hidrato: un enfoque de modelado del equilibrio de la población". Journal of Materials Chemistry A . 6 (2): 363–373. doi :10.1039/C7TA08784E. ISSN  2050-7488.