Función inversa

Concepto matemático

Una función f y su inversa f ⁻¹ . Debido a que f asigna a a 3, la inversa f ⁻¹ asigna 3 nuevamente a a .

En matemáticas , la función inversa de una función f (también llamada inversa de f ) es una función que deshace la operación de f . La inversa de f existe si y sólo si f es biyectiva , y si existe, se denota por ${\displaystyle f^{-1}.}$

Para una función , su inversa admite una descripción explícita: envía cada elemento al elemento único tal que f ( x ) = y . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

Como ejemplo, considere la función de valor real de una variable real dada por f ( x ) = 5 x − 7 . Se puede pensar en f como la función que multiplica su entrada por 5 y luego resta 7 del resultado. Para deshacer esto, se suma 7 a la entrada y luego se divide el resultado entre 5. Por lo tanto, la inversa de f es la función definida por ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

Definiciones

Si f asigna X a Y , entonces f ⁻¹ asigna Y nuevamente a X.

Sea f una función cuyo dominio es el conjunto X y cuyo codominio es el conjunto Y. Entonces f es invertible si existe una función g de Y a X tal que para todos y para todos . ^[1] ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Si f es invertible, entonces hay exactamente una función g que satisface esta propiedad. La función g se llama inversa de f y generalmente se denota como f ⁻¹ , una notación introducida por John Frederick William Herschel en 1813. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [nb 1]}

La función f es invertible si y sólo si es biyectiva. Esto se debe a que la condición para todos implica que f es inyectiva y la condición para todos implica que f es sobreyectiva . ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

La función inversa f ⁻¹ a f se puede describir explícitamente como la función

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in X{\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Inversas y composición

Recuerde que si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$, por todos y para todos . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Usando la composición de funciones , esta declaración se puede reescribir en las siguientes ecuaciones entre funciones:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$y ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

donde id _X es la función identidad en el conjunto X ; es decir, la función que deja su argumento sin cambios. En teoría de categorías , esta afirmación se utiliza como definición de un morfismo inverso .

Considerar la composición de funciones ayuda a comprender la notación f ⁻¹ . Componer repetidamente una función f : X → X consigo misma se llama iteración . Si f se aplica n veces, comenzando con el valor x , entonces esto se escribe como f ⁿ ( x ) ; entonces f ² ( x ) = f ( f ( x ) ) , etc. Dado que f ⁻¹ ( f ( x )) = x , al componer f ⁻¹ y f ⁿ se obtiene f ^{n −1} , "deshaciendo" el efecto de uno aplicación de f .

Notación

Si bien la notación f ⁻¹ ( x ) puede malinterpretarse, ^[1] ( f ( x )) ⁻¹ ciertamente denota la inversa multiplicativa de f ( x ) y no tiene nada que ver con la función inversa de f . ^[6] La notación podría usarse para la función inversa para evitar ambigüedades con la inversa multiplicativa . ^[7] ${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

De acuerdo con la notación general, algunos autores ingleses usan expresiones como sin ⁻¹ ( x ) para denotar la inversa de la función seno aplicada a x (en realidad, una inversa parcial; ver más abajo). ^{[8] [6]} Otros autores creen que esto puede confundirse con la notación del inverso multiplicativo de sin ( x ) , que puede denotarse como (sin ( x )) ⁻¹ . ^[6] Para evitar cualquier confusión, una función trigonométrica inversa a menudo se indica con el prefijo " arco " (del latín arcus ). ^{[9] [10]} Por ejemplo, la inversa de la función seno generalmente se llama función arcoseno , escrita como arcosen ( x ) . ^{[9] [10]} De manera similar, la inversa de una función hiperbólica se indica con el prefijo " ar " (del latín ārea ). ^[10] Por ejemplo, la inversa de la función seno hiperbólica normalmente se escribe como arsinh ( x ) . ^[10] Las expresiones como sin ⁻¹ ( x ) todavía pueden ser útiles para distinguir el inverso multivaluado del inverso parcial: . Otras funciones especiales inversas a veces tienen el prefijo "inv", si se debe evitar la ambigüedad de la notación f ^{−1 . [11] [10]} ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

Ejemplos

Funciones cuadradas y de raíz cuadrada

La función f : R → [0,∞) dada por f ( x ) = x ² no es inyectiva porque para todos . Por tanto, f no es invertible. ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Si el dominio de la función está restringido a los reales no negativos, es decir, tomamos la función con la misma regla que antes, entonces la función es biyectiva y, por tanto, invertible. ^[12] La función inversa aquí se llama función de raíz cuadrada (positiva) y se denota por . ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

Funciones inversas estándar

La siguiente tabla muestra varias funciones estándar y sus inversas:

Fórmula para la inversa

Muchas funciones dadas por fórmulas algebraicas poseen una fórmula para su inversa. Esto se debe a que la inversa de una función invertible tiene una descripción explícita como ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Esto permite determinar fácilmente las inversas de muchas funciones dadas por fórmulas algebraicas. Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

luego, para determinar un número real y , se debe encontrar el número real único x tal que (2 x + 8) ³ = y . Esta ecuación se puede resolver: ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Así, la función inversa f ⁻¹ viene dada por la fórmula

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

A veces, la inversa de una función no se puede expresar mediante una fórmula de forma cerrada . Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

entonces f es una biyección y por tanto posee una función inversa f ⁻¹ . La fórmula de esta inversa tiene una expresión como suma infinita:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

Propiedades

Dado que una función es un tipo especial de relación binaria , muchas de las propiedades de una función inversa corresponden a propiedades de relaciones inversas .

Unicidad

Si existe una función inversa para una función dada f , entonces es única. ^[13] Esto se deduce ya que la función inversa debe ser la relación inversa, que está completamente determinada por f .

Simetría

Existe una simetría entre una función y su inversa. Específicamente, si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces su inversa f ⁻¹ tiene dominio Y e imagen X , y la inversa de f ⁻¹ es la función original f . En símbolos, para funciones f : X → Y y f ⁻¹ : Y → X , ^[13]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$y ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Esta afirmación es consecuencia de la implicación de que para que f sea invertible debe ser biyectiva. La naturaleza involutoria de lo inverso se puede expresar de manera concisa mediante ^[14]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

La inversa de g  ∘  f es f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ .

La inversa de una composición de funciones viene dada por ^[15]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Observe que el orden de g y f se ha invertido; para deshacer f seguido de g , primero debemos deshacer g y luego deshacer f .

Por ejemplo, sea f ( x ) = 3 x y sea g ( x ) = x + 5 . Entonces la composición g  ∘  f es la función que primero multiplica por tres y luego suma cinco,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Para revertir este proceso, primero debemos restar cinco y luego dividir entre tres,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Esta es la composición ( f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ )( x ) .

Autoinversos

Si X es un conjunto, entonces la función identidad en X es su propia inversa:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

De manera más general, una función f  : X → X es igual a su propia inversa, si y sólo si la composición f  ∘  f es igual a id _X . Esta función se llama involución .

Gráfica de la inversa

Las gráficas de y = f ( x ) y y = f ⁻¹ ( x ) . La línea de puntos es y = x .

Si f es invertible, entonces la gráfica de la función

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

es igual a la gráfica de la ecuación

${\displaystyle x=f(y).}$

Esto es idéntico a la ecuación y = f ( x ) que define la gráfica de f , excepto que los roles de xey se han invertido. Por tanto, la gráfica de f ⁻¹ se puede obtener a partir de la gráfica de f cambiando las posiciones de los ejes xey . Esto equivale a reflejar la gráfica a lo largo de la recta y = x . ^{[16] [1]}

Inversas y derivadas

El teorema de la función inversa establece que una función continua f es invertible en su rango (imagen) si y sólo si es estrictamente creciente o decreciente (sin máximos ni mínimos locales ). Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

es invertible, ya que la derivada f′ ( x ) = 3 x ² + 1 es siempre positiva.

Si la función f es diferenciable en un intervalo I y f′ ( x ) ≠ 0 para cada x ∈ I , entonces la inversa f ⁻¹ es diferenciable en f ( I ) . ^[17] Si y = f ( x ) , la derivada de la inversa viene dada por el teorema de la función inversa,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Usando la notación de Leibniz, la fórmula anterior se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Este resultado se deriva de la regla de la cadena (consulte el artículo sobre funciones inversas y diferenciación ).

El teorema de la función inversa se puede generalizar a funciones de varias variables. Específicamente, una función multivariable diferenciable f : R ⁿ → R ⁿ es invertible en una vecindad de un punto p siempre que la matriz jacobiana de f en p sea invertible . En este caso, el jacobiano de f ⁻¹ en f ( p ) es la matriz inversa del jacobiano de f en p .

Ejemplos del mundo real

• Sea f la función que convierte una temperatura en grados Celsius a una temperatura en grados Fahrenheit ,
  $${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$
  luego su función inversa convierte grados Fahrenheit a grados Celsius,
  $${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$
  ^[18] desde
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• Supongamos que f asigna a cada niño de una familia su año de nacimiento. Una función inversa mostraría qué niño nació en un año determinado. Sin embargo, si la familia tiene hijos nacidos en el mismo año (por ejemplo, gemelos o trillizos, etc.), entonces no se puede conocer el resultado cuando el ingreso es el año de nacimiento común. Además, si se da un año en el que no nació ningún niño, entonces no se puede nombrar a ningún niño. Pero si cada niño nació en un año distinto, y si restringimos la atención a los tres años en los que nació, entonces tenemos una función inversa. Por ejemplo,
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• Sea R la función que conduce a un aumento porcentual de x de alguna cantidad, y sea F la función que produce una caída porcentual de x . Aplicada a $100 con x = 10%, encontramos que aplicar la primera función seguida de la segunda no restaura el valor original de $100, lo que demuestra el hecho de que, a pesar de las apariencias, estas dos funciones no son inversas entre sí.
• La fórmula para calcular el pH de una solución es pH = −log ₁₀ [H ⁺ ] . En muchos casos necesitamos encontrar la concentración de ácido a partir de una medición de pH. Se utiliza la función inversa [H ⁺ ] = 10 ^{−pH .}

Generalizaciones

Inversas parciales

La raíz cuadrada de x es una inversa parcial de f ( x ) = x ² .

Incluso si una función f no es uno a uno, es posible definir una inversa parcial de f restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

no es uno a uno, ya que x ² = (− x ) ² . Sin embargo, la función se vuelve uno a uno si restringimos al dominio x ≥ 0 , en cuyo caso

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Si, en cambio, restringimos al dominio x ≤ 0 , entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de y ). Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si nos contentamos con que la inversa sea una función multivaluada :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

La inversa de esta función cúbica tiene tres ramas.

A veces, esta inversa multivaluada se denomina inversa completa de f y las porciones (como √ x y − √ x ) se denominan ramas . La rama más importante de una función multivaluada (por ejemplo, la raíz cuadrada positiva) se llama rama principal , y su valor en y se llama valor principal de f ⁻¹ ( y ) .

Para una función continua sobre la recta real, se requiere una rama entre cada par de extremos locales . Por ejemplo, la inversa de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (ver la imagen adyacente).

El arcoseno es una inversa parcial de la función seno .

Estas consideraciones son particularmente importantes para definir las inversas de funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno no es uno a uno, ya que

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

para cada x real (y más generalmente sin( x + 2 π n ) = sin( x ) para cada entero n ). Sin embargo, el seno es uno a uno en el intervalo [-π/2, π/2] , y el inverso parcial correspondiente se llama arcoseno . Esto se considera la rama principal del seno inverso, por lo que el valor principal del seno inverso siempre está entre -π/2yπ/2. La siguiente tabla describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa: ^[19]

Inversas izquierda y derecha

La composición de funciones de la izquierda y de la derecha no tiene por qué coincidir. En general, las condiciones

1. "Existe g tal que g ( f ( x )) = x " y
2. "Existe g tal que f ( g ( x )) = x "

implican diferentes propiedades de f . Por ejemplo, sea f : R → [0, ∞) el mapa de cuadratura, tal que f ( x ) = x ² para todo x en R , y sea g : [0, ∞) → R el mapa de raíz cuadrada, tal que g ( x ) = √ x para todo x ≥ 0 . Entonces f ( g ( x )) = x para todo x en [0, ∞) ; es decir, g es el inverso derecho de f . Sin embargo, g no es una inversa izquierda de f , ya que, por ejemplo, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Inversas izquierdas

Si f : X → Y , una inversa izquierda para f (o retracción de f ) es una función g : Y → X tal que componer f con g desde la izquierda da la función identidad ^[20]

$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

g

Si f ( x ) = y , entonces g ( y ) = x .

La función g debe ser igual a la inversa de f en la imagen de f , pero puede tomar cualquier valor para elementos de Y que no están en la imagen.

Una función f con dominio no vacío es inyectiva si y sólo si tiene inversa izquierda. ^[21] Una prueba elemental es la siguiente:

• Si g es el inverso izquierdo de f , y f ( x ) = f ( y ) , entonces g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = y .

• Si f : X → Y no vacía es inyectiva, construya una inversa izquierda g : Y → X de la siguiente manera: para todo y ∈ Y , si y está en la imagen de f , entonces existe x ∈ X tal que f ( x ) = y . Sea g ( y ) = x ; esta definición es única porque f es inyectiva. De lo contrario, sea g ( y ) un elemento arbitrario de X.

  Para todo x ∈ X , f ( x ) está en la imagen de f . Por construcción, g ( f ( x )) = x , la condición para una inversa izquierda.

En matemáticas clásicas, toda función inyectiva f con un dominio no vacío necesariamente tiene una inversa izquierda; sin embargo, esto puede fallar en matemáticas constructivas . Por ejemplo, una inversa izquierda de la inclusión {0,1} → R del conjunto de dos elementos en los reales viola la indescomponibilidad al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1} . ^[22]

Inversas derechas

Ejemplo de inversa derecha con función sobreyectiva no inyectiva

Una inversa derecha para f (o sección de f ) es una función h : Y → X tal que

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

Es decir, la función h satisface la regla

Si entonces ${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Por lo tanto, h ( y ) puede ser cualquiera de los elementos de X que se asignan a y bajo f .

Una función f tiene una inversa recta si y sólo si es sobreyectiva (aunque construir dicha inversa en general requiere el axioma de elección ).

Si h es el inverso derecho de f , entonces f es sobreyectiva. Para todos , existe tal eso . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

Si f es sobreyectiva, f tiene una inversa derecha h , que se puede construir de la siguiente manera: para todos , hay al menos uno tal que (porque f es sobreyectiva), entonces elegimos uno como el valor de h ( y ) . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

Inversas de dos caras

Una inversa que sea a la vez izquierda y derecha (una inversa de dos lados ), si existe, debe ser única. De hecho, si una función tiene una inversa izquierda y una inversa derecha, ambas son la misma inversa de dos lados, por lo que se puede llamar inversa .

Si es una inversa izquierda y una inversa derecha de , para todos ,. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

Una función tiene inversa de dos lados si y sólo si es biyectiva.

Una función biyectiva f es inyectiva, por lo que tiene una inversa izquierda (si f es la función vacía, es su propia inversa izquierda). f es sobreyectiva, por lo que tiene inversa derecha. Por lo anterior, la inversa izquierda y derecha son iguales. ${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

Si f tiene una inversa g de dos lados , entonces g es una inversa izquierda y una inversa derecha de f , por lo que f es inyectiva y sobreyectiva.

Preimágenes

Si f : X → Y es cualquier función (no necesariamente invertible), la preimagen (o imagen inversa ) de un elemento y ∈ Y se define como el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a y :

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

La preimagen de y puede considerarse como la imagen de y bajo la inversa completa (multivaluada) de la función f .

De manera similar, si S es cualquier subconjunto de Y , la preimagen de S , denotada , es el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a S : ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Por ejemplo, tome la función f : R → R ; x ↦ x ² . Esta función no es invertible ya que no es biyectiva, pero se pueden definir preimágenes para subconjuntos del codominio, por ejemplo

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

La preimagen de un solo elemento y ∈ Y – un conjunto singleton { y }  – a veces se llama fibra de y . Cuando Y es el conjunto de números reales, es común referirse a f ⁻¹ ({ y }) como un conjunto de niveles .

Ver también

• Teorema de inversión de Lagrange , da la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica
• Integral de funciones inversas
• Transformada inversa de Fourier
• Computación reversible

Notas

1. No debe confundirse con la exponenciación numérica, como tomar el inverso multiplicativo de un número real distinto de cero.

Referencias

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3. Herschel, John Federico William (1820). "Parte III. Sección I. Ejemplos del Método Directo de Diferencias". Una colección de ejemplos de aplicaciones del cálculo de diferencias finitas . Cambridge, Reino Unido: Impreso por J. Smith, vendido por J. Deighton & sons. págs. 1 a 13 [5 a 6]. Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020 . Consultado el 4 de agosto de 2020 .[1] (NB. Aquí, Herschel se refiere a su obra de 1813 y menciona la obra más antigua de Hans Heinrich Bürmann ).
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Bibliografía

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Otras lecturas

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• Binmore, Ken G. (1983). "Funciones inversas". Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press . págs. 161-197. ISBN 0-521-28952-1.
• Spivak, Michael (1994). Cálculo (3 ed.). Publicar o perecer. ISBN 0-914098-89-6.
• Stewart, James (2002). Cálculo (5 ed.). Brooks Cole . ISBN 978-0-534-39339-7.

enlaces externos

• "Función inversa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]