Axioma del conjunto de potencias

Concepto en teoría de conjuntos axiomáticos.

Los elementos del conjunto potencia del conjunto { x , y , z } ordenados respecto a la inclusión .

En matemáticas , el axioma de conjunto potencia ^[1] es uno de los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos axiomáticos . Garantiza para cada conjunto la existencia de un conjunto , el conjunto potencia de , que consta precisamente de los subconjuntos de . Según el axioma de extensionalidad , el conjunto es único. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$

El axioma del conjunto de poderes aparece en la mayoría de las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos. Generalmente se considera no controvertida, aunque la teoría constructiva de conjuntos prefiere una versión más débil para resolver las preocupaciones sobre la predicatividad .

Declaración formal

La relación de subconjunto no es una noción primitiva en la teoría formal de conjuntos y no se utiliza en el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Más bien, la relación de subconjunto se define en términos de pertenencia al conjunto . Dado esto, en el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma del conjunto de potencias dice: ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \in }$

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]}$

donde y es el conjunto potencia de x , z es cualquier elemento de y , w es cualquier miembro de z .

En inglés, esto dice:

Dado cualquier conjunto x , existe un conjunto y tal que , dado cualquier conjunto z , este conjunto z es miembro de y si y sólo si cada elemento de z es también un elemento de x .

Consecuencias

El axioma del conjunto de potencias permite una definición simple del producto cartesiano de dos conjuntos y : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

Darse cuenta de

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

y, por ejemplo, considerando un modelo que utiliza el par ordenado de Kuratowski ,

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

y por tanto el producto cartesiano es un conjunto ya que

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

Se puede definir el producto cartesiano de cualquier colección finita de conjuntos de forma recursiva:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

La existencia del producto cartesiano se puede demostrar sin utilizar el axioma de conjuntos de potencias, como en el caso de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek .

Limitaciones

El axioma de los conjuntos potencias no especifica qué subconjuntos de un conjunto existen, sólo que hay un conjunto que contiene todos los que existen. ^[2] No se garantiza la existencia de todos los subconjuntos imaginables. En particular, el conjunto potencia de un conjunto infinito contendría sólo "conjuntos construibles" si el universo es el universo construible , pero en otros modelos de la teoría de conjuntos ZF podría contener conjuntos que no son construibles.

Referencias

1. "Axioma del conjunto de potencias | teoría de conjuntos | Britannica". www.britannica.com . Consultado el 6 de agosto de 2023 .
2. Devlin, Keith (1984). Constructibilidad. Berlín: Springer-Verlag. págs. 56–57. ISBN 3-540-13258-9. Consultado el 8 de enero de 2023 .

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

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